Dónde está el coeficiente líder

Como ya os he comentado en alguna ocasión, de vez en cuando me gusta hablar sobre algunos errores importantes que de forma recurrente cometen los chicos a los que les doy clase. Hoy vamos a ver uno de ellos relacionado con el coeficiente líder.

LíderGeneralmente el líder es el primero, el que va delante, el que marca tendencia. En relación con los polinomios, el coeficiente líder es el coeficiente del término de mayor grado del mismo, y, por tanto, es el primero, el que va delante y el que marca tendencia. Por poner un par de ejemplos, el coeficiente líder de este polinomio

7x^3+12x^2-3x+4

es 7, y el de éste

-5x^5+6x^3-2x+9

es -5, mientras que el de éste

x^4+11x^3+4x^2-5x+2

es 1.

Dejemos por un rato de lado al coeficiente líder para hablar sobre factorización de polinomios (descomposición de polinomios como producto de sus factores). En muchas situaciones es conveniente y necesario factorizar algún polinomio, por lo que es fundamental tener claro cómo hacerlo. No nos vamos a meter a fondo en ello, simplemente nos vamos a quedar con que un polinomio de grado 1 ya no puedes descomponerse más, uno de grado 2 puede descomponerse o no según lo que nos diga la famosa fórmula para resolver ecuaciones polinómicas de grado 2 y para intentar descomponer uno de grado 3 o superior se suele usar la conocida como regla de Ruffini (que aunque no es “completa” sí que es útil es los casos que aparecen más habitualmente).

Vamos a descomponer uno de grado 2, pongamos x^2+3x-10. Para ello lo igualamos a cero y usamos nuestra fórmula:

\begin{matrix} x^2+3x-10=0 \\ \\ x=\cfrac{-3 \pm \sqrt{3^2-4\cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}=\cfrac{-3 \pm 7}{2} \end{matrix}

que nos da las soluciones x=2 y x=-5, de donde obtenemos los factores x-2 y x-(-5)=x+5. Por tanto, nuestro polinomio anterior es igual al producto de estos dos factores, es decir:

x^2+3x-10=(x-2) \cdot (x+5)

Podéis comprobar que efectivamente es así.

Probemos con otro. Esta vez será 3x^2+15x+12. Igual que antes, igualamos a cero y usamos la fórmula:

\begin{matrix} 3x^2+15x+12=0 \\ \\ x=\cfrac{-15 \pm \sqrt{15^2-4\cdot 3 \cdot 12}}{2 \cdot 3}=\cfrac{-15 \pm 9}{6} \end{matrix}

que da como soluciones x=-1 y x=-4, y por tanto los factores x-(-1)=x+1 y x-(-4)=x+4. Entonces el polinomio que hemos descompuesto sería igual, como antes, al producto de estos dos factores, esto es:

3x^2+15x+12=(x+1) \cdot (x+4)

…algo falla, ¿verdad? Evidentemente. Si realizamos el producto de esos dos factores obtenemos como resultado el polinomio x^2+5x+4, que no es el polinomio inicial. Ahora, un poquito de vista nos lleva a darnos cuenta de que si multiplicamos todos los coeficientes por 3 sí que obtenemos el polinomio inicial. Pues precisamente ésa es la clave, al expresar un polinomio como producto de sus factores hay que multiplicar dicho producto de factores por el coeficiente líder del polinomio para que la factorización sea correcta. ¿Por qué en el ejemplo anterior no hizo falta hacerlo? Muy sencillo: porque el coeficiente líder de ese polinomio era 1, por lo que no es necesario realizar dicha multiplicación.

Este detalle tan simple se le escapa a prácticamente todos los chicos que han pasado por mis manos. Sí, a casi todos: a los más “justitos” y a los más “avispados”, e independientemente de la complejidad de sus estudios. ¿La razón? Pues, a riesgo de equivocarme, pienso que es que (casi) siempre se les plantean ejercicios en los que el coeficiente líder de los polinomios a factorizar es 1, por lo que no tienen que preocuparse de este “detalle”. Y pienso que la razón es ésta después de ver hojas de ejercicios desde hace unos cuantos años pertenecientes a todos los niveles. En ellas he visto que, generalmente, en los inicios de la factorización de polinomios en alguna ocasión aparece alguno con coeficiente líder distinto de 1, pero conforme se va avanzando de nivel estos ejemplos desaparecen, pasando a tener todos coeficiente 1, tanto en el instituto como en la universidad.

