Determinante y números combinatorios

Os dejo el problema de esta semana, enviado por KMPOS:

Calcular el valor del siguiente determinante:

\begin{bmatrix}\displaystyle\binom{m}{0}&\displaystyle\binom{m}{1}&\ldots &\displaystyle\binom{m}{n}\\\ \displaystyle\binom{m+1}{0}&\displaystyle\binom{m+1}{1} & \ldots &\displaystyle\binom{m+1}{n} \\ \vdots&&&\vdots \\ \displaystyle\binom{m+n}{0} & \displaystyle\binom{m+n}{1} &\ldots & \displaystyle\binom{m+n}{n}\end{bmatrix}

Suerte.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

4 Comentarios

  1. Hola otra vez. Se me ha ocurrido editar el comentario en los 15 minutos en los que se puede hacer y se ha descarajado todo. Vuelvo a ponerlo decentemente (de hecho, DiAmOnD, ¿podrías borrar el comentario anterior?)

    Como decía, el determinante es igual a 1. Sea \Delta_{m,n} el valor del determinante pedido. Usando la igualdad

    \left(\begin{array}{c}m+n\\k\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}m+n-1\\k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}m+n-1\\k-1\end{array}\right)

    podemos hacer un cero en el elemento de la primera columna, última fila, simplemente restando esta última fila de la anterior. La última fila quedaría sustituida por

    \begin{array}{ccccc} 0 & \left(\begin{array}{c}m+n-1 \\ 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{c}m+n-1 \\ 1 \end{array}\right) & \dots & \left(\begin{array}{c}m+n-1 \\ n-1 \end{array}\right) \end{array}

    Podemos repetir este proceso de restar de cada fila la anterior para hacer ceros en la primera columna. Entonces se llega a la igualdad

    \Delta_{m,n} = \left(\begin{array}{c} m \\ 0 \end{array}\right)\Delta_{m,n-1} = \Delta_{m,n-1} = \dots = \Delta_{m,0}.

    Como \Delta_{m,0}=1 se obtiene que el determinante vale 1.

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  2. Gracias por borrar mi anterior comentario, DiAmOnD, era un desastre 🙂

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  3. impecable, castilla 🙂

    PD: A mi me ha pasado que al intentar cambiar un comentario se me descalabre todo el LaTeX. Quizás haya un problema con las fórmulas al editar, no sé…

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  4. De nada castilla. Es posible que al editar el comentario el plugin añada código HTML y por eso las fórmulas salgan mal. Intentaré echarle un ojo al tema cuando tenga tiempo. Si alguien sabe algo sobre el asunto que lo comente.

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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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