Dos términos iguales

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 3 de septiembre de 2012
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18 comentarios

Edmond | 3 de septiembre de 2012 | 10:13

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No sé si no lo he entendido bien. La sucesión: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7… creo que cumple las condiciones y no tiene términos iguales ¿es así?
cullero | 3 de septiembre de 2012 | 10:33

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Pues a mi me sale que la sucesión $x_i = i$ para todo $i\geq 1$ natural, cumple las hipótesis, pero no la tesis. En efecto, en primer lugar, para cada $i\geq 1$ natural, $x_i=i\geq 0$ . Además, dados $n,m\geq 1$ naturales cualesquiera, llamo $i=nm$ . Entonces, $x_{n\cdot m}=x_i=i=n\cdot m=x_n\cdot x_m$ . Y que yo recuerde, no hay dos números naturales repes.
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Ignacio Larrosa Cañestro | 3 de septiembre de 2012 | 13:54

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Evidentemente algo falla en el enunciado … A parte de $x_n = n$ , otros contraejemplos se pueden obtener haciendo $x_1 = 1$ y adjudicando a cada $x_p$ con p primo, cualquier primo, sin repetirlos.
M | 3 de septiembre de 2012 | 14:03

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Cierto, la condición que satisface la sucesión debe ser $x_n + x_m=x_{n \cdot m}$ .
gaussianos | 3 de septiembre de 2012 | 14:25

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Arreglado el enunciado .
pcrdeg | 3 de septiembre de 2012 | 15:29

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Si p, q son naturales cualesquiera, tenemos que x(p^r)=r•x(p)

Sean p y q primos distintos. Supongamos que x(p)=a/b, x(q)=c/d.

Entonces x(p^bc)=bc•x(p)=ac=ad•x(q)=x(q^ad) siendo p^bc y q^ad distintos.
JJGJJG | 3 de septiembre de 2012 | 15:55

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Puedo demostrar que el enunciado es cierto con valores enteros de x(i) si no imponemos la condición de que m y n sean distintos entre sí.

1) El primer término tiene que ser 0, ya que x1 + x2 = x2.
2) Asigno a cada x(i) con i primo el valor de un número primo diferente (no necesariamente el propio valor de i.
3) en función de esto valores calculo todas las x(i) con valores de i compuestos.
4) Siempre podré encontrar dos parejas de primos x(m), x(n) y x(p), x(q) tales que sus sumas sean iguales. Esto provocaría que x(m.n) y x(p.q) valgan m + n = p + q, siendo m.n distinto de p.q
5) Si asignara un valor compuesto a un término de índice primo resulta muy fácil encontrar la repetición utilizando dos índices cuyo producto sea dicho compuesto.

Un poco más difícil debe ser la demostración con números fraccionarios y no me siento con ganas en este momento.
JJGJJG | 3 de septiembre de 2012 | 16:43

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Gracias pcrdeg por resolver totalmente mientras yo escribía mi solución parcial y ahorrarme esfuerzos adicionales para completarla.
Matemáticas07 | 3 de septiembre de 2012 | 20:16

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JJGJJG encuentro algunos errores en tu razonamiento, en el punto 4) tenemos que $x_{m\cdot n}=x_n +x_m$ y no $x_{m\cdot n}=n+m$ como indicas, y al punto 5) no le encuentro mucho sentido, por ejemplo, elegimos $x_7=6$ y dices que vas a usar dos índices cuyo producto sea dicho compuesto, es decir, $x_2$ y $x_3$ para encontrar la repetición, pero en realidad lo único que sabes es que $x_2+x_3=x_6$ que no tiene nada que ver con el $x_7$ de partida.
Me parece que estas confundiendo subíndices de los términos de la sucesión y los propios términos.
Un saludo.
Luis Martínez Anoz (@LuisAnoz) | 3 de septiembre de 2012 | 21:00

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Sea a, y b números naturales, X_{n}=a/b , b*X_{n}=a, y por inducción con la hipótesis podemos demostrar que b*X_{n}=X_{n^b}=a