Esto supone que hasta para los más aplicados este asunto parezca completamente nuevo cuando se les presenta en un nivel relativamente avanzado, digamos 1º de Grado. Tendríais que ver la cara de la mayoría cuando ven que al hacer el producto de los factores no les queda el polinomio inicial, y que multiplicando el resultado que obtienen por el coeficiente líder se arregla todo. Las caras de sorpresa, como si estuvieran viendo a un mago en el momento álgido del truco, suelen poblar el aula en ese momento. Y todo esto si llegan a toparse con algún polinomio así y algún profesor (como yo) que les explique la situación, porque si no lo que nos encontramos son errores.

Pienso que esto no debería ser así, y que se puede solucionar mucho antes variando el tipo de ejercicios propuestos en todos los niveles. No podemos sacrificar el aprendizaje por la comodidad.

Me gustaría que los profesores que suelen visitar el blog nos dejen su experiencia y su opinión sobre este tema en los comentarios. Y que los alumnos nos cuenten cómo han visto este asunto en clase. Y bueno, que cualquiera que quiera opinar al respecto lo haga, faltaría más.


Imagen tomada de aquí.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

17 Comentarios

  1. Cuando enseño a integrar a mis alumnos, en concreto, cuando les enseño la integración de funciones racionales por descomposición en fracciones simples, les RECOMIENDO encarecidamente que pongan el polinomio del denominador con coeficiente líder=1. Así pueden igualar directamente denominadores y no andar con el coeficiente líder.

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  2. Yo procuro hacer énfasis en el hecho de que varios polinomios de segundo grado pueden tener el mismo par de raíces, de modo que vean que calcular raíces y factorizar no es exactamente lo mismo, aunque la parte más pesada sea común.

    Insisto mucho, además, en poner ejercicios y ejemplos en los que el coeficiente líder es distinto de 1.

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  3. Mis problemas de factorización de polinomios en cuarto de ESO, por no hablar de bachillerato, raramente incluyen polinomios con “coeficiente líder” (yo lo llamo coeficiente principal) uno.
    Es más, los buenos alumnos se acostumbran (y lo usan según les convenga) a factorizar de dos forma.
    Por ejemplo 6x²-11x+3=6·(x-3/2)(x-1/3) pero también 6x²-11x+3=(2x-3)(3x-1) lo que es mucho más útil en ciertos ejercicios.
    Pero sí es cierto que el error que citas es muy muy común.

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  4. Estoy 100% de acuerdo en que la razón esta en que (casi) siempre se les plantean ejercicios en los que el coeficiente director de los polinomios a factorizar es 1.

    Y no estoy de acuerdo en que se factorice así; 6x²-11x+3=(2x-3)(3x-1) como alguien ha propuesto más arriba, la ortodoxia y el rigor son imprescindibles en matemáticas y las cosas estan bien o mal hechas. Si falta ortodoxia y rigor ya no estamos hablando de matemáticas sino de otra cosa.

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  5. Miguel, yo no veo que la factorización (2x-3)(3x-1) este falta de rigor u ortodoxia … Es una factorización en el anillo de los polinomios con coeficientes enteros. Ya se sabe, desde Gauss creo, que si un polinomio con coeficientes enteros es factorizable en Q[x], también lo es en Z[x], aunque los factores no sean mónicos. Por cierto, como dice pcrdeg, yo siempre lo llamé coeficiente principal, no líder.

    El problema se presenta sobre todo en polinomios con raíces racionales, pues de lo contrario siempre se puede, y yo diría que se debe, sacar factor común entre los coeficientes. Especialmente para resolver ecuaciones de 2º grado.

