Determinante y números combinatorios

Os dejo el problema de esta semana, enviado por KMPOS:

Calcular el valor del siguiente determinante:

$\begin{bmatrix}\displaystyle\binom{m}{0}&\displaystyle\binom{m}{1}&\ldots &\displaystyle\binom{m}{n}\\\ \displaystyle\binom{m+1}{0}&\displaystyle\binom{m+1}{1} & \ldots &\displaystyle\binom{m+1}{n} \\ \vdots&&&\vdots \\ \displaystyle\binom{m+n}{0} & \displaystyle\binom{m+n}{1} &\ldots & \displaystyle\binom{m+n}{n}\end{bmatrix}$

Suerte.

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 15 de June de 2010
Categorías: Juegos | Imprime este post

6 comentarios

castilla | 15 de June de 2010 | 11:44

Hola otra vez. Se me ha ocurrido editar el comentario en los 15 minutos en los que se puede hacer y se ha descarajado todo. Vuelvo a ponerlo decentemente (de hecho, DiAmOnD, ¿podrías borrar el comentario anterior?)

Como decía, el determinante es igual a 1. Sea $\Delta_{m,n}$ el valor del determinante pedido. Usando la igualdad

$\left(\begin{array}{c}m+n\\k\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}m+n-1\\k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}m+n-1\\k-1\end{array}\right)$

podemos hacer un cero en el elemento de la primera columna, última fila, simplemente restando esta última fila de la anterior. La última fila quedaría sustituida por

$\begin{array}{ccccc} 0 & \left(\begin{array}{c}m+n-1 \\ 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{c}m+n-1 \\ 1 \end{array}\right) & \dots & \left(\begin{array}{c}m+n-1 \\ n-1 \end{array}\right) \end{array}$

Podemos repetir este proceso de restar de cada fila la anterior para hacer ceros en la primera columna. Entonces se llega a la igualdad

$\Delta_{m,n} = \left(\begin{array}{c} m \\ 0 \end{array}\right)\Delta_{m,n-1} = \Delta_{m,n-1} = \dots = \Delta_{m,0}$ .

Como $\Delta_{m,0}=1$ se obtiene que el determinante vale 1.
castilla | 15 de June de 2010 | 23:05

Gracias por borrar mi anterior comentario, DiAmOnD, era un desastre
Dani | 16 de June de 2010 | 02:25

impecable, castilla

PD: A mi me ha pasado que al intentar cambiar un comentario se me descalabre todo el LaTeX. Quizás haya un problema con las fórmulas al editar, no sé…
gaussianos | 16 de June de 2010 | 03:12

De nada castilla. Es posible que al editar el comentario el plugin añada código HTML y por eso las fórmulas salgan mal. Intentaré echarle un ojo al tema cuando tenga tiempo. Si alguien sabe algo sobre el asunto que lo comente.
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Bitacoras.com
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