Comments on: Dos propiedades, un valor http://gaussianos.com/dos-propiedades-un-valor/ Porque todo tiende a infinito... Fri, 10 Feb 2012 21:24:04 +0000 hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.0.1 By: MIKE CASAVILCA ROJAS http://gaussianos.com/dos-propiedades-un-valor/#comment-4615 MIKE CASAVILCA ROJAS Thu, 17 Apr 2008 22:44:05 +0000 http://gaussianos.com/dos-propiedades-un-valor/#comment-4615 hola, la verdad me encanto mucho las funciones, matematicas soy uno de los admirantes de las matematicas, estudiante de la universidad de huancavelia, en la facultad de inguinieria.gracias. hola, la verdad me encanto mucho las funciones, matematicas soy uno de los admirantes de las matematicas, estudiante de la universidad de huancavelia, en la facultad de inguinieria.gracias.

]]> By: ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/dos-propiedades-un-valor/#comment-4614 ^DiAmOnD^ Wed, 22 Aug 2007 23:01:39 +0000 http://gaussianos.com/dos-propiedades-un-valor/#comment-4614 Ya encontré el hilo en cuestión: <a href="http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=147243" rel="nofollow">Problema en el foro de Art of Problem Solving</a> Ya encontré el hilo en cuestión:

Problema en el foro de Art of Problem Solving

]]> By: Domingo Hernández Abreu http://gaussianos.com/dos-propiedades-un-valor/#comment-4613 Domingo Hernández Abreu Sun, 19 Aug 2007 19:41:50 +0000 http://gaussianos.com/dos-propiedades-un-valor/#comment-4613 Asier, lo que has hecho es elegir un $latex \epsilon$ no nulo de modo que $latex |f(\epsilon)|$ sea no nulo y a partir de aquí construir una sucesión de imágenes por la función |f| que converge (a un valor que puede ser cero o no) por ser estrictamente decreciente. Aunque esto lo puedas hacer para todo $latex \epsilon$, eso no implica que todas las sucesiones que debas considerar sean de esa forma que contruyes (considerando $latex \epsilon, \epsilon^2, \epsilon^4, \ldots$). Es decir, tu razonamiento no excluye la posibilidad de construir sucesiones que tiendan a cero y de modo que la sucesión de imágenes tienda a infinito. Asier, lo que has hecho es elegir un \epsilon no nulo de modo que |f(\epsilon)| sea no nulo y a partir de aquí construir una sucesión de imágenes por la función |f| que converge (a un valor que puede ser cero o no) por ser estrictamente decreciente. Aunque esto lo puedas hacer para todo \epsilon, eso no implica que todas las sucesiones que debas considerar sean de esa forma que contruyes (considerando \epsilon, \epsilon^2, \epsilon^4, \ldots). Es decir, tu razonamiento no excluye la posibilidad de construir sucesiones que tiendan a cero y de modo que la sucesión de imágenes tienda a infinito.

]]> By: ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/dos-propiedades-un-valor/#comment-4612 ^DiAmOnD^ Sun, 19 Aug 2007 18:02:43 +0000 http://gaussianos.com/dos-propiedades-un-valor/#comment-4612 <strong>Domingo</strong> lo saqué del <a href="http://www.artofproblemsolving.com/Forum/index.php" rel="nofollow">foro de Art of Problem Solving</a>, pero no consigo encontrar el hilo en cuestión. Por cierto, muy interesante la conversación que habéis desarrollado a partir de este problema :) Domingo lo saqué del foro de Art of Problem Solving, pero no consigo encontrar el hilo en cuestión.

Por cierto, muy interesante la conversación que habéis desarrollado a partir de este problema :)

]]> By: Asier http://gaussianos.com/dos-propiedades-un-valor/#comment-4611 Asier Sun, 19 Aug 2007 17:46:26 +0000 http://gaussianos.com/dos-propiedades-un-valor/#comment-4611 Gracias por vuestras respuestas y aportaciones. Me habeis dicho los dos que lo que demuestro es para un conjunto de sucesiones, pero no entiendo por qué no vale para todas. Es decir, en cualquier otra sucesión que nos imaginemos donde haya valores no nulos se puede aplicar lo dicho a cualquiera de esos valores, no? Gracias por vuestras respuestas y aportaciones.