    No me resisto a poner un enlace a un applet que hice sobre factorización y regla de Ruffini:

    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Ruffini.html

    Precisamente uno de los ejemplos propuestos tiene mucho que ver con el tema del artículo:

    4x⁵ – 11x³ – 3x² + 7x + 3 = (2x + 1)(2x – 3)(x – 1)(x+1)²

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  6. Ya dejé una opinión de este parecido un día, y sigo reafirmándome. A los alumnos no les interesa, al sistema educativo no les interesa, y a los políticos tampoco, así es la LOGSE o como lo llamen ahora. Detalles como estos, cuando el gobierno me dejaba dar clases, he hecho hincapié muchas veces, los he puesto en examenes y un 80% o más no lo hacen bien por falta de interés, así de claro y crudo.

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  7. Yo lo conocía como coeficiente principal en vez de líder.
    Envié un articulo sobre polinomios el 26 de enero 🙁 no me ha respondido.

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  8. Muy interesante esta entrada: mis alumnos son de 4º de ingeniería, y en asignaturas de control automático aparece este problema, pues los sistemas físicos se representan por cocientes de polinomios en los que las raíces del denominador definen muchísimas cosas sobre el comportamiento dinámico. Por tanto hay que manejar con soltura esos polinomios tanto en versión descompuesta como en polinomios originales, y al pasar de una a otra en muchas ocasiones se nos olvida (¡a mí el primero!) el coeficiente líder y acaban apareciendo cosas rarísimas ;P .

    Si me dáis vuestro permiso pondré un enlace a esta entrada en la web de la asignatura, para que nos sirva de recordatorio.

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  9. Esta factorización es correcta, 6x²-11x+3=(2x-3)(3x-1). Pero yo me refiero a la descomposición factorial de un polinomio en C[x] o en R[x], y la anterior no es la descomposición factorial del polinomio de la izquierda. Me imagino que estamos hablando de pasos previos al cálculo de primitivas y entonces lo más conveniente es la descomposición factorial , hacer otro tipo de descomposiciones nos puede complicar la vida, que los cálculos sean más engorrosos , y no digo nada si el polinomio tiene raices complejas no reales.

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  10. Vuelvo a insistir la descomposición 6x²-11x+3=(2x-3)(3x-1) no me dice nada y la
    6x²-11x+3=6(x-3/2)(x-1/3) mucho: signo de funciones, si no he visto todavia Bolzano. Cálculo de límites. Derivadas n-ésimas. Desarrollo en serie de potencias. Cálculo de primitivas y alguna cosa que me habré dejado en el tintero.

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  11. Vuelvo a insistir la descomposición 6x²-11x+3=(2x-3)(3x-1) no me dice nada y la
    6x²-11x+3=6(x-3/2)(x-1/3) mucho: signo de funciones, si no he visto todavia Bolzano. Cálculo de límites. Derivadas n-ésimas. Desarrollo en serie de potencias. Cálculo de primitivas y alguna cosa que me habré dejado en el tintero.

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  12. Aún queda esperanza… Yo por mi parte, siempre les pongo varios ejemplos con coef principal distinto de uno. Primero se empieza por coef uno y con soluciones enteras, pero siempre trato de meterles soluciones no enteras, tipo número phi, soluciones dobles, coef prncipal no uno… Naturalmente, soy el ogro, incluso entre LOS MANTAS de mis propios compañeros. Así que, esperanza, pero poca

    Un saludo desde Murcia. Y en especial un saludo muy duerte a Tobal, que me imagino que es el responsable de linuxmusica.com??

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  13. Quiero dar una explicación de por qué considero tan correcta la factorización
    6x²-11x+3=6•(x-3/2)(x-1/3) como la factorización
    6x²-11x+3=(2x-3)(3x-1).
    Si M es una no-unidad (es decir, un elemento no inversible) y no nulo de un dominio de factorización única, lo que dicen los axiomas es que M se expresa de la forma
    M=u•p(1)….p(k) donde u es una unidad y los p(i) son irreduceibles.
    De existir otra factorización de ese estilo M=u’•p’(1)..p’(k’) se cumple entonces que k=k’ y que cada p(i) está asociado a algún p’(j), es decir, existe una unidad u(i,j) tal que p(i)=u(i,j)•p’(j)
    Tenemos, pues, que x-3/2 estrà asociado a 2x-3 y que x-1/3 está asociado a 3x-1 por lo que ambas factorizaciones son “legales”.

