Diez formas de pensar como un matemático

¿Cómo piensa alguien que esté muy metido en las matemáticas? ¿Qué técnicas utiliza para analizar convenientemente las situaciones que se encuentra en sus quehaceres diarios? ¿Hay alguna manera de que cualquier persona pueda llegar a comprender las matemáticas en profundidad? Quizás no, pero lo que sí se puede hacer es seguir algunos consejos sencillos para facilitar esa comprensión y, en su caso, el aprendizaje de las mismas.

Consejos los hay de todo tipo, y seguro que muchos de vosotros habéis seguido algunos que os han dado vuestros profesores o vuestros familiares. Y estoy convencido de que también vosotros mismos habéis dado consejos “matemáticos” en alguna ocasión. Los que aparecen en esta entrada forman parte de un pequeño manual publicado por Kevin Houston, matemático de la Universidad de Leeds, y bajo mi punto de vista forman una lista bastante interesante de ideas para mejorar el aprendizaje y la comprensión de las matemáticas. En lo que sigue podréis leer una traducción de lo más importante que Kevin Houston comenta de cada uno de dichos consejos (en algunos quizás meta algún comentario mío), y al final de este artículo encontraréis el enlace a su manual

Consejo 1: Pregúntate todo

Una de las cosas más bellas de las matemáticas es que pueden ser comprobadas, que no tienes que fiarte de la palabra de nadie. Si alguien dice que algo es cierto, tú puedes pedirle que lo demuestre. O mejor, puedes intentar probarlo tú mismo.

Tu reacción ante un enunciado debería ser desconfiar de él e intentar encontrar un ejemplo que muestre que es falso. Aunque al final dicho enunciado resulte ser cierto, el trabajo mental que conlleva esta búsqueda será beneficioso para ti.

Consejo 2: Escribe con palabras

Se entiende que hablamos de escribir las matemáticas con palabras. ¿Cómo nos puede ayudar esto? Las frases son los ladrillos de los argumentos, y las matemáticas (de alto nivel principalmente) tratan de argumentos en forma de demostraciones (¡no solamente de obtener la respuesta numérica correcta!).

Escribir con palabras en vez de con símbolos te obliga a comprender muy bien el tema del que estás hablando y a pensar muy cuidadosamente tus argumentos. Si no puedes escribirlo bien en una frase quizás es porque no lo has comprendido a la perfección.

Consejo 3: ¿Qué ocurre con el recíproco?

Los enunciados tipo A \rightarrow B aparecen continuamente en matemáticas. Podemos traducirlo como “Si A es cierto, entonces B es cierto”. El recíproco de A \rightarrow B es B \rightarrow A.

Ante un enunciado tipo A \rightarrow B, un buen matemático se preguntará si el recíproco también es cierto por la sencilla razón de que no tiene por qué serlo. Ahí va un ejemplo:

El recíproco de la expresión (cierta) siguiente

Si nací en Madrid, entonces nací en España

es

Si nací en España, entonces nací en Madrid

enunciado que, claramente, no tiene por qué ser cierto.

Por tanto, plantéate si el recíproco es cierto o no, ya no solamente por la propia veracidad o falsedad del recíproco en el caso que estés estudiando, sino porque ese esfuerzo que realizarás te ayudará a mejorar tus habilidades matemáticas.

Consejo 4: Usa el contrarrecíproco

El contrarrecíproco de un enunciado tipo A \rightarrow B es

no \; B \rightarrow no \; A

Por ejemplo, el contrarrecíproco de

Si nací en Madrid, entonces nací en España

es

Si no nací en España, entonces no nací en Madrid

Para mucha gente es sorprendente que sea así, pero la realidad es que la veracidad o falsedad del contrarrecíproco es la misma que la del enunciado inicial. Esto es, ambas sentencias son equivalentes: si una es falsa la otra también, y si una es verdadera también lo es la otra.

Esto debería aprenderse correctamente, ya que el contrarrecíproco se utiliza con bastante frecuencia tanto en las demostraciones matemáticas como en nuestro razonamiento diario.

Consejo 5: Considera casos extremos

Los resultados obtenidos al aplicar un teorema a los casos triviales y extremos de las hipótesis puede ayudar a su comprensión: ¿qué pasaría si cierto número es 0 ó 1? ¿O si consideramos la función trivial f(x) \equiv 0? ¿Qué ocurriría si tomamos el conjunto vacío? ¿Y la sucesión \{1 ,1,1, \ldots \}? ¿Qué obtenemos con un círculo o una recta?

