Desigualdad en un octógono

Vamos con el problema de esta semana. El enunciado es el siguiente:

Sean A_1, \ldots, A_8 los vértices de un octógono convexo (es decir, un octógono cuyos ángulos internos son todos menores que 180^\circ). Además, los lados del octógono tienen la misma longitud y cada par de lados opuestos son paralelos. Para cada i=1, \ldots,8 definimos el punto B_i como la intersección del segmento A_iA_{i+4} con el segmento A_{i-1}A_{i+1}, donde A_{j+8}=A_j y B_{j+8}=B_j para todo número entero j. Muestra que para algún número entero i entre los números 1, 2, 3 y 4 se cumple que:

\cfrac{|A_iA_{i+4}|}{B_iB_{i+4}} \leq \cfrac{3}{2}

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

2 Comentarios

  1. En el caso de un octágono regular, la división es igual a raiz de 2

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  2. Los puntos B forman un octógono cuyas diagonales son coincidentes con las diagonales del octógono original.
    La razón de las diagonales de vértices opuestos de dichos octógonos es la relación pedida
    Estas diagonales del octógono “B” son paralelas y de la misma longitud que los lados de los paralelogramos que se forman uniendo alternativamente los vértices A.
    Para el caso extremo de los paralelogramos tendiendo a un cuadrado la relación tiende a raiz(2), variando la posición de los vértices A, los lados de los paralelogramos también varían entonces las relaciones oscilan aumentando tendiendo a 2 por una parte mientras por la otra disminuye tendiendo a 1.
    Por lo tanto siempre existirá una relación entre raiz (2) y 1

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