    Por la misma razón, en el anillo de los enteros, las factorizaciones 6=2•3 y 6=(-2)•(-3) son ambas correctas.
    OItra cosa es que se prefiera factorizar en primos positivos o, caso de los polinomios, en irreducibles mónicos (de coeficiente principal 1)
    No es capricho mío el factorizar así los polinomios en algunas circunstancias pues facilitan el cálculo, por ejemplo, al sacar denominador común de una suma de funciones racionales.
    En cambio, si quisiera resolver la inecuación 6x²-11x+3>0, considero más adecuada la factorización 6•(x-3/2)(x-1/3)>0

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  14. En mi caso cuando me toca enseñar este tema de la factorización de polinomios, más allá del interés que puedan tener los alumnos y el sistema educativo en general, les dejo bien en claro que
    P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_2x^2+a_1x+a_0=a_n(x-r_n)…(x-r_0)
    Es decir siempre se deben multiplicar los binomios por el coeficiente término principal. Y por supuesto en los prácticos doy abundantes ejercicios y problemas donde hay que aplicar esa idea.

    Creo que el error de algunos colegas está en los prácticos, no ponen en situación de hacer aquello que quieren que los alumnos logren.

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  15. Estoy de acuerdo con el artìculo. Ya estoy en la univ. y sin embargo, al factorizar, muchas veces se me pasa el coeficiente principal.
    El abuso de ejer con coeficiente 1 va instalando un mecanismo de pensamiento a la hora de resolver que luego se vuelve contraproducente al encarar otro problema con coeficiente distinto de la unidad.

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  16. Yo no he puesto en duda que las dos factorizaciones siguientes sean correctas, que lo son 6x²-11x+3=6(x-3/2)(x-1/3)=(2x-3)(3x-1); lo que quiero aclarar es que la descomposición factorial de un polinomio, tiene más ventajas prácticas que las otras descomposiciones, como ya comente: signo de funciones, si no he visto todavia Bolzano. Cálculo de límites. Derivadas n-ésimas. Desarrollo en serie de potencias. Cálculo de primitivas, etc.
    En el cálculo de primitivas los libros suelen enunciar la descomposición en fracciones simples y de Hermite, sin demostrarlas; incluso alguno las enuncia con factores del tipo (ax+b)^r. Invito a que alguien intente hacer las demostraciones de las anteriores descomposiciones con descomposiciones no factoriales y que las compare con las hechas con descomposiciones factoriales; también que haga integrales concretas con los dos tipos de descomposiciones y que compare la sencillez y la rapidez de los cálculos.

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  17. El problema de descomponer 6x² -11x+3 como monomios enteros o racionales está en si es un DFU (dominio de factorización única). Con ese polinomio no se ve el problema, pongamos este otro:

    12x² – 26x + 12 = 12 (x-3/2) (x-2/3)

    De esta forma está descompuesto de forma única, pero si ahora vamos a descomponerlo en enternos tenemos estas combinaciones:

    12x² – 10x + 2 = 2 (2x-3) (3x-2) = (4x -6) (3x – 1) = (2x-3)(6x-4)

    Y nos acabamos de cargar que sea una descomposición única, cuando con  p(x) = a_n(x-r_1) \ldots(x-r_n) con r_i \in \Bbb{Q} siempre es única (salvo permutaciones).

    Para que en los enteros   \Bbb{Z} sea única, se puede enrevesar para que sea única, y tendrías que poner que los polinomios irreducibles son de la forma p(x) = ax + b con a,b primos relativos… con lo sencillo que es poner los polinomios en   \Bbb{Q}.

    Y que sean primos relativos, es la condición de que la fracción b/a sea irreducible… una propiedad que viene de forma natural en las relaciones de equivalencia de   \Bbb{Q} impuesta en   \Bbb{Z}

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