Desigualdad en un triángulo

Vamos con el problema semanal. Ahí va:

Sean a,b,c los lados de un triángulo de área A. Probar que:

\cfrac{a^2+b^2+c^2}{4A} \geq \sqrt{\cfrac{a^2}{b^2}+\cfrac{b^2}{c^2}+\cfrac{c^2}{a^2}}

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

23 Comentarios

  1. Me da pereza ponerme, pero parece claro que en un triángulo equilátero se cumpliría que una parte es igual a la otra.

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  2. para un triangulo rectangulo tambien es facil de probar pero para el caso general se eterniza uno…
    Alguna demostracion ingeniosa?

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  3. Yo llegue a la siguiente desigualdad ocupando transformación de Ravi, desigualdad entre la media geométrica y aritmética y escribiendo el inradio en términos del semiperímetro {(a^2 + b^2 + c^2)}/4A \ge \sqrt{{xy/((x+y+z)z)}+{yz/((x+y+z)x)}+{zx/((x+y+z)y)}
    Si a=x+y, b=y+z, c=z+x

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  4. El comentario anterior no quedó bien publicado, pero ocupando eso que puse llegué a que {(a^2 + b^2 + c^2)}/4A \ge \sqrt{{xy/((x+y+z)z)}+{yz/((x+y+z)x)}+{zx/((x+y+z)y)}}
    Una disculpa por mi uso del LaTeX, pero aun no sé manejarlo bien

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  5. es mas sencillo esto…
    ((a/b)^2+(b/c)^2+(c/a)^2)^(1/2)<= ((a/b)^2+(b/c)^2+(c/a)^2)
    <= ((b+c)/b)^2+((b+a)/a)^2+((a+c)/c)^2
    <=(b/(b+c))^2+(a/(b+a))^2+(c/(a+c))^2
    <=b^2/4A+c^2/4A+a^2/4A
    <=(a^2+b^2+c^2)/4A

    y ya…. es facil
    yo tambn pense por la formula de Heron pero no….
    lo use para comprovar la desigualdad 4A<=el cuadrado de la suma de dos lados cualquiera del triangulo

    disculpa no saber usar LATEX (aprendere ;))

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  6. Rene, el paso entre las lineas 3 y 4 no me parece correcto.
    Por ejemplo en un triangulo equilatero tal que a=b=c=1 tu linea 3 da 2^2+2^2+2^2=12
    mientras que tu linea 4 da 1/2^2+1/2^2+1/2^2=3/4 asi que claramente la linea 4 es menor
    o igual que la linea 3, y no al reves…

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  7. rtomas, de acuerdo contigo, para equilátero sale igualdad, para rectángulo sale fácil, para el caso general no sé cómo. Ya nos dirán la solución.

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  8. mis disculpas el paso tres está de mas se puede llegar al paso 4 directamente. gracias por corregirme lo traspase mal del papel :s realmente se los agradezco… de los errores se aprende :9

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  9. bueno rtomas , ya no diré que fue lo que hice porque el proceso ya está correcto, solo te daré una pista (un mago no revela todos sus secretos ;))
    tenemos que a<=b+c despues sumo y resto de ambos lados y hago un truco con los semiperimetros y valido las desigualdades que establezco
    Reitero que 0<=a<=b<=c. ya me dirán…

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  10. Rene: perdona no he tenido tiempo de terminar las comprobaciones de LaTeX, intento ahora
    \sqrt{3}\leq 3\leq 12\leq 3/4\leq \sqrt{3}\leq \sqrt{3}

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  11. me juego las bolas que es por heron pero la verdad q se hace muy pero muy largo!!!

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  12. nunca he probado una desigualdad, puedo trabajar con ambos lados simultáneamente? puedo pasar términos de un lado de la desigualdad a otro? apenas estoy entrando a la uni 🙂

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  13. Buenos días. La propiedad se puede deducir teniendo en cuenta que si \alpha,\beta,\gamma son los ángulos interiores del triángulo entonces para cualesquiera números reales x,y,z se cumple que

    (x+(ycos(2\alpha)+zcos(2\beta)))^2+(ysen(2\alpha)-zsen(2\beta))^2\geq 0.

    Desarrollando:

    (x+y+z)^2\geq 4\left(xy sen(\alpha)^2+xzsen(\beta)^2+yzsen(\gamma)^2\right).

    O bien, usando el teorema del seno:

    R^2(x+y+z)^2\geq xy a^2+xz b^2+yz c^2,

    siendo R el circunradio y a,b,c los lados del triángulo.

    Esta última desigualdad es bastante interesante de por sí, y en particular eligiendo

    x=\dfrac{a^2}{4AR}, y=\dfrac{c^2}{4AR} y z=\dfrac{b^2}{4AR}, y teniendo en cuenta que 4AR=abc, se obtiene la desigualdad del enunciado.

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  14. rtomas y sebas…. tienen razón, me equivoqué a la hora de sustraer b en el semiperimetro y eso desencadeno mi fatal error… realmente disculpa.
    Gracias por la correccion
    Voy por otro intento

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  15. Bueno terminé una demostración larguísima, me he equivocado infinidad de veces, los pasos son los siguientes.
    Sustituir A en función de 1/2ab*sinC y los lados por el teorema de senos, despues de simplificar queda
    1/2((SinA)^2+(SinB)^2+(SinC)^2)>=
    sqrt((SinA)^4*(SinC)^2+(SinB)^4*(SinA)^2+(SinC)^4*(SinB)^2)
    Sustuiendo los senos en función de la tangente, simplificando teniendo en cuenta que en todo triángulo la suma de tangentes es igual a su producto, despues de equivocarme como he dicho infinidad de veces y horas de ensuciar papel creo que llegué a demostrarlo
    No se puede comparar con la de M, ni siquiera se me ocurre pasarla a limpio, si me atreviera a pasarla a LaTeX al final sería especialista en código LaTeX

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  16. Tengo una demostración que abarca todo tipo de triángulo. Mi conocimiento en Latex es aún muy rudimentario de modo que el documento está en Word y no sé como subirlo.

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  17. Yesid, si quieres me la puedes enviar al correo electrónico

    gaussianos (at) gmail (dot) com

    y cuando pueda le echo un vistazo.

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