Disponible “Bounded gaps between primes” de Yitang Zhang y algunas mejoras a la cota de 70000000

Ya está disponible el trabajo Bounded gaps between primes de Yitang Zhang, en el que demuestra que existen infinitas parejas de primos que están a una distancia menor que 70000000, en el apartado de Annals of Mathematics dedicado a publicaciones que aparecerán en próximos números. Por desgracia, hay que estar suscrito a Annals of Mathematics para poder verlo. Os dejo el abstract del mismo:

It is proved that

\displaystyle{\liminf_{n \to \infty} (p_{n+1}-p_n) < 7 \times 10^7}

where p_n is the n-th prime.

Our method is a refinement of the recent work of Goldston, Pintz and Yildirim on the small gaps between consecutive primes. A major ingredient of the proof is a stronger version of the Bombieri-Vinogradov theorem that is applicable when the moduli are free from large prime divisors only (see Theorem 2), but it is adequate for our purpose.

Recuerdo que ya hablamos de todo esto en esta entrada hace unas semanas. Al parecer Zhang, después del seminario que impartió el 13 de mayo, envió su artículo el 16 de mayo a la revista, que lo aceptó el 21 de mayo.

Por otra parte, desde el anuncio de la noticia del trabajo de Zhang han aparecido varias mejoras en la cota de 70000000 que se da en dicho trabajo: 63374611 (Mark Lewko), 59874594 (Tim Trudgian) o 59470640 (Scott Morrison). En los comentarios de este último enlace y en los de la última fuente que aparece más abajo hay más información sobre el tema, tanto de la línea seguida por Zhang en su demostración como de la que parece que han seguidos los cazadores de mejoras de la cota.

Por desgracia, parece que estas mejoras no son todo lo esperanzadoras que cabría esperar, ya que las ideas usadas para ello no podrán ayudar a rebajar la cota al esperado 3 que supondría la demostración de la conjetura de los primos gemelos. Para ello habría que introducir nuevas ideas más profundas que esperamos ansiosos.


Fuentes:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

18 Comentarios

  1. Ya sabía que los “cazadores de mejoras de cotas” iban a lanzarse entusiastas a la dura faena de efímero recordman. La “reducción” de 13.008.612 indicada por Vengoroso es evidentemente bastante grande pero está lejos del 3 que indica aquí Gaussianos. Notemos que la actual cota está mucho más cerca del 3 que de los 70 millones de Zhang pero, ya lo indica el mismo Gaussianos, ahora la cosa sería más cualitativa que cuantitativa para poder avanzar en el punto, lo cual si fuera cierto establecería que la metódica de Zhang se agotó (entiendo que para afirmar sin ambages esto hay que estar totalmente empapado del tema, lo que no es mi caso). Eso prácticamente equivaldría a tener que esperar otro largo tiempo para que el asunto adquiera similar relevancia a la que obtuvo Zhang.

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  2. @Fractalon me temoque si no se ha publicado ya un preprint “abierto” en arxiv o similares la unica manera de acceder a la demostracion es mediante subscripcion al Annals of Mathematics. La mayoria de las universidades que tengan un perfil investigador deberian tener subscripcion institucional, si pruebas el enlace desde la biblioteca de alguna deberias poder descargarlo.

    @Luis GSA todos los “cazadores de cotas” saben que la parte dura del trabajo es la que ha hecho Zhang, que es el que ha aportado una idea nueva y demostrado una desigualdad. Lo que se esta haciendo ahora “en comunidad” es refinar esta desigualdad al máximo (en teoría de números se llama “obtener una desigualdad efectiva”). Esto NO va a demostrar la conjetura de los primos gemelos, pero es importante porque la cota obtenida en esta desigualdad puede luego emplearse en otras demostraciones, de modo que cuanto mas fina sea se obtendran mejores resultados.
    Por lo que comentan los expertos, parece que sin introducir ideas nuevas, solo refinando la tecnica de Zhang, la cota se puede rebajar en teoria hasta unos 6 millones, pero para bajar de ahi hace falta introducir tecnicas nuevas.

