Dos demostraciones geométricas del teorema de Pitágoras

Este artículo es una colaboración enviada por Juanjo a gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Si estás interesado en colaborar no dudes en enviar tu propuesta.

Introducción

Existen demostraciones del Teorema de Pitágoras bastante elaboradas desde el punto de vista matemático, siguiendo un razonamiento puramente abstracto y fundamentado en las leyes de la lógica. También podemos encontrar demostraciones de este resultado a partir de otros, como la que apareció en este blog utilizando la fórmula de Herón. Y, cómo no, es fácil encontrar demostraciones puramente geométricas (también vimos una de este estilo en Gaussianos). En este artículo vamos a ver dos de ellas.

Demostración mediante teselaciones del plano

Una teselación del plano es un forma de colocar figuras en una superficie plana de tal forma que dichas figuras no se superpongan y ademas no queden huecos sin cubrir.

Para esta demostración realizamos una teselación del plano con cuadrados de dos tamaños distintos como se puede ver en la Figura 1:

Figura 1: Teselación del plano con cuadrados de dos tamaños

Figura 1: Teselación del plano con cuadrados de dos tamaños

Si marcamos ahora los centros de los cuadrados mayores y los unimos tendremos un conjunto nuevo de cuadrados de un tamaño algo mayor que los otros de tal forma que estos cuadrados constituyen otra teselación del plano. Podemos verlo en la siguiente imagen:

Figura 2: Los centros de los (por ejemplo) cuadrados mayores forman los vértices de un retículo de cuadrados aún mayores, inclinados en un determinado ángulo.

Figura 2: Los centros de los (por ejemplo) cuadrados mayores forman los vértices de un retículo de cuadrados aún mayores, inclinados en un determinado ángulo.

De hecho ocurre lo mismo se elegimos cualquier otro punto de los cuadrados mayores o de los menores.

Si se eligen las esquinas de los cuadrados, la estructura de cuadrados inclinados es exactamente la misma que la anterior, sólo que desplazada mediante una traslación con respecto a los cuadrados de la Figura 1. La siguiente figura nos aclara este punto:

Figura 3: El retículo de cuadrados inclinados puede desplazarse por una traslación, de modo que los vértices del retículo inclinado están sobre los vértices del retículo de dos cuadrados del original, lo que muestra que el lado de un cuadrado inclinado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo (sombreado) cuyos otros dos lados son los de los dos cuadrados originales.

Figura 3: El retículo de cuadrados inclinados puede desplazarse por una traslación, de modo que los vértices del retículo inclinado están sobre los vértices del retículo de dos cuadrados del original, lo que muestra que el lado de un cuadrado inclinado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo (sombreado) cuyos otros dos lados son los de los dos cuadrados originales.

Además tenemos que el área del cuadrado inclinado es la suma de las áreas de los dos cuadrados más pequeños (los de la teselación inicial). La razón es muy sencilla:

El nuevo cuadrado (el inclinado) queda dividido en 5 piezas por las líneas interiores. Si las separamos podemos formar el cuadrado pequeño de la teselación inicial con dos de ellas y el grande con las otras tres.

Figura 4

Figura 4

Para cualquier punto de partida de los cuadrados inclinados las piezas en que el cuadrado mayor queda subdividido por las líneas interiores (esto es, por las líneas que forma los cuadrados de la teselación inicial) pueden ser desplazadas sin rotación hasta que encajen para formar los dos cuadrados más pequeños, como puede verse en la figura de la derecha.

Volviendo a nuestro caso (Figura 3), hemos dicho que el área del cuadrado inclinado es igual a la suma de las áreas de los cuadrados iniciales. Llamemos a al lado del cuadrado menor inicial, b al lado del cuadrado mayor inicial y c al lado del cuadrado inclinado. Entonces sus áreas son, respectivamente, a^2, b^2 y c^2. Y en consecuencia tenemos que a^2+b^2=c^2.

Fijémonos ahora en el triángulo sombreado de la Figura 3. Su hipotenusa es el lado del cuadrado inclinado, es decir, c. Y sus catetos son a y b. Además, por la colocación de los cuadrados iniciales, el triángulo es rectángulo. Por lo comentado antes sobre la relación de las áreas de los tres cuadrados ya tenemos demostrado el teorema de Pitágoras:

a^2+b^2=c^2

Demostración mediante figuras semejantes

Tomamos un triángulo rectángulo y lo dividimos en dos triángulos trazando la altura del mismo desde el vértice del ángulo recto (es decir, perpendicular desde el vértice del ángulo recto hasta el lado opuesto). Es sencillo ver que los tres triángulos son semejantes entre sí (informalmente hablando, porque los tres tienen la misma forma pero diferentes tamaños). Vamos a ver la explicación que da Penrose en su libro sobre la deducción del teorema de Pitágoras a partir de dicha estructura:

Una propiedad general de las figuras planas semejantes es que sus áreas son proporcionales a los cuadrados de sus correspondientes dimensiones lineales. Para cada triángulo podemos considerar que esta dimensión lineal es el lado más largo, es decir, su hipotenusa. Notemos que la hipotenusa de cada uno de los triángulos más pequeños coincide con uno de los lados (no hipotenusa) del triángulo original. Así pues, se sigue al mismo tiempo (del hecho de que el área del triángulo original es la suma de las áreas de los otros dos) que el cuadrado de la hipotenusa del triángulo original es realmente la suma de los cuadrados de los otros dos lados: ¡el teorema de Pitágoras!