Me habeis dicho los dos que lo que demuestro es para un conjunto de sucesiones, pero no entiendo por qué no vale para todas. Es decir, en cualquier otra sucesión que nos imaginemos donde haya valores no nulos se puede aplicar lo dicho a cualquiera de esos valores, no?

]]> By: Domingo Hernández Abreu http://gaussianos.com/dos-propiedades-un-valor/#comment-4610 Domingo Hernández Abreu Sat, 18 Aug 2007 20:47:02 +0000 http://gaussianos.com/dos-propiedades-un-valor/#comment-4610 Efectivamente, lo que demuestra Asier es que existen sucesiones de imágenes de f que convergen (pero debería hacerse para toda sucesión). Yo me inclino por la existencia de soluciones no nulas (extremadamente patológicas), que deben ser entonces no acotadas, discontinuas en todo punto y con gráfica densa en el plano (en todo círculo hay un punto de la gráfica). Pero hasta el momento, no he sido capaz ni de dar un ejemplo de una tal función ni de demostrar que las condiciones impliquen que la función deba ser nula. Para construir una tal función de momento no veo otro modo que considerar bases de Hamel de $latex \mathbb{R}$ sobre $latex \mathbb{Q}$ (el axioma de elección o lema de Zorn entran en acción), definir $latex f$ sobre la base y extenderla por linealidad (como se hace en el caso de la ecuación de Cauchy sola). Esto aún nos deja libertad para elegir los valores de f sobre la base de modo que se satisfaga la primera condición. Sin embargo, de este modo hay que comprobar que la condición 1) se verifica cuando se multiplican dos elementos de la base y la cosa se complica pues las bases de Hamel no son cerradas para la multiplicación ( http://www.springerlink.com/content/w27n2mm7k3647677/ http://www.lsus.edu/sc/math/rmabry/shades/hamelproducts-rev.pdf) Las funciones que satisfacen ambas condiciones (con $latex a=1$) se denominan derivaciones (de primer orden). Miren este artículo ( http://hw.oeaw.ac.at/buecher/files/1998/pdffile/S&A14.pdf )...tal vez les interese. Comenta lo de la linealidad y la anulación sobre $latex \mathbb{Q}$, pero no va más allá. En fin, que intuyo que deben haber soluciones patológicas, pero construirlas a través de bases de Hamel parece complicado. Bueno, creo que hemos excedido considerablemente las exigencias del problema inicial planteado, llevando el asunto a un nivel bastante exigente. Me parece asombroso que la condición 2) para $latex a\geq 2$ se resuelva de un modo tan simple y sin embargo cuando esta condición se reduce al caso aditivo o lineal ($latex a=1$) se complique todo sobremanera! Ante un tema tan interesante, ¿podría el moderador indicar de qué fuente obtuvo el problema planteado? Gracias de antemano y saludos. Efectivamente, lo que demuestra Asier es que existen sucesiones de imágenes de f que convergen (pero debería hacerse para toda sucesión).

Yo me inclino por la existencia de soluciones no nulas (extremadamente patológicas), que deben ser entonces no acotadas, discontinuas en todo punto y con gráfica densa en el plano (en todo círculo hay un punto de la gráfica). Pero hasta el momento, no he sido capaz ni de dar un ejemplo de una tal función ni de demostrar que las condiciones impliquen que la función deba ser nula.

