Ecuación en enteros

El problema semanal tiene un enunciado sencillo. Ya veremos si su resolución también lo es:

Determinar todos los enteros positivos $n$ tales que:

$\cfrac{1^3+3^3+5^3+ \ldots + (2n-1)^3}{2^3+4^3+6^3+ \ldots + (2n)^3}=\cfrac{199}{242}$

Suerte.

14 comentarios

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josejuan | 17 de August de 2010 | 10:13

Uhm… ¿ninguno?

PD: basta formar la ecuación de 3er grado ¿no?.
orlin | 17 de August de 2010 | 10:25

Creo que lo tengo:

El numerador es: $\Sigma_{k=1}^n (2k-1)^3 = \Sigma_{k=1}^{2n} k^3 - \Sigma_{k=1}^n 2^3k^3$

el denominador = $\Sigma_{k=1}^n 2^3k^3$ ,

ahora usando la fórmula para la suma de cubos: $\Sigma_{k=1}^{n} k^3 = (\Sigma_{k=1}^{n} k)^2 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$ queda:

$\frac{(\frac{2n(2n+1)}{2})^2 - 2^3(\frac{n(n+1)}{2})^2}{2^3(\frac{n(n+1)}{2})^2}= \frac{n^2(2n+1)^2-2n^2(n+1)^2}{2n^2(n+1)^2}= \frac{(2n+1)^2}{2(n+1)^2}-1$ , pasando el 1 al otro lado $\frac{199}{242}+1 = \frac{441}{242}$ , llegamos a:

$(\frac{2n+1}{n+1})^2 = \frac{441}{121}$ , tomando la raiz cuadrada (n>0) queda: $\frac{2n+1}{n+1} = \frac{21}{11}$ , entonces:

$2n+1 = 21k$
$n+1 = 11k$
siendo $k$ entero positivo. El único $k$ que cumple ambas ecuaciones es $k=1$ , y de ahí
$n=10$ .

Faltaría demostrar que $\Sigma_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$ , esto es relativamente sencillo (si te lo cuentan ) o si llegarías a darte cuenta de que:
$1 = 1^3$
$3 + 5 = 2^3$
$7 + 9 + 11 = 3^3$
$\cdots$

y que $\Sigma_{k=1}^n (2k-1) = n^2$ .
castilla | 17 de August de 2010 | 10:25

Hola a todos. Creo que no es muy difícil (espero no haber metido la pata, claro). Allá voy.

La suma de los $p$ primeros cubos es $p^2(p+1)^2/4$ , como se puede ver por inducción. El caso inicial es trivial, vamos a ver que $p$ implica $p+1$ :

$\sum_{j=1}^{p+1} j^3=\sum_{j=1}^p j^3+(p+1)^3=\frac{p^2(p+1)^2}{4}+(p+1)^3=\frac{(p+1)^2(p+2)^2}{4}$ .

Vamos a calcular por separado la suma de los cubos de los pares y las de los impares:

$\sum_{j=1}^n (2j)^3=8\sum_{j=1}^n j^3=2n^2(n+1)^2$ .

$\sum_{j=1}^n (2j-1)^3=\sum_{j=1}^{2n}j^3-\sum_{j=1}^n (2j)^3=n^2(2n+1)^2-2n^2(n+1)^2=n^2(2n^2-1)$ .

Entonces el problema se reduce a resolver la ecuación

$\frac{2n^2-1}{2(n+1)^2}=\frac{199}{242}$

que es una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son $10$ y $-32/43$ . Luego el único entero positivo que cumple la igualdad es $10$ .
Vayapordios | 17 de August de 2010 | 10:35

De segundo grado más bien. Luego, hay una única solución, el 10
josejuan | 17 de August de 2010 | 11:26

Si, bua, mezclé el índice…

Basta formar la ecuación directamente

$\frac{\sum_{i=1}^{n}(2i-1)^{3}}{\sum_{i=1}^{n}(2i)^{3}}=\frac{1}{2}\frac{2n^{2}-1}{\left( n+1\right) ^{2}}=\frac{199}{242}$

tiene por soluciones

$-\frac{32}{43},10$
ferran | 17 de August de 2010 | 20:13

Otra forma de resolverlo es ver que el numerador mas el denominador ha de ser igual a un cuadrado triangular como es 199+242=21^2, luego el numerador debera llegar necesariamente a 19 por ser impar y el denominador a 20 por ser par. Saludos
Trackback | 17 Aug, 2010

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Rafael | 17 de August de 2010 | 22:51

Hola a todos.
Muy buenas las respuestas. Sólo añadir, por si alguien quiere verlo, la demostración sin palabras de la sumatoria de los cubos. La podéis encontrar en
http://laberintos.itam.mx/files/246.pdf ,
y seguro que en mil millones de sitios más (chispa arriba o abajo.)
víctor | 21 de August de 2010 | 18:35

Disculpad si la pregunta es estúpida, porque no soy matemático… Entiendo todo el razonamiento que seguís en las soluciones, salvo el paso en que desarrolláis el numerador, cambiando los índices del sumatorio. No sé por qué, no lo acabo de ver. Si es algún resultado conocido, me gustaría encontrar justificación igualmente, si fuera posible ^^

Muchas gracias!
josejuan | 23 de August de 2010 | 08:55

Víctor, probablemente te interese leer algo sobre series:

http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1tica
víctor | 30 de August de 2010 | 16:27

¡Hola, josejuan!

He estado revisando el artículo de wikipedia que me has pasado y sigo sin entenderlo. Sé que es una serie, y conozco los resultados de las sumas (hasta sabría demostrarlos por inducción, fíjate jajaja). Lo que no entiendo es, exactamente, el desarrollo de:

$\displaystyle\sum_{j=1}^{n} (2j - 1)^3 = \displaystyle\sum_{j=1}^{2n} j^3 - 8\sum_{j=1}^{n} j^3$

Lo que me lía es el cambio de índices, que supongo que será algo habitual, pero no estoy demasiado acostumbrado a ello (lo he hecho en alguna demostración, como lo del binomio de Newton, pero ya). Es verdad que tampoco he cogido un papel y un lápiz. A malas, cuando tenga tiempo y no esté de vacaciones, lo descubro por mí mismo. Era sólo por si alguien me ajustaba las tuercas rápido, que seguro que es una tontería.

Pues eso, disculpen por ser un pesao…
Rubén | 31 de August de 2010 | 14:23

Victor: la idea es simple, queremos poner la serie finita de tal forma que podamos aplicar la fórmula de los cubos (Rafel: muy buen link “sin palabras”), y como faltan todos los términos con n par, tenemos que pensar en una diferencia para tener series completas.
$\textstyle{\sum^n_{j = 1} (2j-1)^3} =\scriptstyle{(1^3+3^3+\dots+(2n-1)^3)=(1^3+2^3+\dots+(2n-1)^3+(2n)^3) - (2^3+4^3+\dots+(2n-2)^3+(2n)^3)}=\textstyle{\sum^{2n}_{j = 1} j^3 - \sum^n_{j = 1} (2j)^3}$
víctor | 31 de August de 2010 | 16:29

¡Muchísimas gracias, Rubén! Más que clarísimo. Perdón, sé que es una tontería, pero se me atravesó cuando lo leí. Me avergüenzo de haberlo preguntado y todo…