Figura 5: Los tres triángulos rectángulos de la figura (el mayor y los dos más pequeños) son semejantes.

Figura 5: Los tres triángulos rectángulos de la figura (el mayor y los dos más pequeños) son semejantes.

Vamos a explicar un poco todo esto. Consideremos la figura anteriormente mencionada nombrando los lados del triángulo original como se puede ver en la Figura 5.

Llamemos A al área del triángulo original y A_1, A_2 a las áreas correspondientes a los triángulos 1 y 2. Por tanto, A=A_1+A_2.

Como dichos triángulos (los pequeños) son semejantes, tenemos que las proporciones entre el área de cada uno de ellos y el cuadrado de su hipotenusa son iguales, esto es:

\cfrac{A_1}{b^2}=\cfrac{A_2}{a^2}

Pero por las propiedades de las fracciones, si tenemos dos fracciones iguales entonces cada una de ellas es igual a la fracción cuyo numerador es la suma de los numeradores y cuyo denominador es la suma de los denominadores, esto es:

\cfrac{A_1}{b^2}=\cfrac{A_2}{a^2}=\cfrac{A_1+A_2}{b^2+a^2}=\cfrac{A}{a^2+b^2}

La última igualdad es cierta debido a que la suma de las áreas de los dos triángulos más pequeños es el área del triángulo mayor.

Por otro lado, el triángulo inicial y el triángulo 1 también son semejantes, por lo que cumplen una relación parecida, es decir:

\cfrac{A}{c^2}=\cfrac{A_1}{b^2}

Y uniendo la información proporcionada por las dos igualdades anteriores obtenemos lo siguiente:

\cfrac{A}{a^2+b^2}=\cfrac{A}{c^2}

Por tanto a^2+b^2=c^2, esto es, hemos demostrado el teorema de Pitágoras.


Fuente:

  • El camino a la realidad, de Roger Penrose.

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20 comentarios

  1. Trackback | 21 ene, 2010

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  2. alvaro | 21 de enero de 2010 | 13:51

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    A mi la que mas me gusta es la de Euclides en Los Elementos. También hay una que hizo un presidente de Estados Unidos que creo que se basa en el area del trapecio.

  3. Er-Murazor | 21 de enero de 2010 | 14:56

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    Gran libro el de Penrose, y muy curiosas ambas demostraciones. Buena aportación.

  4. Ty | 21 de enero de 2010 | 16:41

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    No entiendo algo, y necesito aclararlo.
    Cuando dicen demostrar se refieren a encontrar la relacion que se nos da?, es que veo que muchas veces dice Demostrar que…. y empiezan a probar por induccion pero no a deducir la relacion que se presenta, alguien me puede aclarar?, no creen que es mucho mas interesante Deducir la relacion?

  5. Edmundo | 21 de enero de 2010 | 18:21

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    a mi me gusta esta:
    se dibuja un cuadrado grande y otro inscrito de manera que los vertices del cuadrado inscrito toquen algun punto cualquiera del lado del cuadrado grande.
    A la distancia entre un punto inscrito y un vertice se le llama “a” y a la otra se le llama “b”. El lado del cuadrado inscrito se llama “c”.
    entonces el área del cuadrado grande es (a+b)^2 y por otro lado es el área del cuadrado chico c^2 más la suma de los cuatro triangulos chicos 2ab.
    la igualdad es entonces
    (a+b)^2 = c^2 + 2ab
    desarrollando
    a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab
    y cancelando
    a^2 + b^2 = c^2
    QED.

  6. Rafael | 21 de enero de 2010 | 20:13

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    Para Alvaro:
    El que fuera el vigésimo presidente de los EE.UU., J.A.Garfield, en una discusión matemática con otros mientros del Congreso, hizo una pequeña demostración sobre el Teorema de Pitágoras, que fue publicado en el New England Journal of Education.
    La prueba de Garfield consiste en calcular de dos formas distintas el área de un trapecio; en primer lugar utilizándo la fórmula del área del trapecio (semisuma de los lados paralelos multiplicada por la distancia entre ellos), y en segundo lugar mediante la súma de las áreas de los tres triangulos rectángulos en que el trapecio puede ser seccionado, resultando:
    (a+b)+(a+b)/2=(ab/2)+(ba/2)+c^2/2,
    de donde se obtiene
    a^2+2ab+b^2=2ab+c^2,
    es decir
    a^2+b^2=c^2
    Es una información recogida en Pitágoras El Filósofo del número de Pedro Miguel González Urbaneja, editado por Nivola.