Para construir una tal función de momento no veo otro modo que considerar bases de Hamel de \mathbb{R} sobre \mathbb{Q} (el axioma de elección o lema de Zorn entran en acción), definir f sobre la base y extenderla por linealidad (como se hace en el caso de la ecuación de Cauchy sola). Esto aún nos deja libertad para elegir los valores de f sobre la base de modo que se satisfaga la primera condición. Sin embargo, de este modo hay que comprobar que la condición 1) se verifica cuando se multiplican dos elementos de la base y la cosa se complica pues las bases de Hamel no son cerradas para la multiplicación ( http://www.springerlink.com/content/w27n2mm7k3647677/
http://www.lsus.edu/sc/math/rmabry/shades/hamelproducts-rev.pdf)

Las funciones que satisfacen ambas condiciones (con a=1) se denominan derivaciones (de primer orden). Miren este artículo ( http://hw.oeaw.ac.at/buecher/files/1998/pdffile/S&A14.pdf )…tal vez les interese. Comenta lo de la linealidad y la anulación sobre \mathbb{Q}, pero no va más allá.

En fin, que intuyo que deben haber soluciones patológicas, pero construirlas a través de bases de Hamel parece complicado.

Bueno, creo que hemos excedido considerablemente las exigencias del problema inicial planteado, llevando el asunto a un nivel bastante exigente. Me parece asombroso que la condición 2) para a\geq 2 se resuelva de un modo tan simple y sin embargo cuando esta condición se reduce al caso aditivo o lineal (a=1) se complique todo sobremanera!

Ante un tema tan interesante, ¿podría el moderador indicar de qué fuente obtuvo el problema planteado? Gracias de antemano y saludos.

]]> By: Pasotaman http://gaussianos.com/dos-propiedades-un-valor/#comment-4609 Pasotaman Sat, 18 Aug 2007 18:28:10 +0000 http://gaussianos.com/dos-propiedades-un-valor/#comment-4609 Asier: en el mejor de los casos, con eso demuestras que hay un conjunto de sucesiones por las cuales si te acercas al cero la función tiende a cero. Otras sucesiones que cumplen eso son las de racionales. Probar que existe el límite, en cambio, es equivalente a probar que eso ocurre con cualquier sucesión que nos podamos inventar y que tienda a cero. Desde mis limitadísimos conocimientos, dado que se sabe que existen soluciones patológicas a la condición de Cauchy y la primera condición no parece implicar continuidad diría que tales soluciones también deben existir para este problema. Espero, sin embargo, que alguien me corrija. Asier: en el mejor de los casos, con eso demuestras que hay un conjunto de sucesiones por las cuales si te acercas al cero la función tiende a cero. Otras sucesiones que cumplen eso son las de racionales. Probar que existe el límite, en cambio, es equivalente a probar que eso ocurre con cualquier sucesión que nos podamos inventar y que tienda a cero.

Desde mis limitadísimos conocimientos, dado que se sabe que existen soluciones patológicas a la condición de Cauchy y la primera condición no parece implicar continuidad diría que tales soluciones también deben existir para este problema. Espero, sin embargo, que alguien me corrija.

]]> By: Asier http://gaussianos.com/dos-propiedades-un-valor/#comment-4608 Asier Sat, 18 Aug 2007 15:59:00 +0000 http://gaussianos.com/dos-propiedades-un-valor/#comment-4608 Cuando comparo los valores de las funciones, en realidad es en valores absolutos: $latex |f(\epsilon^2)|$ < $latex |f(\epsilon)|$. Esto en principio no implica que vaya a llegar a cero: la función $latex e^{-x}+1$ por ejemplo siempre disminuye pero su límite no es cero. Sin embargo lo que sí parece implicar es que el límite existe. Y habíamos quedado en que si el límite existe, tiene que ser 0. Espero vuestras opiniones. Cuando comparo los valores de las funciones, en realidad es en valores absolutos: |f(\epsilon^2)| < |f(\epsilon)|.
Esto en principio no implica que vaya a llegar a cero: la función e^{-x}+1 por ejemplo siempre disminuye pero su límite no es cero.
Sin embargo lo que sí parece implicar es que el límite existe. Y habíamos quedado en que si el límite existe, tiene que ser 0.

