Desigualdad con suma

El problema de la semana me lo propuso moisés mediante un correo electrónico:

Supongamos que tenemos $n$ números reales $x_1, \ldots ,x_n \in (0,1)$ tales que $\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i=1}$ . Demostrar que:

$\displaystyle{\sum_{i=1}^n \cfrac{1}{x_i} \ge n^2}$

A por él.

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 10 de Febrero de 2009
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10 comentarios

Trackback | 10 Feb, 2009

Bitacoras.com
e-pi | 10 de Febrero de 2009 | 10:10

Cauchy–Schwarz–Bunyakovsky
Tanhäuser | 10 de Febrero de 2009 | 10:37

Se deduce inmediatamente del hecho que la media aritmética es mayor o igual que la media armónica.
Saludos
hernan | 11 de Febrero de 2009 | 0:08

Donde dice “números reales” debería decir “números reales positivos”, ¿no?
Esteban | 11 de Febrero de 2009 | 1:35

Hernan no es necesario dado que los numeros Xi estan en el intervalo abierto (0,1)
Cerumen | 11 de Febrero de 2009 | 18:42

Usando multiplicadores de Lagrange sale
Miguel | 14 de Febrero de 2009 | 2:34

Por lo visto es una desigualdad muy laborioza, quiza aplicando la desigualdad de cauchy-swchuarz puede salir.
epi | 14 de Febrero de 2009 | 14:19

Miguel,

$u=\left(\dfrac{\sqrt{x_1}}{n},\ldots,\dfrac{\sqrt{x_n}}{n}\right)^T$

$v=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x_1}},\ldots,\dfrac{1}{\sqrt{x_n}}\right)^T$

y Cauchy-Schwarz para el producto y norma euclídea estándar.
Oleg | 15 de Febrero de 2009 | 20:35

Bueno, ahora mismo no tengo mucho tiempo, pero todo se reduce a ver qué lo que minimiza la $\displaystyle{\sum_{i=1}^n \cfrac{1}{x_i}}$ cumpliendo con $\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i=1}$ son $n$ números de forma $\cfrac{1}{n}$ ya que entonces tenemos:
$\displaystyle{\sum_{i=1}^n \cfrac{1}{x_i}=n \cdot \cfrac{1}{\frac{1}{n}}=n \cdot n=n^2 \ge n^2}$
Para $n=2$ es fácil verlo ya que basta con derivar la función $t + \cfrac{t}{t+1}$ , pero para un n mayor habría que ver como se demuestra, pero yo ahora me voy a estudiar otra cosa que mañana toca examen
marta | 26 de Febrero de 2009 | 23:26

xmedio=[suma(xi)]/n=1/n; media aritmética
H=n/[suma(1/xi)]; media armónica
como xmedio>oigualque H:
1/n>oigual n/[suma(1/xi)]; suma(1/xi)>oigual n^2