Dos problemas de cálculo de áreas sombreadas

Os dejo hoy un par de problemas sencillos sobre cálculo de áreas sombreadas. No os pongo todavía el sitio donde los he visto para que los penséis y los intentéis vosotros.

La idea es resolver ambos sin utilizar trigonometría. Ahí van:

Problema 1

Si los dos cuadrados de la imagen tienen lado igual a 1, calcula el área de la parte sobreada:

Problema 2

Si el círculo mayor tiene radio igual a 1, calcula el área del círculo pequeño:

Que se os den bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

20 Comentarios

  1. el 1º es sencillo

    si prolongamos la base movida 45º, genera un nuevo triangulo rectangulo con base y altura sqrt(2)-1, luego su area es (sqrt(2)-1)²/2=1.5-sqrt(2). Entonces el area sombreada es (0.5-(1.5-sqrt(2)))/2=(sqrt(2)-1)/2

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    • El 2º también es sencillo. los dos cuadrados y sus círculos inscritos son homólogos en una homotecia de centro el vértice inferior izquierdo y razón (rq(2) – 1)/(2rq(2)), por lo que las áreas varían con el cuadrado de dicha razón. Entonces, la del círculo pequeño será:

      pi*(rq(2) – 1)/(2rq(2))^2 =pi(rq(2) – 1)/8

      poco más del 5% que la del círculo grande.

      Nota: utilizo rq(x) para indicar la raíz cuadrada de x.

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      • IGNACIO, LO ACERTÉ NADA MÁS VERLO POR EL TEOREMA DE PITÁGORAS , EL CÍRCULO . EL TRIÁNGULO SOMBREADO; FACILÓN. SIGUE TU BUEN CAMINO EN EL ÁMBITO HUMANITARIO QUE DESARROLLAS EN LA ONG. SALADO, DE BARGAS.

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      • PARA IGNACIO CANESTRO: ” Dado el cuadrado ABCD, cuyo lado mide 10 u. Del vértice A, (abajo izquierda) sale una linea, con un ángulo de 33º que corta al lado, CD (derecha arriba) en el punto F; del mismo punto F sale una línea que corta al lado BC (arriba) en el punto E, siendo la distancia BE menor de 5. Hallar el área del triángulo AEF.

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        • No parece que el enunciado esté bien especificado. ¿Nombras los vértices del cuadrado en sentido contrario a las agujas del reloj, empezando por el inferior izquierdo? Y el ángulo de 33º, ¿se mide respecto al lado AD o AB? Por otra parte, dado el valor de ese ángulo, supongo que debería utilizarse trigonometría. Pero sobre todo, la especificación del punto E deja el triángulo indeterminado, con un rango de áreas que va desde 50, cuando E coincide con B, hasta aproximadamente 33.76, cuando E es el punto medio de BC.

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          • LLEVAS TODA LA RAZÓN ” En un cuadrado ABCD de lado igual a 10 unidades. Del vértice A y con 33 grados de inclinación sale una línea que corta al lado CD en el punto F; de este mismo punto F sale otra línea que corta al lado BC en el punto E. Hallar el área del triángulo escaleno inscrito AEF “.
            Borra el anterior comentario-exposición, Agradecido

    • A Javier (problema 1):
      Estoy de acuerdo en que al prolongar la base movida 45º se forma un triángulo isósceles cuyos catetos miden diagonal – lado = sqrt(2)-1.
      Entonces ya se puede calcular directamente el área del triángulo sombreado, sin hacer restas de áreas.
      Base: 1 (el lado)
      Altura: sqrt(2)-1 (el cateto que acabamos de calcular)
      Área: base*altura/2 = (sqrt(2)-1)/2

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  2. El 2º también es sencillo, si el circulo grande tiene radio 1, la diagonal del cuadrado grande tiene longitud 2 \sqrt{2} con lo que la diagonal del cuadrado pequeño es \sqrt{2}-1, ahora por el teorema de pitagoras, encontramos que el lado del cuadrado pequeño es r_p= \sqrt{ \frac{3-2 \sqrt{2}}{2}} por tanto, la mitad de r_p es el radio de la circunferencia pequeña, i el area de la circunferencia pequeña es A=\frac{3-2\sqrt{2}}{8} \pi

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    • Obtengo para el segundo, que es el más fácil para mí; en el primero no hallé solución sencilla, después de malpensar durante un largo minuto; lo mismo que Arnoldo : 0,06738 (un poco más del 5 %).

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      • La diagonal del cuadrado grande es 2*sqtr(2). Si a la Diagonal del cuadrado grande le restamos el diámetro del circulo grande, nos queda:2*sqtr(2)-2 y si esa diferencia la dividimos entre 2, nos queda la diagonal del cuadrado pequeño, es decir, (2*sqtr(2)-2)/2 = sqtr(2)-1. Ya teniendo la diagonal del cuadrado pequeño que es a su vez el diámetro del círculo pequeño, aplicando fórmula del área, A = pi*d^2/4, tendremos que A = pi*(3-2*sqtr(2))/4. Ojo: no entre 8 como ha respondido la mayoría.