Espero vuestras opiniones.

]]> By: Asier http://gaussianos.com/dos-propiedades-un-valor/#comment-4607 Asier Sat, 18 Aug 2007 11:59:10 +0000 http://gaussianos.com/dos-propiedades-un-valor/#comment-4607 A ver qué opinais sobre la validez de esto como demostración de que el límite en el origen existe y es cero: - Hemos quedado en que si es continua en el origen lo es el todo $latex \mathbb{R}$ y por lo tanto la única función posible es f(x) = 0. - Si f(x) no fuera continua en el origen, sería distinto de cero en algun punto, entonces existirá un $latex \epsilon$ tan cercano a 0 como queramos tal que $latex f(\epsilon) \ne 0$. - Pero $latex f(\epsilon^2) = 2\epsilon f(\epsilon)$: es decir, sea cual fuere el valor de $latex f(\epsilon)$, como evidentemente $latex \epsilon$ < $latex 1/2$ entonces está claro que $latex f(\epsilon^2)$ < $latex f(\epsilon)$. - Evidentemente $latex \epsilon^2$ se encuentra más cerca del origen que $latex \epsilon$ y como hemos demostrado su valor es menor. Aplicando la misma lógica al nuevo punto $latex (x = \epsilon^2)$ llegamos a la conclusión que a medida que nos acercamos a cero f(x) tiende a cero. Y esto valdría para cualquier punto no nulo cercano al origen. - Por lo tanto el límite de f(x) en el origen es cero, con lo cual la función es continua en el origen, lo cual a su vez nos llevaría a que la única función válida es f(x) = 0. ¿Cómo lo veis? A ver qué opinais sobre la validez de esto como demostración de que el límite en el origen existe y es cero:

- Hemos quedado en que si es continua en el origen lo es el todo \mathbb{R} y por lo tanto la única función posible es f(x) = 0.

- Si f(x) no fuera continua en el origen, sería distinto de cero en algun punto, entonces existirá un \epsilon tan cercano a 0 como queramos tal que f(\epsilon) \ne 0.

- Pero f(\epsilon^2) = 2\epsilon f(\epsilon): es decir, sea cual fuere el valor de f(\epsilon), como evidentemente \epsilon < 1/2 entonces está claro que f(\epsilon^2) < f(\epsilon).

- Evidentemente \epsilon^2 se encuentra más cerca del origen que \epsilon y como hemos demostrado su valor es menor. Aplicando la misma lógica al nuevo punto (x = \epsilon^2) llegamos a la conclusión que a medida que nos acercamos a cero f(x) tiende a cero. Y esto valdría para cualquier punto no nulo cercano al origen.

- Por lo tanto el límite de f(x) en el origen es cero, con lo cual la función es continua en el origen, lo cual a su vez nos llevaría a que la única función válida es f(x) = 0.

¿Cómo lo veis?

]]> By: ^DiAmOnD^ http://gaussianos.com/dos-propiedades-un-valor/#comment-4606 ^DiAmOnD^ Fri, 17 Aug 2007 15:11:07 +0000 http://gaussianos.com/dos-propiedades-un-valor/#comment-4606 <strong>SmartDust</strong>, ¿te pasa en las que salen en la página escritas por otra gente o en las que intentas meter tú en los comentarios? Las que hay puestas en el blog están todas bien. Al menos a mí no me da error ninguna. Esto de <em>Formula does not parse</em> significa que hay algún símbolo mal en la fórmula y no se interpreta bien. Igual estás escribiendo algo mal. SmartDust, ¿te pasa en las que salen en la página escritas por otra gente o en las que intentas meter tú en los comentarios?

Las que hay puestas en el blog están todas bien. Al menos a mí no me da error ninguna. Esto de Formula does not parse significa que hay algún símbolo mal en la fórmula y no se interpreta bien. Igual estás escribiendo algo mal.

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