Ecuación diofántica junto con ecuación de segundo grado

Hoy os traigo un problema que me mandó Geromín hace un tiempo por mail (perdón por la espera). La cuestión es la siguiente:

Encontrar las soluciones de la ecuación diofántica

$6X+Y=635$

tal que dichas soluciones son los coeficientes $b$ y $c$ de la ecuación de segundo grado siguiente:

$x^2-bx+c=0$

Concretamente queremos encontrar una forma de determinar qué soluciones de la ecuación diofántica provienen de las soluciones de una ecuación de segundo grado sin tener que ir probando una a una.

A ver quién puede echarle un cable.

18 comentarios

josejuan | 4 de October de 2010 | 09:51

Ehm… pues no entiendo el enunciado.

“Encontrar valores para X e Y que sean coeficientes de un polinomio.”

¡¿cualesquiera no?!

Si no se pide nada al polinomio…

Es decir, ¿qué polinomio de todos éstos no vale? (y porqué)

$x^{2}-bx+635-6b=0$ (para b entero)
cullero | 4 de October de 2010 | 10:59

Si X e Y han de ser los coeficientes del polinomio, digamos $X=b$ , $Y=c$ , por las ecuaciones de Cardano, tenemos que las raíces del polinomio, $u$ y $v$ han de cumplir $X=b=u+v$ , $Y=c=uv$ . Volvemos a la ecuación diofántica y tenemos la ecuación $6u+6v+uv=635$ , que despejando da $v(u+6)=635-6u$ . El caso $u=-6$ no cumple la ecuación anterior, luego podemos dividir, y usando la división de polinomios, se obtiene $v=-6+\frac{671}{u+6}$ . De aquí, $u+6$ ha de ser un divisor de 671, cuya descomposición en factores primos es $671=11*61$ . Por tanto, hay ocho posibilidades: $u+6=\pm 1$ , $u+6=\pm 11$ , $u+6=\pm 61$ y $u+6=\pm 671$ . Con estos valores ya se pueden calcular los valores asociados v, b, c, X e Y.
Francisco | 4 de October de 2010 | 11:21

u y v no tienen por qué ser enteros. b y c son los que deben ser enteros, las raices del polinomio podrían no serlo.
josejuan | 4 de October de 2010 | 11:59

Si es $X=b$ e $Y=c$ enteros y cumpliendo la relación $6X+Y=635$ , los polinomios posibles son:

$x^{2}-bx+635-6b=0$

cuyas raíces son siempre

$\frac{1}{2}b\pm \frac{1}{2}\sqrt{b^{2}+24b-2540}$

vaya, que esas son todas las raíces posibles, que son soluciones de ese polinomio con coeficientes enteros que cumplen la ecuación diofántica.

Si nos dan una de esas raíces, por ejemplo x=55 forzosamente b=60 es decir, se cumple la relación

$b=\frac{r^{2}+635}{r+6}$

Pero, puestos a sacar todas las soluciones (al estilo de lo que ha hecho @cullero), ¿no es mejor enumerar $b$ directamente?.

Por ejemplo, si se quieren soluciones reales, tomar $b\leq -64~\acute{o}~b\geq 40$ y obtener $c,~r_{1},~r_{2}$ .

No se, es que no entiendo qué hay que obtener exactamente…
Trackback | 4 Oct, 2010

Bitacoras.com
gaussianos | 4 de October de 2010 | 14:20

Aclaro algo que no había puesto: las soluciones del polinomio también deben ser enteras. El tema es encontrar un procedimiento para encontrar las soluciones de la ecuación diofántica que cumplan esa condición sin tener que ir probando una a una.
JOSE LUIS G.Q. | 4 de October de 2010 | 15:29

solo se requieren tres condiciones para dar solucion al problema planteado:
en la ecuacion cuaratica , que b sea par, que b cuadrada sea mayor que cuatro c ,
que tres veces b mas menos raiz cuadrada de b cuadrada menos cuatro c sea igual o menor a seiscientos treinta y cinco
josejuan | 4 de October de 2010 | 15:45

U… @cullero lo ha clavado ¿no? (parece que esas son las únicas soluciones).
M | 4 de October de 2010 | 17:12

La solución general de la ecuación diofántica es $X=105+\lambda$ , $Y=5-6\lambda$ , con $\lambda\in\mathbb{Z}$ .

