Echegaray y la trascendencia de Pi: no lo cuento, lo hago

Pocas deberían ser las personas que no conozcan a José Echegaray, dada la gran importancia que tuvo en disciplinas tan dispares como las matemáticas y la literatura. Premio Nobel de Literatura en 1904 (compartido con Frédéric Mistral) y primer Presidente de la Real Sociedad Matemática Española (Sociedad Matemática Española en aquella época), fue una de las grandes figuras españolas de las ciencias y las letras de finales del siglo XIX y principios del XX. Hoy homenajearemos a este gran personaje hablando de una de sus principales contribuciones a las matemáticas en España.

José Echegaray

Aunque la importancia de su papel en el desarrollo de las ciencias en general, y de la Física y las Matemáticas en particular, en la segunda mitad del siglo XIX y los principios del XX está fuera de toda duda, parece que ser que Echegaray no fue, en general, un matemático creativo. Lo que sí hizo fue introducir en España muchos de los avances matemáticos que se estaban produciendo en aquella época en otros países, como el cálculo de variaciones, la teoría de Galois o las funciones elípticas.

En este artículo no vamos a hablar de ninguna de esas aportaciones, sino de un tema muy concreto que, por desconocimiento, tenía ciertamente ocupados (y, posiblemente, renegados) a los matemáticos españoles de la segunda mitad del siglo XIX. Nos referimos al conocidísimo problema de la cuadratura del círculo, que, como todos los lectores de este blog deben saber, está íntimamente relacionada con la trascendencia del número Pi.

La demostración de la trascendencia de Pi data de 1882, y fue desarrollada por Ferdinand von Lindemann (aquí tenéis una prueba de dicho resultado), pero dicha información no llegó a España hasta unos años después…gracias a Echegaray.

Es la forma en la que esta información llegó a nuestro país lo más interesante de esta historia. Echegaray no había tenido acceso a la demostración de Lindemann, sino simplemente a ciertos detalles de la investigación de éste gracias al tomo I de la quinta edición de las Leçons de Geometrie de Rouché y Comberousse.

Como decíamos antes, la cuestión sobre la cuadratura del círculo tenía relativamente preocupados a los matemáticos de la época, principalmente por la imposibilidad de descartar directamente todas las supuestas “demostraciones” de dicho resultado que llegaban a sus manos. Al no conocerse la prueba de la trascendencia del Pi, la única manera de echar por tierra dichas demostraciones falsas era revisarlas para encontrar el error que contenían.

Pero en 1886 Echegaray se encargó de poner solución a este problema. Como comentamos antes, conocía detalles sobre la investigación de Lindemann sobre este resultado pero no había leído la demostración. ¿Qué hizo entonces? ¿Buscar la demostración de Lindemann y ayudar a su publicación en España? Pues no. Cual Goyo Jiménez, se marcó un no lo cuento, lo hago y desarrolló la demostración por su cuenta. Al parecer, Echegaray reconstruyó la demostración que Lindemann había realizado sobre la trascendencia de Pi, y publicó en 1886 un artículo con la misma titulado Sobre la imposibilidad de la cuadratura del círculo en la Revista de los Progresos de las Ciencias. Este trabajo (que, además, abre la obra Disertaciones matemáticas de 1887) se considera uno de los pocos (posiblemente el único) trabajos de investigación realizado por Echegaray en toda su vida, y sirvió para que de una vez por todas se pudieran descartar todas esas demostraciones falsas de este famoso problema clásico…

…aunque por desgracia sigue habiendo mucha gente que continúa estudiando el problema y creyendo que ha conseguido demostrar que la cuadratura del círculo con regla y compás es posible siguiendo las reglas clásicas griegas. Y lo peor no es eso, sino que habitualmente es muy complicado convencer a esas personas de que están equivocados. Una lástima tanto tiempo perdido intentando demostrar que esta construcción es posible cuando en realidad se sabe que no lo es…


Por cierto, si eliminamos esas restricciones clásicas, sí que es posible “cuadrar un círculo”.


