Diferencia múltiplo de 6

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Un juego sencillito para comenzar la semana de Gaussianos:

Dados $x,y$ números enteros demostrar que la diferencia de las expresiones $x^3+y$ y $y^3+x$ es un múltiplo de 6

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 28 de August de 2007
Categorías: Juegos | Imprime este post

Sin comentarios

Remo | 28 de August de 2007 | 10:58

¡Qué divertido!

Por un lado, podemos expresar la resta $(x^3+y)-(y^3+x)$ como $(x^3-x)-(y^3-y)$ . Tenemos la resta de dos términos. El primer término es una resta de dos números congruentes módulo 2: o ambos son pares o ambos son impares. Por tanto, su resta es par. Lo mismo le ocurre al segundo término: si $y$ es (im)par, también lo será $y^3$ , y su resta será par. Así pues, una resta de dos pares es par. Ya hemos demostrado que la diferencia de ambas mitades es par, y por tanto la expresión del enunciado es múltiplo de 2.

Para demostrar que la expresión es múltiplo de 3 no he encontrado una manera elegante. Lo he hecho por “exhaustión”, mirando todas las posibilidades. Seguro que hay alguien más inspirado que acorta este paso.

Volvemos a la expresión $(x^3-x)-(y^3-y)$ y nos quedamos con la primera parte: $(x^3-x)$ . $x$ puede ser de la forma $3n$ , o $3n+1$ o $3n+2$ .
Si es $x=3n$ , tenemos

$(x^3-x)=(3n)^3-3n=3(9n^3-n)$ , que es múltiplo de 3.

Si es $x=3n+1$ , tenemos

$(x^3-x)=(3n+1)^3-(3n+1)=3(9n^3+9n^2+2n)$ , que es múltiplo de 3.

Si es $x=3n+2$ , tenemos

$(x^3-x)=(3n+2)^3-(3n+2)=3(9n^3+18n^2+11n+2)$ , que es múltiplo de 3.

Idéntico razonamiento puede aplicarse a la segunda expresión, $y-y^3$ . Y la resta de ambas expresiones, múltiplos de tres, dará forzosamente un múltiplo de 3.

Por tanto, al ser la expresión múltiplo de 3 y de 2 simultáneamente, es múltiplo de 6.

QED
Asier | 28 de August de 2007 | 11:22

$(x^3+y)-(y^3+x) = x(x^2-1)-y(y^2-1) = x(x+1)(x-1) - y(y+1)(y-1)$

Y como en cada sumando tenemos el producto de 3 números consecutivos, evidentemente el resultado de cada producto es múltiplo de 2 y de 3 a la vez, es decir, múltiplo de 6. Como esto ocurre para ambos números, la diferencia también es múltiplo de 6.
kif | 28 de August de 2007 | 11:27

Es posible demostrar que x³-x es múltiplo de 3 de manera análoga a como se hizo para demostrar que es múltiplo de 2.
Tenemos que:
x³-x=x*(x²-1)=x*(x+1)*(x-1).
Si x es múltiplo de 3 el problema es trivial. No menos trivial resulta en otro caso, puesto que x no es multiplo de 3 necesariamente han de serlo ó x-1 ó x+1, con lo que queda demostrado que x³-x es múltiplo de 3 además de de 2
Koldo85 | 28 de August de 2007 | 18:11

Una duda:
¿Y si x=y?
edmond | 28 de August de 2007 | 18:26

Si x=y la diferencia es 0. Y como al 0 lo dividen todos menos él, pues entonces el 6 es divisor de 0 igualmente.
Oleg | 29 de August de 2007 | 10:11

Hay que reconocer que la demostracion de Asier es preciosa
Omar-P | 29 de August de 2007 | 12:44

edmond:
Existe cierto vapuleado diagrama que sirve como modelo de los divisores del número cero.
El Señor J | 29 de August de 2007 | 14:06

Se puede demostrar que:

$n^3 - n = 6\sum_{k=0}^h T(k)$

Con h=n-2

y $T(n)=\sum_{k=1}^n k$ son los números triangulares.

No sé si saldrá bien, es la primera vez que uso Látex, pero sabiendo eso, ya sabemos que:

$(x^3 -x) -(y^3 - y)$ debe ser múltiplo de 6, y por tanto $(x^3 + y) - (y^3 + x)$ también.

Si hay algún error comunicádmelo, espero no haberme equivocado en nada.
Asier | 29 de August de 2007 | 18:43

Gracias Oleg.

Cierto, Señor J, solamente que para ello hay que saber que la suma de los primeros k números triangulares es $\frac {k(k+1)(k+2)}{6}$ , la cual ya nos indica que el producto de 3 números consecutivos es múltiplo de 6. Haciendo k=n-1 obtenemos que efectivamente, $n^3 - n$ es divisible por 6.

Buena observación el relacionarlo de alguna manera con los números triangulares!
El Señor J | 30 de August de 2007 | 00:11

Yo también lo reconozco Asier, tu demostración es genial, pero lo verdaderamente interesante de esto es ver que cada uno sigue un camino completamente distinto a los demás, aunque todos queramos llegar a lo mismo , un saludo.
Asier | 29 de September de 2007 | 00:05

Me gustaría retomar este post para proponer un problema relacionado:

EDITADO POR ^DiAmOnD^

El problema propuesto aquí junto con otro aparecerán el próximo martes en el blog. Aunque en el comentario siguiente a éste ya tenéis una pequeña pista.
1+2+3+4+5+6+...=-1/12 | 29 de September de 2007 | 20:00

entre congruencias (por ejemplo) anda el juego…