Por ejemplo, utilizando un “caso extremo” es sencillo mostrar que el siguiente resultado es falso:

Teorema“: Dados a,b,c,d números enteros, si ab=cd y a=c, entonces b=d.

Consejo 6: Crea tus propios ejemplos

Un matemático crea sus propios ejemplos, tanto ejemplos estándar como ejemplos extremos, e incluso no-ejemplos.

Veamos uno. El método utilizado para calcular los máximos y mínimos de una función de una variable es bastante conocido. Vamos a quedarnos con el método simplificado:

Dada una función f(x), calculamos su derivada, f^\prime (x), la igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante. Los puntos obtenidos son los posibles máximos y mínimos del problema.

Después calculamos la segunda derivada, f^{\prime \prime} (x), y sustituyendo dichos puntos en ella los clasificamos como máximos, si el valor obtenido al sustituir es negativo, o mínimos, si el valor obtenido al sustituir es positivo.

Con este procedimiento podemos calcular los máximos y los mínimos de una función dada siguiendo estos pasos. Ahora, ¿y si nos piden lo contrario? Es decir, ¿y si nos piden crear una función que, por ejemplo, tenga un máximo en x=1 y un mínimo en x=3? Esto es mucho más complicado que lo anterior, pero por contra nos permite aprender mucho más sobre matemáticas.

Por tanto, dado un método para resolver un cierto tipo de ejercicios es interesante revertir el proceso y crear nuevos problemas yendo del final al principio.

Consejo 7: ¿Dónde se usan las hipótesis?

A menudo comprender la demostración de un resultado es muy complicado. Esto es algo esperado, ya que en muchas ocasiones en las demostraciones no se entra en dar una idea sobre el enunciado del teorema en cuestión o en cómo se descubrió dicha demostración. En definitiva, comprender las demostraciones es una de las cosas más difíciles a las que puede enfrentarse alguien en matemáticas.

Por ello es importante tener alguna idea sobre cómo comenzar a entender una demostración. Y analizar las hipótesis del teorema es un buen comienzo. Investigar dónde se utilizan las hipótesis de nuestro teorema puede ser de gran ayuda a la hora de comprender la demostración. Y encontrar “hipótesis ocultas” (por ejemplo, viendo si dentro de la demostración se usa algún otro resultado que tenga sus propias hipótesis) también puede ser interesante. Además, si encontramos algún resultado que se utilice varias veces a la hora de demostrar teoremas quizás eso indique que el resultado es muy importante o muy útil, por lo que posiblemente nos convenga aprenderlo bien.

Consejo 8: Comienza por el lado complicado

Éste es un consejo interesante a la hora de probar que una igualdad es cierta. Para ello, generalmente es mejor comenzar por el “lado difícil” de la misma y realizar operaciones en él para simplificarlo y así intentar llegar a la expresión que tenemos al otro lado.

Por ejemplo, para demostrar que tg(x)+cotg(x)=2 \; cosec(2x), \; \forall x \in \mathbb{R} tales que x \ne {{n \pi} \over 2}, \; \forall n \in \mathbb{Z}, es mucho mejor comenzar por la parte “más complicada”, la que tiene “más cosas”, la de la izquierda, y realizar operaciones en ella hasta obtener la de la derecha (os lo dejo como ejercicio; si queréis intentarlo no miréis el documento original de Kevin Houston, ya que allí está la solución)

Partir de la igualdad completa y realizar operaciones o reordenaciones en ella puede no ser lo más adecuado, ya que corremos el riesgo de caer en razonamiento circulares o incluso de suponer como cierto lo que queremos demostrar sin darnos cuenta de que lo estamos haciendo.

Consejo 9: Pregúntate qué ocurriría si…

A los buenos matemáticos les gusta preguntarse “¿qué pasaría si…?”. Por ejemplo, “¿qué ocurriría si elimino cierta hipótesis?”. Pensar en esto quizás nos ayude a ver mejor por qué cierto resultado es cierto o por qué una definición es como es. Y hasta podríamos encontrar un nuevo teorema debilitando las hipótesis si encontramos alguna que no sea necesaria.

