Dos demostraciones de la irracionalidad de raíz de 2
Como ya hemos dicho alguna que otra vez en este blog se sabe que raíz de 2 es un número irracional, es decir, que no puede escribirse en forma de fracción. Pero todavía no os habíamos mostrado ninguna demostración. En este post vamos a ver dos demostraciones posibles de este hecho. La primera de ellas es la que podíamos denominar clásica, la que suele aparecer en todos los escritos sobre el tema, y que usa reducción al absurdo. La segunda no es ni mucho menos común, ya que usa descenso infinito. Vamos a verlas:
Teorema: Raíz de 2 es irracional - Demostración por Reducción al Absurdo
La demostración comienza suponiendo que raíz de 2 no es irracional y acabará en algo contradictorio. Si no es irracional debe ser obligatoriamente racional, es decir, debe ser igual a una fracción así:
Podemos suponer sin ningún problema que el máximo común divisor de p y q es 1, es decir, que no tienen factores comunes y por tanto son primos relativos. Elevamos al cuadrado y operando queda:
Por tanto p2 debe ser múltiplo de 2, lo que implica que p también es un múltiplo de 2. Es decir, p = 2k para un cierto k. Sustituímos este valor de p en la expresión anteriory simplificamos un 2 de esa igualdad:
Esa expresión nos asegura que q2 es múltiplo de 2, y por tanto también lo es q. Y aquí está el absurdo: habíamos supuesto que p y q no tenían factores comunes (es decir, mcd(p,q) = 1) y hemos llegado a que los dos son múltiplos de 2, es decir, que tienen al 2 como factor común, y por tanto su mcd debe ser al menos 2. Esa es la contradicción que buscábamos.
Conclusión: Raíz de 2 es irracional.
Teorema: Raíz de 2 es irracional - Demostración por Descenso Infinito
El comienzo es el mismo que en el caso anterior: supongamos que raíz de 2 es un número racional, es decir:
Podemos suponer sin ningún problema que p y q son positivos. Nos va a interesar concretamente que q > 0. A partir de aquí demostraremos que raíz de 2 es igual a otra fracción cuyo denominador también es positivo y además menor que q. Esto implicaría que podríamos encontrar una sucesión de número enteros positivos decreciente infinitamente, lo cual es imposible.
El siguiente paso también es igual que en el caso anterior:
Ahora veamos que la fracción cuyo numerador es 2q - p y cuyo denominador es p - q también es igual a raíz de 2 (usando en el primer paso la igualdad que acabamos de obtener):
Veamos ahora que 0 < p - q < q:
En el penúltimo paso hemos multiplicado por q la cadena de desigualdades y en el último hemos restado q. Por tanto hemos encontrado otro entero positivo menor que q que cumple que es el denominador de una fracción que es igual a raíz de 2. Con esta nueva fracción podríamos hacer lo mismo y encontraríamos otro entero positivo menor que p - q que cumpliría lo mismo. Es decir, podemos encontrar una sucesión infinita y decreciente de enteros positivos cumpliendo lo anteriormente citado. Como todos sabemos eso es imposible, ya que no existe ninguna sucesión de enteros positivos decreciente con infinitos términos. Por tanto la suposición inicial era falsa.
Conclusión: Raíz de 2 es irracional.
Ahora opinad vosotros: ¿cuál os gusta más? ¿conocéis alguna otra demostración? Comentadnos vuestra opinión.
Fuente (de la segunda demostración): Math Fun Facts
JuanPablo | 2 de Noviembre de 2006 | 16:30
un par de días atrás posteé una demostración sencilla pero no muy conocida de un matemático argentino (publicada en el amer. math. monthly), pero en realidad ando a la búsqueda de la supuesta demostración -si es que existió, y no es una de las tantas leyendas que circulan- sobre una demostración griega que funcionaba para 2, 3, 5…, 15 pero no para 17. ¿Alguna idea?
Lek | 2 de Noviembre de 2006 | 17:07
A mí me mola más la 1ª… todo lo que sea buscar un absurdo mola
Dani | 2 de Noviembre de 2006 | 17:18
En primer lugar felicitaros por el blog que es bueno. Por ello un blog así no debería estar encerrado en un WordPress con publicidad.
Tiene que ser tedioso tener que escribir un artículo insertando las imágenes con las fórmulas matemáticas.
¿Por qué no usais por ejemplo SPIP? Permite poner las fórmulas en LaTeX entre otras cosas.
Como ejemplo (aunque no es un blog, sino una base de datos de ejercicios de matemáticas) yo uso SPIP en:
http://lubrin.org/mat
Salu2 a to2
neok | 2 de Noviembre de 2006 | 18:07
Dani no conocía SPIP y es una buena noticia el aprender algo nuevo.
Respecto a Wordpress por ahora tenemos el blog en blogsome, alojamiento gratuito, porque no teníamos pensado tanto “éxito” ni tampoco llegar tan “lejos”, de todos modos estamos viendo diferentes posibilidades, entre las que destca seguir usando Wordpress (lo siento, pero me encanta y estoy bien adaptado) con un plugin para usar LaTeX.