Tomamos X_{2} y X_{3} (vale para cualquier número tal que los dos sean primos entre sí)
X_{2}=a/b
X_{3}=c/d
con a b c y d números naturales.
b*X_{2}=a c*b*X_{2}=a*c
d*X_{3}=c a*d*X_{3}=a*c con esto vemos que c*b*X_{2}=a*d*X_{3}=a*c

por la propiedad inicial sacada de la hipótesis X_{2^(c*b)}=X_{3^(a*d)}=a*c
2^(c*b)!=3^(a*d) son distintos porque los exponentes son naturales, y primos entre sí. Por lo tanto existen dos terminos de la sucesión que son iguales a a*c
Luis Martínez Anoz (@LuisAnoz) | 3 de septiembre de 2012 | 21:03

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juas, no había actualizado… ahora veo que ya lo han resuelto.
JJGJJG | 4 de septiembre de 2012 | 10:11

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Para Matemáticas07: Tienes razón en que está mal escrito el razonamiento 4), lo que debí escribir es
4) Siempre podré encontrar dos parejas de primos x(m), x(n) y x(p), x(q) tales que sus sumas sean iguales. Esto provocaría que x(m.n) y x(p.q) valgan x(m) + x(n) = x(p) + x(q), siendo m.n distinto de p.q.
En cuanto al punto número 5), debo reconocer que, teniendo clara la idea, lo he redactado fatal. Lo que quiero expresar, utilizando tu ejemplo, es lo siguiente: si elijo x7 = 6, bastará buscar la m y la n donde están los primos 2 y 3 y tendré que x(m.n) = x7.
Es decir, habrá dos términos iguales, uno con índice primo y otro con índice compuesto
Matematicas07 | 4 de septiembre de 2012 | 14:25

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En respuesta a JJGJJG: En principio, del enunciado no se puede extraer que exista algún $n\in \mathbb{N}$ tal que $x_n$ sea un número primo, por tanto no puedes asegurar que puedas encontrar esas dos parejas de primos de las que hablas. Lo mismo para el punto 5), no tienen porque existir $m,n\in \mathbb{N}$ con $x_n=2\text{ y }x_m=3$ . Aun en caso de existir, esto te aseguraria que $x_{n\cdot m}=x_n+x_m$ , es decir, $x_{n\cdot m}=2+3=5\neq 6=x_7$
Un saludo.
Matematicas07 | 4 de septiembre de 2012 | 14:25

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En respuesta a JJGJJG: En principio, del enunciado no se puede extraer que exista algún $n\in \mathbb{N}$ tal que $x_n$ sea un número primo, por tanto no puedes asegurar que puedas encontrar esas dos parejas de primos de las que hablas. Lo mismo para el punto 5), no tienen porque existir $m,n\in \mathbb{N}$ con $x_n=2\text{ y }x_m=3$ . Aun en caso de existir, esto te aseguraria que $x_{n\cdot m}=x_n+x_m$ , es decir, $x_{n\cdot m}=2+3=5\neq 6=x_7$
Un saludo.
JJGJJG | 4 de septiembre de 2012 | 17:32

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Efectivamente, me he obcecado con los primos.
pehuencura | 30 de septiembre de 2012 | 17:15

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La sucesión $x_n = 0; \forall n > 0, n \in N$ verifica las condiciones, ya que 0 es racional no negativo, y la suma de cualesquiera dos términos de la sucesión es 0.
Con esto sólo quiero mostrar que hay al menos una sucesión que verifica lo pedido. La cuestión ahora está en demostrar que vale para cualquier sucesión que verifique las condiciones de la hipótesis.
pehuencura | 7 de octubre de 2012 | 17:59

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Resulta interesante observar que si $x_n+x_m=x_{n.m}$ y suponemos que existen $x_i ;x_j$ tales que $x_i=x_j$ entonces sucede que
$x_i+x_j=x_{i.j}$
$x_i+x_i=x_{i.i}$ (porque $x_i=x_j$ )
$x_j+x_j=x_{j.j}$ (porque $x_i=x_j$ )
De donde podemos afirmar que $x_{i.j}=x_{i.i}=x_{j.j}$ , entonces
$x_{i.j}+x_{i^2}=x_{i^3.j}=x_{i.j}+x_{j^2}=x_{i.j^3}$

Por ejemplo, sean $x_2 = x_5$ entonces $x_2+x_5=x_{10}$ pero también $x_2+x_2=x_4=x_5+x_5=x_{25}$ entonces $x_4=x_{10}=x_{25}$ y así podemos ahora razonar que $x_4+x_{10}=x_{40}=x_{16}$ de donde se sigue que $x_{40}+x_{16}=x_{640}=x_{1600}$ , etc.