Otro ejemplo. con frecuencia los objetos matemáticos son conjuntos de elementos que cumplen ciertas condiciones. Y a partir de ciertos conjuntos podemos construir otros conjuntos nuevos. Pues es interesante preguntarse si estos conjuntos nuevos “heredan” las propiedades de los antiguos. Por ejemplo, “si A y B son conjuntos finitos, ¿también lo es su producto cartesiano A \times B?”. “si A y B son conjuntos compactos, ¿también lo es su unión?”.

Consejo 10: ¡Habla!

Cuando Sir Christopher Zeeman fundó el Instituto de Matemáticas de la Universidad de Warwick, una de sus ideas clave para fomentar una atmósfera matemática fue que hubiera pizarras en los pasillos (además de en las clases), para facilitar que la gente pudiera hablar con los demás y explicar su trabajo en cualquier momento (el instituto Isaac Newton de Cambridge tiene pizarras en los baños y hasta en el ascensor…que sólo recorre dos plantas).

Son muchas las ventajas de comunicar tu trabajo a otros. Por un lado, al explicarlo te fuerzas a pensar con claridad. Y por otro lado, puedes aprender de los demás, ya que ellos pueden sugerirte ideas para resolver un problema o avanzar en él o, por otra parte, pueden encontrar errores en tus razonamientos.


Como decía al principio, interesante lista de consejos para pensar “como un matemático”. Creo que todos son muy acertados y muy necesarios para que nuestra mente se acostumbre a pensar de forma matemática. De todas formas, seguro que hay más ideas interesantes que no aparecen en esta lista. Los comentarios son vuestros para plasmarlas.

Aquí tenéis el enlace al manual de Kevin Houston: 10 Ways to Think Line a Mathematician.

Por cierto, la portada del manual incluye varias demostraciones visuales interesantes. Echad un ojo:

Las entendéis todas, ¿verdad?

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

32 Comentarios

  1. No sirve de nada.. porque de hecho lso MEJORES descubrimientos han sido hechos por INTUICION y no por LOGICA ejemplo RAMANUJAN..

    si lo que el señor este nos cuenta fuese VERDAD todos seriamos matematicos famosos 😀 y esta claro que no es asi

    la LOGICA no sirve es la mayoria INTUCION y de eso no se puede enseñar :/

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  2. “”El recíproco de la expresión (cierta) siguiente

    Si nací en Madrid, entonces nací en España
    es

    Si nací en España, entonces nací en Madrid
    enunciado que, claramente, no tiene por qué ser cierto””

    No es que no tiene por qué ser cierto. Es que es falso, incluso si la persona en cuestión ha nacido en Madrid.

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  3. Hola, me gustaría como calcular los sumatorios he habéis mostrado antes en la imagen.

    \sum_{i=1}^n 1/4^x = 1/3

    o

    \sum_{i=1}^n 1/2^{x} = 1

    La verdad es que he estado pensando y no se me ocurre…. me estaré quedando oxidado….

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  4. Hay también “descubrimientos” falsos que se han hecho con intuición. Pero como sólo nos quedamos con las intuiciones que sobreviven a la prueba de la lógica, pues quedamos fascinados.

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  5. jose, lo que llamas intuición, en matemáticas puede ser una forma de pensar. A diferencia de tí yo pienso que los “mejores” descubrimientos se han logrado PENSANDO.

    Robín, no se si a veces somos demasiados estrictos con el lenguaje para expresar verdades matemáticas:
    Si nací en Madrid, siempre, en todos los casos, nací en España.
    Si nací en España, no siempre, no en todos los casos, nací en Madrid, pero, algunas veces, en algunos casos, sí nací en Madrid.

    Alex, ambas son series geométricas con razón menor que 1 y existe la fórmula correspondiente para hallar la suma: S = a(1)/(1-r))

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  6. Alex, primero que todo te has equivocado escribiendo las series. Por ejemplo la primera:

    Es la serie infinita desde n=1 de la expresión 1/4^n

    ¿Ves?, el 4 está elevado a la n, no a la x. Un error pequeño pero catastrófico.

    Para resolver esta serie se puede utilizar…el criterio de la serie geométrica, pues la serie es geométrica (todas las que aparecen en esa portada lo son porque, entre varias razones, tienen una representación geométrica).