SaludoS
^DiAmOnD^ | 2 de Noviembre de 2006 | 23:59
JuanPablo pues ahora mismo no sé de quién hablas ni cuál es la demostración. De todas formas tengo por aquí algunos documentos. Echaré un vistazo y si encuentro algo te lo comento.
Dani encontré tu página y eché un vistazo a SPIP, pero me pilló en un momento con poco tiempo libre y no pude profundizar. De todas formas como ha comentado neok estamos barajando posibilidades para poder usar Wordpress con un plugin que inserta imágenes del código LaTeX que escribas. Ya comentaremos cosas al respecto.
JuanPablo | 3 de Noviembre de 2006 | 0:34
no quise hacer spam con el link (http://demairena.blogspot.com/2006/10/1199-irracionales.html), el autor es Enzo Gentile, un matemático argentino más conocido por su tango ‘El Algebrista’
fede | 3 de Noviembre de 2006 | 11:03
A mí me gusta más la primera, porque me parece más simple.
JuanPablo, una demostración para cada N impar menor que 17 y distinto de 9 (teorema de Teodoro de Cirene, según el diálogo ‘Teeteto’ de Platón), pero que no funciona para N=17, podría haber sido:
(Designo con C[X] o con XX el cuadrado del entero positivo X)
Si A y B son primos entre sí, N es impar y C[A]=N*C[B], entonces A y B son impares y por tanto A=2a+1 y B=2b+1. A continuación examinamos caso por caso:
si N=3, tendríamos C[2a+1] = 3*C[2b+1], y por tanto 4aa+4a+1 = 12bb+12b+3 y restando 1 de ambos lados y dividiendo entre 2, resulta que un número par es igual a un número impar, absurdo.
(y análogamente para todo N de la forma 4k+3)
si N=5, C[2a+1]=5*C[2b+1], i.e. 4aa+4a+1 = 20bb+20b+5 y restando 1 de ambos lados y dividiendo entre 4 tenemos que a(a+1)= 5b(b+1) +1, y, como antes resulta que un número par es igual a uno impar.
(análogamente para N es de la forma 8k+5).
El método falla para N=17 (en realidad para los N de la forma 8k+1) porque se llega a:
a(a+1) = 17b(b+1)+4 y los dos lados son pares.
La idea anterior fué propuesta por McCabe, según G.H.Hardy, E.M.Wright “An Introduction to the Theory of Numbers”, 5 ed, pag. 42ss.
Estos autores concluyen que “On balance, McCabe conjecture (sobre el argumento de Teodoro) seems the most plausible”.
Saludos.
JuanPablo | 3 de Noviembre de 2006 | 14:09
fede, muchísimas gracias! Tengo la 4ta edición del Hardy & Wright, de 1954, y ahí no figura, pero gracias al jstor -y a vos- ahora encontré la demostración de McCabe (Math Magazine 49-4 de 1976)
pons | 9 de Diciembre de 2006 | 19:51
como se hace para poner el signo de la raíz en el ordenador
pons | 9 de Diciembre de 2006 | 19:51
??
^DiAmOnD^ | 9 de Diciembre de 2006 | 20:32
Pons las raíces que aparecen en el artículo están hechas con LaTeX y sacadas luego a imagen.
Para escribir un símbolo equivalente hay un código, pero ahora no lo recuerdo. Espera un poco y verás como alguien te lo dice.
Saludos
Agustín Morales | 27 de Febrero de 2007 | 4:43
Yo tengo una opinión al respecto de esta demostración por reducción al absurdo tan célebre y conocida. Cuando se dice que podemos suponer que p y q son primos relativos. Yo me pregunto: ¿realmente por qué?. Es cierto que la fracción p/q puede simplificarse hasta que p y q sean primos relativos. Pero yo no veo nada claro (y si no rogaría alguna explicación) que pueda asumirse que p y q son primos relativos. Por el mismo razonamiento podríamos suponer que p y q son pares y no llegaríamos a ninguna contradicción. Lo que si me convence es lo siguiente: en principio no asumimos que sean primos relativos, y llegamos a la conclusión de que p y q son pares. En este momento hacemos un cambio de variable pej:
r=p/2 y s=q/2 de donde aplicando el mismo razonamiento nos saldrá que r y s son también pares, y aquí ya si podemos decir que numerador y denominador no pueden ser pares “ad infinitum” y que por tanto hemos llegado a una contradición. En este sentido la demostración guardaría una similitud con la de descenso infinito. ¿que opinais?
^DiAmOnD^ | 28 de Febrero de 2007 | 0:00
Agustín no podemos suponer que p y q sean pares ya que no tienen por qué serlo y porque no toda fracción puede simplificarse hasta una fracción con numerador y denominador par. Sí podemos suponer que son primos relativos ya que si no lo fueran podemos dividir por su máximo común divisor y nos quedaría una fracción con p y q primos relativos.
Espero haberme explicado.