Diferencia múltiplo de 6

Un juego sencillito para comenzar la semana de Gaussianos:

Dados x,y números enteros demostrar que la diferencia de las expresiones x^3+y y y^3+x es un múltiplo de 6

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

12 Comentarios

  1. ¡Qué divertido!

    Por un lado, podemos expresar la resta (x^3+y)-(y^3+x) como (x^3-x)-(y^3-y). Tenemos la resta de dos términos. El primer término es una resta de dos números congruentes módulo 2: o ambos son pares o ambos son impares. Por tanto, su resta es par. Lo mismo le ocurre al segundo término: si y es (im)par, también lo será y^3, y su resta será par. Así pues, una resta de dos pares es par. Ya hemos demostrado que la diferencia de ambas mitades es par, y por tanto la expresión del enunciado es múltiplo de 2.

    Para demostrar que la expresión es múltiplo de 3 no he encontrado una manera elegante. Lo he hecho por “exhaustión”, mirando todas las posibilidades. Seguro que hay alguien más inspirado que acorta este paso.

    Volvemos a la expresión (x^3-x)-(y^3-y) y nos quedamos con la primera parte: (x^3-x). x puede ser de la forma 3n, o 3n+1 o 3n+2.
    Si es x=3n, tenemos

    (x^3-x)=(3n)^3-3n=3(9n^3-n), que es múltiplo de 3.

    Si es x=3n+1, tenemos

    (x^3-x)=(3n+1)^3-(3n+1)=3(9n^3+9n^2+2n), que es múltiplo de 3.

    Si es x=3n+2, tenemos

    (x^3-x)=(3n+2)^3-(3n+2)=3(9n^3+18n^2+11n+2), que es múltiplo de 3.

    Idéntico razonamiento puede aplicarse a la segunda expresión, y-y^3. Y la resta de ambas expresiones, múltiplos de tres, dará forzosamente un múltiplo de 3.

    Por tanto, al ser la expresión múltiplo de 3 y de 2 simultáneamente, es múltiplo de 6.

    QED 🙂

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  2. (x^3+y)-(y^3+x) = x(x^2-1)-y(y^2-1) = x(x+1)(x-1) - y(y+1)(y-1)

    Y como en cada sumando tenemos el producto de 3 números consecutivos, evidentemente el resultado de cada producto es múltiplo de 2 y de 3 a la vez, es decir, múltiplo de 6. Como esto ocurre para ambos números, la diferencia también es múltiplo de 6.

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  3. Es posible demostrar que x³-x es múltiplo de 3 de manera análoga a como se hizo para demostrar que es múltiplo de 2.
    Tenemos que:
    x³-x=x*(x²-1)=x*(x+1)*(x-1).
    Si x es múltiplo de 3 el problema es trivial. No menos trivial resulta en otro caso, puesto que x no es multiplo de 3 necesariamente han de serlo ó x-1 ó x+1, con lo que queda demostrado que x³-x es múltiplo de 3 además de de 2

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  4. Si x=y la diferencia es 0. Y como al 0 lo dividen todos menos él, pues entonces el 6 es divisor de 0 igualmente.

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  5. edmond:
    Existe cierto vapuleado diagrama que sirve como modelo de los divisores del número cero.

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  6. Se puede demostrar que:

    n^3 - n  = 6\sum_{k=0}^h T(k)

    Con h=n-2

    y T(n)=\sum_{k=1}^n k son los números triangulares.

    No sé si saldrá bien, es la primera vez que uso Látex, pero sabiendo eso, ya sabemos que:

    (x^3 -x) -(y^3 - y) debe ser múltiplo de 6, y por tanto (x^3 + y) - (y^3 + x) también.

    Si hay algún error comunicádmelo, espero no haberme equivocado en nada.

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  7. Gracias Oleg.

    Cierto, Señor J, solamente que para ello hay que saber que la suma de los primeros k números triangulares es \frac {k(k+1)(k+2)}{6}, la cual ya nos indica que el producto de 3 números consecutivos es múltiplo de 6. Haciendo k=n-1 obtenemos que efectivamente, n^3 - n es divisible por 6.

    Buena observación el relacionarlo de alguna manera con los números triangulares!

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  8. Yo también lo reconozco Asier, tu demostración es genial, pero lo verdaderamente interesante de esto es ver que cada uno sigue un camino completamente distinto a los demás, aunque todos queramos llegar a lo mismo :D, un saludo.

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  9. Me gustaría retomar este post para proponer un problema relacionado:

    EDITADO POR ^DiAmOnD^

    El problema propuesto aquí junto con otro aparecerán el próximo martes en el blog. Aunque en el comentario siguiente a éste ya tenéis una pequeña pista.

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