Dos términos iguales

Comenzamos el período laboral del mes de septiembre con el problema de esta semana. Ahí va el enunciado:

Sea x_1,x_2, \ldots una sucesión de números racionales no negativos verificando que

x_n + x_m=x_{n \cdot m}

para cualesquiera n,m \geq 1. Probar que la sucesión contiene al menos dos términos iguales.

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

17 Comentarios

  1. No sé si no lo he entendido bien. La sucesión: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7… creo que cumple las condiciones y no tiene términos iguales ¿es así?

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  2. Pues a mi me sale que la sucesión x_i = i para todo i\geq 1 natural, cumple las hipótesis, pero no la tesis. En efecto, en primer lugar, para cada i\geq 1 natural, x_i=i\geq 0. Además, dados n,m\geq 1 naturales cualesquiera, llamo i=nm. Entonces, x_{n\cdot m}=x_i=i=n\cdot m=x_n\cdot x_m. Y que yo recuerde, no hay dos números naturales repes.

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  3. Evidentemente algo falla en el enunciado … A parte de x_n = n, otros contraejemplos se pueden obtener haciendo x_1 = 1 y adjudicando a cada x_p con p primo, cualquier primo, sin repetirlos.

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  4. Si p, q son naturales cualesquiera, tenemos que x(p^r)=r•x(p)

    Sean p y q primos distintos. Supongamos que x(p)=a/b, x(q)=c/d.

    Entonces x(p^bc)=bc•x(p)=ac=ad•x(q)=x(q^ad) siendo p^bc y q^ad distintos.

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  5. Puedo demostrar que el enunciado es cierto con valores enteros de x(i) si no imponemos la condición de que m y n sean distintos entre sí.

    1) El primer término tiene que ser 0, ya que x1 + x2 = x2.
    2) Asigno a cada x(i) con i primo el valor de un número primo diferente (no necesariamente el propio valor de i.
    3) en función de esto valores calculo todas las x(i) con valores de i compuestos.
    4) Siempre podré encontrar dos parejas de primos x(m), x(n) y x(p), x(q) tales que sus sumas sean iguales. Esto provocaría que x(m.n) y x(p.q) valgan m + n = p + q, siendo m.n distinto de p.q
    5) Si asignara un valor compuesto a un término de índice primo resulta muy fácil encontrar la repetición utilizando dos índices cuyo producto sea dicho compuesto.

    Un poco más difícil debe ser la demostración con números fraccionarios y no me siento con ganas en este momento.

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  6. Gracias pcrdeg por resolver totalmente mientras yo escribía mi solución parcial y ahorrarme esfuerzos adicionales para completarla.

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  7. JJGJJG encuentro algunos errores en tu razonamiento, en el punto 4) tenemos que x_{m\cdot n}=x_n +x_m y no x_{m\cdot n}=n+m como indicas, y al punto 5) no le encuentro mucho sentido, por ejemplo, elegimos x_7=6 y dices que vas a usar dos índices cuyo producto sea dicho compuesto, es decir, x_2 y x_3 para encontrar la repetición, pero en realidad lo único que sabes es que x_2+x_3=x_6 que no tiene nada que ver con el x_7 de partida.
    Me parece que estas confundiendo subíndices de los términos de la sucesión y los propios términos.
    Un saludo.

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  8. Sea a, y b números naturales, X_{n}=a/b , b*X_{n}=a, y por inducción con la hipótesis podemos demostrar que b*X_{n}=X_{n^b}=a

    Tomamos X_{2} y X_{3} (vale para cualquier número tal que los dos sean primos entre sí)
    X_{2}=a/b
    X_{3}=c/d
    con a b c y d números naturales.
    b*X_{2}=a c*b*X_{2}=a*c
    d*X_{3}=c a*d*X_{3}=a*c con esto vemos que c*b*X_{2}=a*d*X_{3}=a*c

    por la propiedad inicial sacada de la hipótesis X_{2^(c*b)}=X_{3^(a*d)}=a*c
    2^(c*b)!=3^(a*d) son distintos porque los exponentes son naturales, y primos entre sí. Por lo tanto existen dos terminos de la sucesión que son iguales a a*c

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  9. Para Matemáticas07: Tienes razón en que está mal escrito el razonamiento 4), lo que debí escribir es
    4) Siempre podré encontrar dos parejas de primos x(m), x(n) y x(p), x(q) tales que sus sumas sean iguales. Esto provocaría que x(m.n) y x(p.q) valgan x(m) + x(n) = x(p) + x(q), siendo m.n distinto de p.q.
    En cuanto al punto número 5), debo reconocer que, teniendo clara la idea, lo he redactado fatal. Lo que quiero expresar, utilizando tu ejemplo, es lo siguiente: si elijo x7 = 6, bastará buscar la m y la n donde están los primos 2 y 3 y tendré que x(m.n) = x7.
    Es decir, habrá dos términos iguales, uno con índice primo y otro con índice compuesto

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  10. En respuesta a JJGJJG: En principio, del enunciado no se puede extraer que exista algún n\in \mathbb{N} tal que x_n sea un número primo, por tanto no puedes asegurar que puedas encontrar esas dos parejas de primos de las que hablas. Lo mismo para el punto 5), no tienen porque existir m,n\in \mathbb{N} con x_n=2\text{ y }x_m=3. Aun en caso de existir, esto te aseguraria que x_{n\cdot m}=x_n+x_m, es decir, x_{n\cdot m}=2+3=5\neq 6=x_7
    Un saludo.

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  11. En respuesta a JJGJJG: En principio, del enunciado no se puede extraer que exista algún n\in \mathbb{N} tal que x_n sea un número primo, por tanto no puedes asegurar que puedas encontrar esas dos parejas de primos de las que hablas. Lo mismo para el punto 5), no tienen porque existir m,n\in \mathbb{N} con x_n=2\text{ y }x_m=3. Aun en caso de existir, esto te aseguraria que x_{n\cdot m}=x_n+x_m, es decir, x_{n\cdot m}=2+3=5\neq 6=x_7
    Un saludo.

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  12. La sucesión x_n = 0; \forall n > 0, n \in N verifica las condiciones, ya que 0 es racional no negativo, y la suma de cualesquiera dos términos de la sucesión es 0.
    Con esto sólo quiero mostrar que hay al menos una sucesión que verifica lo pedido. La cuestión ahora está en demostrar que vale para cualquier sucesión que verifique las condiciones de la hipótesis.

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  13. Resulta interesante observar que si x_n+x_m=x_{n.m} y suponemos que existen x_i ;x_j tales que  x_i=x_j entonces sucede que
     x_i+x_j=x_{i.j}
     x_i+x_i=x_{i.i} (porque  x_i=x_j )
     x_j+x_j=x_{j.j} (porque  x_i=x_j )
    De donde podemos afirmar que  x_{i.j}=x_{i.i}=x_{j.j}, entonces
    x_{i.j}+x_{i^2}=x_{i^3.j}=x_{i.j}+x_{j^2}=x_{i.j^3}

    Por ejemplo, sean  x_2 = x_5 entonces x_2+x_5=x_{10} pero también  x_2+x_2=x_4=x_5+x_5=x_{25} entonces  x_4=x_{10}=x_{25} y así podemos ahora razonar que  x_4+x_{10}=x_{40}=x_{16} de donde se sigue que  x_{40}+x_{16}=x_{640}=x_{1600}, etc.

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