    El resultado te da a/(1-r), donde a es el primer término de la serie, que sería 1/4, y r es la razón de la sucesión, que también sería 1/4. Resuelves y te da, precisamente, 1/3.

    La otra serie, la serie infinita desde n=1 de la expresión 1/2^n es prácticamente la misma historia. El resultado es a/(1-r), donde a es el primer término de la sucesión, que sería 1/2, y r sería la razón de la sucesión, que también sería 1/2. Por simple aritmética eso te da 1.

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  7. Quisiera comentar lo siguiente: (1) usar el consejo 4 para una demostración sería usar el método de reducción al absurdo; (2) de el ejemplo del consejo 5 más de un “desprevenido” dirá que ese teorema no es falso…..; (3)”Crea tus propios ejemplos” es el consejo 6 que no ha sido numerado; (4) existen igualdades para las que sería “complicado” usar el consejo 8 de comenzar por el lado complicado; (5) CONSEJO 11: aprende a ser un poquito paranoico con algo difícil que te interese porque de lo contrario NONES, nada lograrás sobre el dicho algo.
    **************
    HOLA ALEX: Saca ¼ y ½ en factor común y aplica la fórmula de suma de una progresión geométrica infinita cuando la razón es menor que 1.

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  8. Luis GSA,

    (1) No estoy de acuerdo. La demostración por contrarrecíproco es una cosa y por reducción al absurdo otra.

    (2) Cierto. La verdad es que el ejemplo es muy bueno para “pillar” a más de uno.

    (3) Se me había pasado. Ya está arreglado. Muchas gracias por el aviso.

    (4) Tienes razón. Pero lo que es cierto es que mucha gente tiende a irse al lado “fácil” para empezar, y en ese caso muchas veces el camino es muy complicado. Quizás este consejo no valdría para todos los casos, pero no lo veo mal.

    (5) No he llegado a comprender muy bien tu “Consejo 11″…

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  9. Por pensar como matemático es que mi mujer me dejó. Eso del recíproco no le gustaba.

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  10. Muy buenos 10 consejos… Pero yo creo que más que 10 consejos para aprender matemáticas son 10 de las cualidades con las que acabamos los matemáticos una vez acabamos los estudios. Yo antes de licenciarme no pensaba así, ahora pienso de esta manera siempre… Y a veces también cansa porque me cuestiono todo y le doy vueltas a todo jaja. Pues eso, más que consejos para aprender yo lo veo como la manera en la que pensamos habitualmente. Y claro, si ya piensas así antes de saber matemáticas pues no te queda otra: sé matemático!!!

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  11. Soy matemático (bueno un título lo acredita, yo sólo soy -y seré- un estudiante de matemáticas).
    Me permito trasladar el consejo 9 a una de las preguntas vitales.
    ¿Qué pasaría si la hipótesis DIOS no estuviese en las ecuaciones de las teorías que explican el Universo real? (Creo que hace poco reiteró esto mismo S. Hawking)

    Por eso soy ateo.
    (Viene a colación de un comentario de un científico llamado Francisco Ayala -que, a su vez hacía referencia a Gould-:
    http://www.agenciasinc.es/Entrevistas/Los-ateos-no-lo-son-porque-la-ciencia-les-haya-hecho-negar-la-religion-sino-por-otras-razones)

    (Disculpad la salida del tema,pero creo que es interesante ver cómo podemos aplicar estas reglas a todo lo que represente conocimiento)

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  12. Un comentario sobre el Consejo 6:
    Los extremos relativos de una función f real de una variable real (si los hay) se encuentran entre los puntos críticos de f, es decir, entre los puntos interiores del dominio de f donde f es derivable y la derivada es nula o donde f no es derivable (por ejemplo la función valor absoluto en 0).
    Luego en mi opinión para calcular los extremos relativos de f se calculan todos los puntos críticos de f, después se estudia su monotonía (la cual es muy importante luego no es recomendable obviarla) y ahora determinamos en que puntos críticos hay un máximo o mínimo relativo y en cuales no hay extremo relativo.
    Todo lo anterior es necesario cuando se estudia una función, luego ¿para qué perder el tiempo y pasar a la derivada segunda o sucesivas?.
    Por otra parte la derivada segunda puede ser de cálculo muy largo y nunca nos dará información en los puntos críticos donde f no es derivable.
    Todo lo anterior es aplicable a los puntos de inflexión.
    Sólo en el caso de funciones muy especiales en las que nos es imposible estudiar su monotonía o la concavidad es necesario pasar a las derivadas sucesivas para obtener los extremos relativos o los puntos de inflexión. Pero estas funciones son tan raras que parecen creadas artificialmente (a través de la Fórmula de Taylor por ejemplo ), con perdón por este atrevimiento.

