Dibujar un octógono regular de dos formas distintas

CutOutFoldUp, la web sobre desarrollos planos de figuras para hacer en papel de la que os hablé en este Sumatorio de Enlaces, es un auténtico filón para todo lo que tiene que ver con las matemáticas y el papel. Os recomiendo que le echéis un vistazo en profundidad, seguro que descubriréis bastantes pequeñas maravillas.

En este artículo os traigo dos de ellas. En concreto os voy a explicar dos formas de dibujar un octógono regular (polígono regular de ocho lados) que explican en CutOutFoldUp mediante dobleces en papel.

Primera construcción de un octógono regular

Esta primera construcción de un octógono regular es bien sencilla. Os la voy a explicar paso a paso usando las imágenes que aparecen en CutOutFoldUp:

  1. Dibujamos un cuadrado y después sus dos diagonales:

    Estas dos diagonales se cortan en el centro del cuadrado.

  2. Dibujamos ahora el punto medio de cada uno de los cuatro segmentos que van desde un vértice hasta el centro del triángulo, trazando para cada uno de ellos el segmento perpendicular a él que pasa por dicho punto medio. Cada una de esos segmentos cortará a dos lados del cuadrado en sus puntos medios:

  3. Para cada uno de estos puntos de corte con los lados trazamos la bisectriz del ángulo que forma el segmento calculado antes y el lado del cuadrado al que corta (en línea discontinua):

  4. Estas bisectrices se cortan en cuatro puntos, que junto con los cuatro puntos medios de los lados del cuadrado forman un octógono regular:

Y ahora os dejo un applet de GeoGebra donde se puede ver el resultado de todos los pasos anteriores y también que en realidad el objeto encontrado es un octógono regular (seleccionando la casilla Octógono regular, el applet muestra un octógono regular, viéndose entonces que coincide con lo que hemos obtenido anteriormente):

[geogebra width=”622″ height=”506″ image=”http://gaussianos.com/wp-content/themes/fourier/g_aux/octogono/octogono1.JPG”]http://gaussianos.com/wp-content/themes/fourier/g_aux/octogono/octogono1.ggb[/geogebra]

El enlace a CutoutFoldUp donde aparece esta construcción es éste.

Segunda construcción de un octógono regular

Vamos ahora con la segunda construcción que aparece en esta interesante web. Igual que antes, os muestro todos los pasos de la misma:

  1. Dibujamos un cuadrado y después sus dos diagonales:

    que, como antes, se cortan en el centro de dicho cuadrado.

  2. Dibujamos las bisectrices de los ángulos formados por una diagonal y un lado del cuadrado. En total son 8:

  3. Con ello obtenemos un octógono regular en el centro del cuadrado cuyos vértices son 8 puntos de corte de dichas bisectrices:

Esta construcción puede verse en este enlace de CutOutFoldUp.

También os voy a dejar un applet de GeoGebra, pero antes de eso os cuento una curiosidad que puede verse en esta construcción. Vamos a ver el octógono algo más grande y con sus lados en color rojo:

¿Veis algo interesante? Fijaos bien…¡¡Exacto!! Hay otros 8 puntos de corte entre bisectrices:

Y, como estáis imaginando, ¡¡forman otro octógono regular!!:

Y ahora el applet con la construcción inicial, un octógono regular que coincide con el construido el la sorpresa, que es el otro octógono regular del que no se habla en CutOutFoldUp:

[geogebra width=”638″ height=”515″ image=”http://gaussianos.com/wp-content/themes/fourier/g_aux/octogono/octogono2.JPG”]http://gaussianos.com/wp-content/themes/fourier/g_aux/octogono/octogono2.ggb[/geogebra]

Y para terminar, 8+8

Esta última construcción con los octógonos regulares da pie a jugar con ella. y lo que se me ocurrió a mí es dibujar todas las diagonales de los dos octógonos:

Bien, pues si lo hacemos obtenemos un hexadecágono (polígono de 16 lados) regular en el centro del cuadrado:


Esta entrada es mi segunda colaboración a la edición 2.1 del Carnaval de Matemáticas, que organiza el gran Tito Eliatron.

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Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor del blog Gaussianos. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

14 Comentarios

  1. Efectivamente Tito, de hecho, los pliegues mostrados (por ejemplo la imagen del punto 3) junto con un pliegue medio vertical y horizontal son los que hay que hacer para formar un diamante, que después podemos transformar en un pájaro

    Octógono en un pájaro

    Por otra parte DiAmOnD, la segunda sorpresa se puede generalizar, obteniendo muchos más octógonos a partir de uno sólo (y luego recursivamente de cada uno otros tantos, etc…).

    Tú muestras las intersecciones entre las rectas que son prolongación de aristas alternas (que además del octógono puede hacerse en todos los polígonos regulares con aristas pares), pero en cualquier polígono regular podemos repetir esa acción un número n de veces que es función del número de lados (ojo, con el mismo polígono). Por ejemplo, en el triángulo y cuadrados no podemos hacerlo (no hay intersecciones fuera de la figura inicial); en el pentágono y hexágono lo podemos hacer una única vez; en el heptágono y octágono dos veces pero en el nonágono ya se pueden hacer 3, etc…

    Pero es que además, haciendo lo mismo con las rectas ortogonales a las mediatrices podemos hacer otro tanto.

    Así, cabría hacerse la siguiente pregunta:

    ¿cuantos “clones directos” admite un polígono regular de N lados?

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  2. Por cierto Tito, ¿sabías que el papel inicial no tiene porque ser cuadrado (o rectángular)?, sino que puede tener cualquier forma y aun así sólo doblándolo podemos obtener ese octógono (o el diamante, o el pájaro, o …).

    🙂

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  3. Hola, soy nuevo en este blog. Solo queria comentar que me parece chistoso el paso 1: “Dibujamos un cuadrado y después sus dos diagonales”. Si soy capaz de DIBUJAR un cuadrado por que no lo soy de un octagono de entrada?. Es solo curioso, osea las diagonales se pueden hacer doblando como ya decian sin necesidad de ser cuadrado pero bueno.. esta muy bueno el post y los links. Saludos

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  4. Betanzos, la idea de comenzar ya con el cuadrado era simplemente para simplificar el comienzo del proceso.

    José Luis, me parece muy buena idea lo que propones. Ahí queda para quien la quiera usar :).

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  5. yo no se como pueden hacer tantas cosas haci los sorprendo mucho

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