Y otro “por cierto”. No he podido encontrar el artículo de Echegaray donde publicaba su demostración. Si alguien encuentra algún enlace donde podamos consultarlo le estaría muy agradecido si nos lo deja en los comentarios. @SamuelDalva me ha dejado, en este tuit, un enlace a Disertaciones matemáticas, obra que, como hemos comentado, comienza con la demostración de la trascendencia de Pi de José Echegaray. Aquí tenéis el enlace: Disertaciones matemáticas sobre la cuadratura del círculo, el método de Wantzel y la división de la circunferencia en partes iguales. Muchas gracias Samuel.


Fuentes:

  • José Echegaray, matemmático, de José Manuel Sánchez Ron en La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, en el que además se puede encontrar mucha más información sobre José Echegaray.
  • José Echegaray en la Wikipedia en español, de donde he sacado la foto de Echegaray.
  • La imagen que encabeza el post la he tomado de aquí.

Esta entrada participa en la Edición 6.9: “El conjunto de Cantor” del Carnaval de Matemáticas, cuya anfitriona es Marta Macho a través del blog ZTFNews.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

6 Comentarios

  1. Muy interesante. Me recordó el caso de Husserl, Doctor en Matemáticas (estudió con Weierstrass y Kronecker) que antes de la treintena se lanzó hacia la filosofía, desde donde intentó hacer de la misma una ciencia. ¿Se sabe algo de sus trabajos matemáticos?
    También me recordó (aquello de que una importante demostración provino de una figura matemática “no tan activa”) el caso de la primera demostración completa del Teorema Fundamental del Álgebra, a manos del librero y matemático Argand, en 1814. Unos años antes Gauss había publicado una demostración pero con algunos problemas. Dos Años después de la presentación de Argand, Gauss presentó otra, esta vez completa.

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  2. Muy interesante entrada.

    Sobre la trascendencia de Pi. Nunca en mi vida he visto la prueba de Lindenmann pero el hecho de que alguien la reconstruyese es un fenómeno bellísimo y muy curioso. Lleva a pensar en que el proceso matemático de hacer una demostración es platónico. Estas cuestiones se comentan en este fantástico video en donde comentan Jacob Lurie, Simon Donaldson, Terence Tao, Richard Taylor y Maxim Kontsevith

    https://www.youtube.com/watch?v=eNgUQlpc1m0

    Lo que me resulta extraño es que las demostraciones de irracionalidad y trascendencia para e (y el de irracionalidad para pi) son demostraciones muy forzadas en el sentido de que se propone una función que priori sin una razón clara y con ella se hacen conclusiones sin aportar mucho a la intuición,, al menos es lo que recuerdo cuando las estudié en el libro “Calculus” de M. Spivak y en el libro de análisis de Carlos Ivorra. Tal vez estas épocas sean un buen momento para darle una mirada la prueba de Lindenmann 🙂

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    • “…Lo que me resulta extraño es que las demostraciones de irracionalidad y trascendencia para e (y el de irracionalidad para pi)…”,
      Segun Tio Petros (http://tiopetrus.blogia.com/2005/040801-numeros-trascendentes.php)
      “A veces es más fácil demostrar el hecho que ciertos objetos existen, que encontrar alguno de ellos. Eso es lo que históricamente ocurrió con los números transcendentes. Como ya hemos dicho varias veces, un número real se llama racional si es solución de un polinomio de primero grado con coeficientes enteros.

      ax+b=0

      Extendiendo este concepto para cualquier tipo de polinomio tenemos la definición de número algebraico , como aquel que es raíz de un polinomio cualquiera de coeficientes enteros.

      anxn + an-1xn-1+ a1x +…+ a0 =0

      Y ahora llamaremos número trascendente a todo número real que no sea algebraico, en caso de que tal cosa exista.

      La demostración de existencia es muy sencilla, y se basa en el hecho de que el conjunto R tiene la potencia del contínuo, mientras que el conjunto de los algebraicos es numerable.

      Esto no debería ser ninguna sorpresa. La sorpresa (mayúscula) fue la demostración de que el conjunto de los números racionales era numerable. Lo demostró Cantor con su famoso método diagonal que vimos aquí.