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  13. HOLA GAUSSIANOS: Quise agregar otro “consejo” 12, pero estando con sueño en la noche, y que era “Cuando escribas sobre matemáticas, nunca lo hagas apresurado porque en algún detalle te equivocarás”. No lo agregué por irme a la cama y paso a comentar sobre tu respuesta.
    (1)Por algo puse “sería”, en condicional. Y precisamente lo puse pensando en mi “consejo” ahora agregado.
    (2)Sí, estoy seguro de que el número de “desprevenidos” será un entero positivo.
    (3) Un simple lapsus, en algo quizás relacionado con el “consejo” 12 aquí dado.
    (4) Respecto de este consejo 8, encontrar el lado más complicado y el menos complicado serían equivalentemente complicados en ocasiones. Cierto que no se ve mal, máxime estando dirigido principalmente a principiantes.
    (5)Ese consejo 11 era un poco el intento de hacer humor burlándome de mí mismo aunque no exento de alguna verdad colectiva (pero adormilado…..).

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  14. El recíproco del ejemplo no sería exactamente cierto, ya que en Colombia hay un municipio que se llama Madrid y si nací allí, definitivamente no nací en España.

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  15. Robin afirma en comentario que:

    ““”El recíproco de la expresión (cierta) siguiente

    Si nací en Madrid, entonces nací en España
    es

    Si nací en España, entonces nací en Madrid
    enunciado que, claramente, no tiene por qué ser cierto””

    No es que no tiene por qué ser cierto. Es que es falso, incluso si la persona en cuestión ha nacido en Madrid.”

    Ocurre que la expresión “Si nací en España, entonces nací en Madrid” es una implicación material, no una implicación formal. Porque no es necesariamente verdadera (como lo es su recíproca). Puede ser verdadera, aunque también “puede ser falsa”.

    Por tanto, no es necesariamente verdadera, pero tampoco es necesariamente “falsa”.

    Por otra parte, si se diera el caso de que la persona en cuestión ha nacido en Madrid, entonces el consiguiente de esa implicación (“nací en Madrid”) sería verdadero. Y por tanto en ese caso la implicación material “Si nací en España, nací en Madrid” sería verdadera.
    Porque una implicación material sólo es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consigueinte es falso (y esto último no ocurre en este caso).

    Lo que es más (y por la misma razón anterior). En el caso de que esa persona hubiera nacido en Madrid, entonces sería verdadera cualquier implicación que tuviera como consiguiente “nací en Madrid”. Porque una de las paradojas de la implicación material es precisamente esa: un enunciado verdadero es implicado por cualquier cosa. Por ejemplo, si esa persona hubiera nacido en Madrid, sería verdadero lo siguiente: “Si nací en Francia, nací en Madrid”.

    No soy matemático. La lógica es el tema de fondo en realidad.

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  16. HOLA JOSEMAN8: Los dos infinitos, el del cardinal de los enteros y el de los puntos del intervalo [0, 1], son dos infinitos de diferente naturaleza y se alude a los mismos diciendo que el primero es del numerable (o contable) y el otro es del continuo (el “número” de puntos del intervalo). Durante largo tiempo los matemáticos se plantearon el muy importante problema de la llamada Hipótesis del Continuo, consistente en la cuestión de si hay un infinito estrictamente mayor que el del numerable y estrictamente menor que el del continuo, es decir estrictamente situado entre ambos. Fue recién en 1963 que J.P. Cohen demostró que dicha hipótesis no era ni verdadera ni falsa o, si quieres, que es verdadera y falsa a la vez. Me gustaría ver qué opinas de este punto que te he expuesto algo informalmente por razones obvias (más me agradaría si fueras lógico no siendo matemático).

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  17. Y en el caso de la 10 y ser amateur, con quien hablamos o o a quien preguntamos para seguir aprendiendo?