  7. smart | 21 de enero de 2010 | 23:26

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    Rafael,

    Yo iba a sugerir esa misma fuente. Delicioso libro. Igual que el de Penrose. Para aportar algo por mi parte también os recomiendo el de Hawking: “Dios creó los números*(el hombre todo lo demás).

    Saludos

  8. josejuan | 21 de enero de 2010 | 23:28

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    Aunque la de las figuras semejantes me gusta más, sin duda yo también me quedo con la que muestra “Edmundo”, que es más simple.

  9. Dani | 22 de enero de 2010 | 00:14

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    El Teorema de Pitágoras en espacios vectoriales abstractos:

    Sea \mathbb{V} un \mathcal{K}-espacio vectorial euclideo (\mathcal{K} es un cuerpo cualquiera), y v_1,v_2 vectores ortogonales (es decir, tales que \phi(v_1,v_2) =0 para el producto escalar \phi en cuestión). Si consideramos el “triángulo” determinado por los vertices:
    (1) el vector 0 (el origen)
    (2) v_1
    (3) v_1+v_2
    la “longitud” de la “hipotenusa” cumple:
    || v_1 + v_2 ||^2 = \phi(v_1+v_2,v_1+v_2) = \phi(v_1,v_1+v_2) + \phi(v_2,v_1+v_2)=
    = \phi(v_1,v_1) + \phi(v_1,v_2) + \phi(v_2,v_1) + \phi(v_2,v_2)
    =\phi(v_1,v_1)+\phi(v_2,v_2)=||v_1||^2 + ||v_2||^2
    En el caso \mathbb{V}=\mathbb{R}^2, \, \, \mathcal{K}=\mathbb{R} con el producto escalar usual recuperamos el teorema de pitágoras original :).

  10. Trackback | 22 ene, 2010

    Dos demostraciones geométricas del teorema de Pitágoras

  11. alvaro | 22 de enero de 2010 | 02:02

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    Gracias Rafael, a mi me la enseñó un profesor que tuve, pero no recordaba exactamente como era.

  12. ^DiAmOnD^ | 22 de enero de 2010 | 04:15

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    ¿Os ha dado por mirar la demostración que publiqué en Gaussianos que aparece enlazada al principio de este artículo? Es precisamente la que comenta Edmundo :).

  13. alvaro | 22 de enero de 2010 | 13:26

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    Puede que esté equivocado, pero me parece que la demostración a la que hace referencia Diamond y que antes comentaba Edmundo del cuadrado inscrito en otro cuadrado no demuestra el teorema de Pitágoras sino un caso particular de este en el que el triángulo además de ser rectángulo es isósceles. Porque si inscribes un cuadrado en otro cuadrado los 4 triángulos que resultan son rectángulos e isósceles forzosamente. Incluso si inscribes un rectángulo en un cuadrado ocurre lo mismo. ¿no? Y el teorema de Pitágoras hace referencia a los lados de triángulos rectángulos, sean o no isósceles.

  14. Américo Tavares | 22 de enero de 2010 | 15:31

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    A demonstração de Garfield (em francês):

    http://problemasteoremas.files.wordpress.com/2008/11/larecherchepitagoras1.jpg

  15. alvaro | 22 de enero de 2010 | 15:45

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    uy que tontería he dicho antes, jejeje
    vale, no he dicho nada :)

  16. Gerard | 22 de enero de 2010 | 19:39

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    Las demostraciones geométricas que funcionan con un solo dibujo son bellísimas!

  17. Edmundo | 22 de enero de 2010 | 20:40

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    toda la razón DIAMOND… no la había visto.
    Felicitaciones por el blog.

  18. Rafael Miranda | 28 de enero de 2010 | 19:07

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    @Gerard: Toda la razón, de hecho hay una demostración a que se menciona en la Wikipedia que es muy simple:

    http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/Chinese_pythagoras.jpg

    En ese caso el diagrama es con un triángulo de catetos 3 y 4, pero puede generalizarse a cualquier par de medidas de catetos, para deducir la medida de la hipotenusa. En fin, lo menciono porque es una forma práctica de introducir el teorema de Pitágoras a alumnos que saben calcular solamente áreas de triángulos rectángulos y cuadrados.

    En fin, no debe ser el teorema con mayor número de demostraciones y probablemente sea el contenido matemático más recordado por todos.

  19. guillem | 14 de marzo de 2010 | 23:40

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    …probad de visitar estas bellas demostraciones visuales, realizadas con geogebra:

    http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/pitagoras.htm

  20. NOEMY ZENTENO | 23 de abril de 2010 | 02:47

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    me gusta las matematicas como tambien sus temas  por ejemplo la geometria
    les mando saludos desde bolivia  nunca odien las matematicas les sirve para toda la vida

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