Y para cada $\lambda\in\mathbb{Z}$ , resulta que estos valores $(X,Y)$ corresponden a las soluciones de la ecuación en $w$

$w^2-(110-5\lambda)w+(525-625\lambda-6\lambda^2)=0$

(cuyo discriminante es $(7\lambda+100)^2$ ).

Es decir que todas las soluciones (enteras) de la ecuación diofántica se corresponden con las soluciones de una cierta ecuación cuadrática con coeficientes enteros.
Geromín | 4 de October de 2010 | 17:46

No pretendo enmendarle la plana a Diamond, sólo explicar el problema con mayor extensión:
Tengamos la ecuación diofántica 6A + B = 635
Despejando A:

635 – B
A = ————
6

Con lo que tendríamos:

B 5 11 17 23 29 35 …..
—-¡——-¡——-¡———¡——-¡——-¡——–¡——-
A 105 104 103 102 101 100 …….

a estos pares de soluciones de la diofántica le impongo la condición de ser
Suma y Producto de dos enteros. De esta forma el par (5, 105) me dará lugar
a X2 + 5X + 105 = 0 cuyas raices son imaginarias
El par (11. 104) me da lugar a
X2 + 11X + 104 = 0 cuyas raices también son imaginarias
Lo mismo ocurre con el par (17, 103)
Sin embargo, con el par (23, 102) que da lugar a la ecuación
X2 + 23X + 102 = 0
Se obtiene X1 = 17 y X2 = 6

Los demás pares dan lugar a las correspondientes ecuaciones cuyas raices son todas irracionales.

Mi pregunta es la siguiente:
¿Hay alguna forma de saber, a la vista del primer par si alguno de los pares siguientes da lugar a ecuación cuadrática con raices enteras?
En el caso expuesto hay una sola solución, pero es posible que no haya ninguna o que sean varias.
Téngase en cuenta que la ley de formación del primer elemento del par es α + 6
mientras que la del segundo elemento es ß – 1

Espero que sepan interpretar lo que digo, porque no encuentro la manera de que cada cosa caiga donde debe caer: Todo se corre al principio y se junta cuando publico.

Gracias por su interés
Geromín | 4 de October de 2010 | 18:09

Perdon:
En las ecuaciones de segundo grado que propongo he puesto como signo de b más cuando debe ser menos. X2 – 5X + 105 = 0
Y así en todas ellas.
Disculpas….
Vayapordios | 5 de October de 2010 | 08:57

A mi me sale que hay tantas posibilidades a explorar como divisores tiene 2·2·11·61 y ninguna más. A mi juicio eso resuelve el problema aunque no sé si es lo suficientmente sistemático como para ser aceptable (yo creo que no se puede sistematizar más). He encontrado que X = 660 cumple las condiciones del enunciado: es entero y puesto en esa ecuación de segundo grado como parámetro b y haciendo además que c = 635 – 6·X se producen soluciones enteras.

No costará mucho encontrar el resto si es que hay más, lo dejo para luego.
Vayapordios | 5 de October de 2010 | 09:32

He encontrado sólo una más, X =60
josejuan | 5 de October de 2010 | 11:03

Ugh?

@cullero ya sacó todas las soluciones (se pueden ver aquí).
Vayapordios | 5 de October de 2010 | 11:42

“@cullero ya sacó todas las soluciones”

No lo había estudiado, parecía haber un problema. Yo he probado con otro procedimiento y, ahora que veo las soluciones, lo he acabado de completar: por una cuestión de signos hay que ir tanteando con el cuádruple de los casos que yo decía.
Geromín | 5 de October de 2010 | 14:57