    Buen post

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  18. En el estudio de cables que sostienen cargas verticales distribuidas, la ecuación de estos viene determinada por una ecuación diferencial; ecuación que depende de como este cargado el cable, la importancia de estos cables es que no tienen tracciones laterales por lo que son de gran importancia en la construcción de puentes y en arquitectura, los ingenieros sólo estudian dos formas de cargar un cable aunque hay infinitas y esto es así porque sólo son esas dos cargas las que soportan los cables en la construcción de puentes.
    Un cable es el parabólico y el otro la catenaria.
    Estudiándolos he tenido que considerar a la vez el cable parabólico y la catenaria de forma que los dos tengan los mismos soportes y el mismo vértice y he tenido que estudiar su posición relativa, muy importante para la arquitectura como hizo Gaudí, y me he encontrado con una funión de las que con fecha 14/06/2013 califiqué de raras y que parecen creadas artificialmente.
    Retiro todo lo anterior no son raras ni se crean artificialmente, y te permiten adivinar, porque la catenaria es el mejor arco para la arquitectura.
    Aunque Gaudí fue el primero en occidente en usar arcos catenarios en sus obras, estos siempre han sido usados en el Sudán que por carecer de madera los pobres sólo utilizaban adobe y construian y construyen habitaciones circulares con forma de cúpula catenaria y como no hay tracciones laterales el adobe adquiere una resistencia extraordinaria. El Islam lo copió de los sudaneses para construir Mezquitas y hoy en día la enorme resistencia y estabilidad de las bóvedas catenarias hace que e usen para cubrir los reactores en las centrales nucleares.
    Ninguna función es rara.

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  19. Gracias Jose, demasidas veces, si no todas, encuentro demostraciones correctas de teoremas, pero rara vez demostraciones incorrectas con la explicacion de por que lo son y asi poder aprender que no hay que hacer.

    Un saludo

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  20. un articulo muy interesante, lo felicito por su blog, en pocos lugares se entiende y explica tan bien la matematica, siempre me gusto pensar y resolver problemas, muchas gracias

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  21. Robín, yo lo que recuerdo de las proposiciones lógicas de BUP era que
    si A implica B, No B implica No A.
    Aplicado a tu frase, Si nací en Madrí nací en España y
    si no nací en España no nací en Madrí.

    Saludos

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  22. En el mundo laboral que me ha tocado, es realmente difícil aplicar las bases del pensamiento matemático. La razón principal, el tiempo que se invierte y que la empresa no quiere “malgastar”. El error es algo asumido y a veces se premian las soluciones rápidas antes que las soluciones globales. Como matemática (o al menos licenciada) es algo que me ha costado y que aún me cuesta asumir…pero así parece que eres más rentable. Luego decir que hay verdaderos maestros ocultando sus errores 🙂 no es mi caso.
    Creo que habría que añadir a este decálogo de pensamiento matemático, saber reconocer los errores siempre que exista una demostración que los refute. Para mi esa es la base y parte de la grandeza de las matemáticas. Da igual quien seas, de dónde vengas o a qué te dediques…si traes una demostración bajo el brazo, la comunidad de matemáticos ha de tenerlo en cuenta. Y ya será para siempre.

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  23. Disculpen mi ignorancia pero, me podrian explicar el porque el teorema : Dados a,b,c,d números enteros, si ab=cd y a=c, entonces b=d, es falso?
    Saludos

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  24. JoaquinS: Si a=c=0, entonces 0*1=0*2, y 1 es distinto de 2.

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  25. creo que si estaba despistado no lo mire de ese modo, muchas gracias por la explicacion saludos

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  26. Desde que empecé a leer me gustó el consejo 1) ya me imagimo el resto!

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  27. Para aclarar, el teorema del consejo 5 es falso.
    Si a=1; b=10; c=2; d=5, entonces sustituyendo valores:
    ab=cd
    1*10=2*5
    10=10

    Es verdad que diez es igual a 10, pero es falso que b=d (como se supone ser en el “teorema”).

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  28. Hola, la verdad es que no comprendo muy bien estos consejos, soy estudiante de ingeniería informática y quisiera aprovechar estos consejos pero con apoyo de libros u otros recursos, les agradecería las recomendaciones

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