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  3. El primer problema se podría resolver utilizando una integral: si tomamos que el cuadrado horizontal esta delimitado por y=0; x=1; y=1; x=0 y que el cuadrado rotado está delimitado por las ecuaciones y=x; y=-x+\sqrt2; y=-x; y=x+\sqrt2, el área encerrada entre todas esas curvas será:
    A=\int_{0}^{\sqrt2-1} \left[\dfrac{x}{\sqrt2-1}\right]-x \ dx + \int_{\sqrt2-1}^{\frac{1}{\sqrt2}}\left[ -x+\sqrt2 \right ] -x \ dx = 0.2071 ya que el punto donde se cortan los dos cuadrados es x=\sqrt2-1 y el vértice derecho del cuadrado rotado se encuentra en x=1/\sqrt2.

    El segundo problem lo resolví calculando el punto en que la circunferencia grande toca al cuadrado pequeño con las ecuaciones de la circunferencia (x,y) = (r \cos (\theta), r \sin (\theta)) para un valor de \theta =\pi+\dfrac{1}{4}\pi=\dfrac{5}{4}\pi obteniendo (x,y),=(-\dfrac{1}{\sqrt2},-\dfrac{1}{\sqrt2}). Con ese valor podemos conocer que el lado del cuadrado pequeño vale x=1-\dfrac{1}{\sqrt2} y el radio del circulo la mitad de ese lado. El área final sería, como ya se ha dicho, A=\pi  \cdot r^{2}=0.0674.

    Se que no son las soluciones más sencillas pero son las primeras que se me han ocurrido y como los resultados coinciden con los dados por otros usuarios, me apetecía compartirlas!

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  4. ¿Sin utilizar trigonometria implica que tampoco podemos servirnos del teorema de pitágoras y, por tanto, que no sabemos la longitud de las diagonales?

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  5. ENUNCIADO #1

    Las coordenadas de los vértices del triangulo rectángulo que se está analizando es:

    \left( \frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}} \right)

    \left( \sqrt{ 2}-1;1\right)

    \left( 0;0\right)

    La ecuación de la recta de la diagonal del cuadrado no rotado y que representa un cateto al triangulo rectángulo es:

    y = tan\left( \frac{π}{4}\right) x

    La ecuación de la recta de la hipotenusa del triangulo rectángulo del área a buscar es:

    y = tan\left( 45º + 22,5º\right) x

    y = tan\left( \frac{3π}{8}\right) x

    La ecuación de la recta del otro cateto del triangulo rectángulo del área sombreada es:

    y = -ctg\left( \frac{π}{4}\right) x \; +\sqrt{2}

    Entonces el área a buscar es:

    Área = \int_{x=0}^{x=\sqrt{2}-1}{ \int_{y = tan\left( \frac{π}{4}\right) x}^{y = tan\left( \frac{3π}{8}\right) x
    }{1 \; dydx }} \; +\int_{x=\sqrt{2}-1}^{x=\frac{1}{\sqrt{2}}}{ \int_{y = tan\left( \frac{π}{4}\right) x}^{y = -ctg(\frac{π}{4}) \; +\sqrt{2}}{1 \; dydx }} \; = \frac{3}{\sqrt{2}}-\left( 1+\sqrt{2} \right) ≈ 0,20711 \; unidades^{2}

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  6. A1 = (1/2) * tan(45/2) = 0,18 ud^2
    A2 = (pi/4)^2 * (2 – sqrt2)^2 = 0,07 ud^2

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  7. Otra forma de hacer el primero. Se forman cuatro triángulos iguales al sombreado y una esquina superior derecha, formada por dos triángulos de igual base y altura.

    (1 – (sqr2 -1)^2)/4

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  8. ¡Estoy batallando con el primero! Si al caso llegué a la conclusión que el área máxima que puede tener es 0.25 ul^2.
    El segundo estaba muy sencillo. Cuestión de averiguar diagonales, dividir entre dos varias veces, usar el teorema de pitágoras y la fórmula del área. Mi respuesta sería (3-2sqrt(2))*pi/4, aproximadamente 0.13475.

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  9. \begin{enumerate}
    \item \textbf{PROBLEMA} La diagonal del Cuadrado de lado $L=1$ es $d=\sqrt{2}$. La diferencia $D=d-L=\sqrt{2}-1$ es la longitud del triángulo rectángulo isósceles formado por el cuadrado rotado $45^o$ el triángulo no sombreado y con igual área al sombreado. Por lo tanto, $A=\frac{Dl}{2}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$.
    \item \textbf{PROBLEMA} El lado del cuadrado grande es $l=2$, por lo tanto su diagonal $d=2\sqrt{2}$. La diferencia de la diagonal del cuadrado grande menos el diámetro del circulo grande es $D=2\sqrt{2}-2$. Por lo tanto, el diámetro del circulo pequeño es $d_1=\frac{2\sqrt{2}-2}{2}=\sqrt{2}-1$, de esto se tiene que el lado del cuadrado pequeño es $l_1=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$. Por lo tanto, $r_1=\frac{2-\sqrt{2}}{4}$. De lo cual se obtiene el área del circulo pequeño $A=\left(\frac{2-\sqrt{2}}{4}\right)^2\pi=\frac{3-2\sqrt{2}}{8}\pi$
    \end{enumerate}
    \end{document}

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