    En mathoverflow hay una discusion sobre los pasos para optimizar estas cotas:
    http://mathoverflow.net/questions/132632/tightening-zhangs-bound
    que ha derivado en un proyecto “polymath”:
    http://polymathprojects.org/2013/06/04/polymath-proposal-bounded-gaps-between-primes/

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  3. Me autocorrijo: Cota de 5 millones (o mas concretamente 4,802,222) alcanzada (ver comentario 52 en la discusion de sbseminar citada arriba)

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  4. Hola Vengoroso, dos cosas cordialmente expuestas: (1)me gusta mucho la teoría de números –más la algebraica de la que conozco bastante, que la analítica de la que conozco muy poco—pero no había oído nunca mencionar lo de “desigualdad efectiva” (sí lo de demostración efectiva, o constructiva, por oposición a la demostración por reducción al absurdo) y yo en esa línea tenía en mente más bien “la mejor cota”, también usada bastante en análisis en donde las acotaciones son importantísimas (escuché cierta vez a un gran matemático decir “en matemática una desigualdad es mucho más importante que una igualdad”); (2)la “comunidad” a la que aludes, es un terreno fuertemente competitivo en lo que va la vida para algunos, quienes necesitan publicar “papers” para poder seguir ganándose el pan con el sudor de sus sesos (en sus exigentes centros de trabajo, facultades, institutos, etc, que no perdonan el no publicar).
    Post data: Lo que dices, ”ahí hace falta introducir técnicas nuevas”, está dicho con otras palabras en la última parte de mi anterior comentario.

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  5. Hola Luis,
    estamos de acuerdo en casi todo. Lo que queria decir es que la mejora de cotas era esperable y deseable, y no es que la gente esté saltando como hienas sobre el problema intentando robarle el mérito a Zhang. No sé por qué se usa el término “cota efectiva” en vez de cota óptima, pero en teoría de números y geometría aritmética se usa mucho (basta buscar “effective bound” en google para encontrar un buen puñado de artículos).
    Finalmente, sé (de primera mano) lo competitiva que puede ser la “comunidad”. Pero creo que todo teórico de números profesional sabe que de estas conversaciones y mejoras no sale un artículo “serio” y creo que es bueno (para todos) que la discusión esté teniendo lugar en público en vez de en algún seminario en un sitio concreto, así el que de verdad esté interesado en publicar se puede centrar en hacer mejoras sustanciales y no tiene que perder el tiempo en atar cabos sueltos.
    Un saludo!

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  6. OK Vengoroso, gracias; te devuelvo el saludo. Voy a curiosear en Google sobre “effective bounds” (no me extrañaría que la terminología sea “efectivamente” algo nueva e involuntariamente imperialista…..).

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  7. Hola Vengoroso. Miré “effective bounds” en Google y como mi rama es curvas elípticas, el perrito de Pavlov movió con agrado la cola al ver la palabra “cubic” del artículo “Families of cubic Thue equations with effective bounds for the solutions”. Me parece estar seguro de que aquí cota efectiva no significa cota óptima sino que es una constante (en la ocurrencia dos lo cual no viene al caso) que permite establecer un enunciado; más aún, que los dos autores no se han planteado siquiera el problema de “mejorar” la acotación que han establecido. Creo que lo de “efectivo” consiste más bien en el hecho de ser la cota calculable por ordenador, que es una noción más bien computacional; también una cota efectiva sería un número k tal que sustituyera al hecho de que algo sea finito por la acotación correspondiente con k (en la primera aserción la cota sería infinito y con k en la mano obviamente que se ganaría un montón) De tal forma que lo de cota óptima sería más bien otra cosa. No descarto el poder estar equivocado. Saludos cordiales.

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  8. ¿Siguen mejorando la cota?
    Se agradecerían noticias, de los mas informados sobre el tema.
    Gracias.

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  9. Terence Tao y sus colegas siguen mejorando la cota. Actualmente es de 5414, (confirmado) con un k_0 de 720 (el k_0 del trabajo de Zhang era 3500000).

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  10. Terence Tao y sus colegas siguen mejorando la cota. Actualmente es de 4686, con un k_0 de 633 (el k_0 del trabajo de Zhang era 3500000).

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  2. Hazlo y publícalo ya, aunque se pueda hacer mejor, no importa, pero publícalo ya | Francis (th)E mule Science's News - [...] de New Hampshire) ha demostrado que existen infinitos pares de primos separados menos de una distancia de 70.000.000; es obvio…
  3. De 70000000 a 700 en seis meses - Gaussianos | Gaussianos - […] Hace unos meses la comunidad matemática internacional se revolucionaba gracias al trabajo Bounded gaps between primes, de YiTang Zhang,…

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