Les agradezco a todos el interés que han mostrado y demostrado en echarme una mano con este tema. Cullero ha estado brillantisimo al igual que los demás.
Lo que yo realmente necesito es poder dirimir, a la vista de los dos primeros pares (S1,P1), si es posible al menos una solución al problema. La solución al problema es que algún par de los posibles que han van surgiendo sean enteros que convengan como Suma y Producto que den lugar a una ecuación de segundo grado con raices enteras.
(S2,P2) = (S1+6 , P1-1)
(S3,P3) = (S1+6*2 , P1-2)
…
……
(Sn,Pn) = S1+6α , P1-α)
En mi ejemplo hemos visto que hay una solución: X1=17 , X2=6
Todas las demás soluciones son o bien imaginarias (o complejas) o bien irracionales.
Mi pregunta: ¿qué características deben tener esos dos primeros elementos (S1 , P1)
[en nuestro caso (5 , 105) ] para que el problema tenga alguna solución que sea suma y producto de una ecuación cuadrática con X1 = entero y X2 = entero.
Todo lo demás que han dicho ya yo lo tenía más que trillado.
¿QUÉ CARACTERÍSTICAS DEBEN TENER EL 5 Y EL 105 O AMBOS A LA VEZ, O ALGUNA TRAVESURA HECHA A AMBOS, O ALGUNA RELACIÓN ENTRE AMBOS, O VETE TU A SABER…
PARA CUMPLIR CON MI PROPÓSITO DE QUE

- (S1+6α) +- RAIZ[(S1+6α)2 - 4(P1-α)]
————————————————————– = X1(ENTERO) Y X2 (ENTERO)
2

O, LO QUE ME DARÍA IGUAL, QUE ESE DISCRIMINANTE FUESE UN CUADRADO PERFECTO. QUE DEBIA SER (LO DIGO POR SI LES SIRVE DE ALGO) JUSTAMENTE (X1 – X2)2
EN NUESTRO CASO (17 – 6)2 = 121
Lo llevo buscando un montón de tiempo y no he podido dar con la solución, algo que enlace a S1 y a P1. (en nuestro ejemplo 5 y 105)
Gracias por su ayuda.
Geromín | 5 de October de 2010 | 14:59

Les agradezco a todos el interés que han mostrado y demostrado en echarme una mano con este tema. Cullero ha estado brillantisimo al igual que los demás.
Lo que yo realmente necesito es poder dirimir, a la vista de los dos primeros pares (S1,P1), si es posible al menos una solución al problema. La solución al problema es que algún par de los posibles que van surgiendo sean enteros que convengan como Suma y Producto que den lugar a una ecuación de segundo grado con raices enteras.
(S2,P2) = (S1+6 , P1-1)
(S3,P3) = (S1+6*2 , P1-2)
…
……
(Sn,Pn) = S1+6α , P1-α)
En mi ejemplo hemos visto que hay una solución: X1=17 , X2=6
Todas las demás soluciones son o bien imaginarias (o complejas) o bien irracionales.
Mi pregunta: ¿qué características deben tener esos dos primeros elementos (S1 , P1)
[en nuestro caso (5 , 105) ] para que el problema tenga alguna solución que sea suma y producto de una ecuación cuadrática con X1 = entero y X2 = entero.
Todo lo demás que han dicho ya yo lo tenía más que trillado.
¿QUÉ CARACTERÍSTICAS DEBEN TENER EL 5 Y EL 105 O AMBOS A LA VEZ, O ALGUNA TRAVESURA HECHA A AMBOS, O ALGUNA RELACIÓN ENTRE AMBOS, O VETE TU A SABER…
PARA CUMPLIR CON MI PROPÓSITO DE QUE

- (S1+6α) +- RAIZ[(S1+6α)2 - 4(P1-α)]
————————————————————– = X1(ENTERO) Y X2 (ENTERO)
2

O, LO QUE ME DARÍA IGUAL, QUE ESE DISCRIMINANTE FUESE UN CUADRADO PERFECTO. QUE DEBIA SER (LO DIGO POR SI LES SIRVE DE ALGO) JUSTAMENTE (X1 – X2)2
EN NUESTRO CASO (17 – 6)2 = 121
Lo llevo buscando un montón de tiempo y no he podido dar con la solución, algo que enlace a S1 y a P1. (en nuestro ejemplo 5 y 105)
Gracias por su ayuda.
fausto | 5 de October de 2010 | 23:15

debo felicitarlos por las tantas cosas que se han dicho, como me encantan las matemàticas , aunque mas me interesa la geometrìa, sigan asì ojala este blog dure años, !siglos tal vez!