      Una vez demostrado que el conjunto Q era numerable, ya no nos sorprende tanto que el conjunto de los algebraicos también lo sea. En efecto, Cantor demostraba que el conjunto de los pares ordenados (a,b) de enteros era numerable; y extender esto a las n-tuplas (a1, a2,…, an) es trivial. Como cada n-tupla tiene asociado un único polinomio cuyos coeficientes son los elementos de la misma, resulta que el conjunto de polinomios de grado n es numerable; y por tanto el conjunto de todos los polinomios también; pues estamos sumando una cantidad numerable de numerables. Dado que un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces diferentes, queda demostrada la numerabilidad de los números algebraicos.

      Como los reales son los algebraicos más los trascendentes, concluimos que no sólo existen, sino que los hay en cantidad no numerable. Esto es: casi todos los reales son trascendentes.

      Este casi todos parece una afirmación vaga, y sin embargo no lo es: quiere decir exactamente que TODOS los reales son trascendentes excepto un conjunto de reales de medida nula. Esta frase es más profunda de lo que parece, pero necesitaríamos muchos post para hablar de la teoría de la medida, y en particular de la medida de Lebesgue . Quizás lo hagamos en breve.

      Pues bien, estamos en 1.874. Cantor demuestra la ubicuidad de los trascendentes dentro de los reales… y sin embargo no se conoce ningún número trascendente. El primero no es pi , ni e, cuyas trascendencias se demostrarían años después. El primero número trascendente concreto conocido es la llamada Constante de Louiville .

      Su valor es el siguiente:

      L = 0.110001000000000000000001000…

      Esta constante tiene todos sus decimales igual a cero a excepción de aquellas situadas en posiciones factoriales:1!=1; 2!=2; 3!=6; 4!=24; etc. Se trata de un número construido efectivamente para ser trascendente.

      El primer número del que se demostró que era trascendente sin haber sido específicamente construido para ello fue e, por Charles Hermite en 1873. En 1882, Carl Louis Ferdinand von Lindemann publicó una demostración de que pi es trascendente.

      Estas demostraciones ya no son elementales, en el sentido de que utilizan un fuerte arsenal de métodos integro-diferenciales para llegar a buen puerto.

      En general, el estudio de los números trascendentes es difícil, más aún que cualquier tema de teoría de números. Particularmente uno de los retos de Hilbert era dilucidar si a b es trascendente cuando a y b son algebraicos, con a diferente de cero y de la unidad y con b irracional. Este enunciado está englobado en el conocido como Séptimo problema de Hilbert . En 1.934 fue demostrada esta parte del séptimo problema por Gelfond y Schneider independientemente.

      La teoría de los números trascendentes es una parte muy difícil de una disciplina ya de por sí difícil como es la teoría de números. La única demostración on line del teorema de Gelfond-Schneider en castellano que he podido encontrar está en la nunca suficientemente alabada labor del profesor Ivorra de la Universidad de Valencia. La teneis aquí.

      Un tema profundo del que no puedo hablar mucho más aquí; y no por las limitaciones del blog, sino por las de su autor…”

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  3. Desgraciadamente José Echegaray es un perfecto desconocido. Cuando hablo de él a mis alumnos de bachillerato, ninguno ha oído nada al respecto ni les suena (ni siquiera de Literatura a pesar de tener el Nobel). De hecho, siempre lo comento haciendo referencia a Blas Cabrera (contemporáneo de Echegaray y el artífice de que Einstein visitase España) y nada de nada.
    Como curiosidad, les he preguntado a los alumnos del instituto Blas Cabrera de Lanzarote y ninguno supo decirme quien era.
    Nuestros científicos son unos absolutos desconocidos.

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  4. Echegaray era un enamorado del conocimiento, supongo. Y seguro que una bella persona. Pero no exageremos: sus obras no se representan, su Nobel fue un asunto politico, sus investigaciones casi inexistentes. No lo aupemos a la categoria de genio.

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