Ecuación en enteros

El problema semanal tiene un enunciado sencillo. Ya veremos si su resolución también lo es:

Determinar todos los enteros positivos n tales que:

\cfrac{1^3+3^3+5^3+ \ldots + (2n-1)^3}{2^3+4^3+6^3+ \ldots + (2n)^3}=\cfrac{199}{242}

Suerte.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

13 Comentarios

  1. Creo que lo tengo:

    El numerador es: \Sigma_{k=1}^n (2k-1)^3 = \Sigma_{k=1}^{2n} k^3 - \Sigma_{k=1}^n 2^3k^3

    el denominador = \Sigma_{k=1}^n 2^3k^3,

    ahora usando la fórmula para la suma de cubos: \Sigma_{k=1}^{n} k^3 = (\Sigma_{k=1}^{n} k)^2 = (\frac{n(n+1)}{2})^2 queda:

    \frac{(\frac{2n(2n+1)}{2})^2 - 2^3(\frac{n(n+1)}{2})^2}{2^3(\frac{n(n+1)}{2})^2}= \frac{n^2(2n+1)^2-2n^2(n+1)^2}{2n^2(n+1)^2}= \frac{(2n+1)^2}{2(n+1)^2}-1, pasando el 1 al otro lado \frac{199}{242}+1 = \frac{441}{242}, llegamos a:

    (\frac{2n+1}{n+1})^2 = \frac{441}{121} , tomando la raiz cuadrada (n>0) queda: \frac{2n+1}{n+1} = \frac{21}{11}, entonces:

    2n+1 = 21k
    n+1 = 11k
    siendo k entero positivo. El único k que cumple ambas ecuaciones es k=1, y de ahí
    n=10.

    Faltaría demostrar que \Sigma_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2, esto es relativamente sencillo (si te lo cuentan :D) o si llegarías a darte cuenta de que:
    1 = 1^3
    3 + 5 = 2^3
    7 + 9 + 11 = 3^3
    \cdots

    y que \Sigma_{k=1}^n (2k-1) = n^2.

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  2. Hola a todos. Creo que no es muy difícil (espero no haber metido la pata, claro). Allá voy.

    La suma de los p primeros cubos es p^2(p+1)^2/4, como se puede ver por inducción. El caso inicial es trivial, vamos a ver que p implica p+1:

    \sum_{j=1}^{p+1} j^3=\sum_{j=1}^p j^3+(p+1)^3=\frac{p^2(p+1)^2}{4}+(p+1)^3=\frac{(p+1)^2(p+2)^2}{4}.

    Vamos a calcular por separado la suma de los cubos de los pares y las de los impares:

    \sum_{j=1}^n (2j)^3=8\sum_{j=1}^n j^3=2n^2(n+1)^2.

    \sum_{j=1}^n (2j-1)^3=\sum_{j=1}^{2n}j^3-\sum_{j=1}^n (2j)^3=n^2(2n+1)^2-2n^2(n+1)^2=n^2(2n^2-1).

    Entonces el problema se reduce a resolver la ecuación

    \frac{2n^2-1}{2(n+1)^2}=\frac{199}{242}

    que es una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son 10 y -32/43. Luego el único entero positivo que cumple la igualdad es 10.

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  3. De segundo grado más bien. Luego, hay una única solución, el 10

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  4. Otra forma de resolverlo es ver que el numerador mas el denominador ha de ser igual a un cuadrado triangular como es 199+242=21^2, luego el numerador debera llegar necesariamente a 19 por ser impar y el denominador a 20 por ser par. Saludos

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  5. Hola a todos.
    Muy buenas las respuestas. Sólo añadir, por si alguien quiere verlo, la demostración sin palabras de la sumatoria de los cubos. La podéis encontrar en
    http://laberintos.itam.mx/files/246.pdf ,
    y seguro que en mil millones de sitios más (chispa arriba o abajo.)

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  6. Disculpad si la pregunta es estúpida, porque no soy matemático… Entiendo todo el razonamiento que seguís en las soluciones, salvo el paso en que desarrolláis el numerador, cambiando los índices del sumatorio. No sé por qué, no lo acabo de ver. Si es algún resultado conocido, me gustaría encontrar justificación igualmente, si fuera posible ^^

    Muchas gracias!

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  7. ¡Hola, josejuan!

    He estado revisando el artículo de wikipedia que me has pasado y sigo sin entenderlo. Sé que es una serie, y conozco los resultados de las sumas (hasta sabría demostrarlos por inducción, fíjate jajaja). Lo que no entiendo es, exactamente, el desarrollo de:

     \displaystyle\sum_{j=1}^{n} (2j - 1)^3 =  \displaystyle\sum_{j=1}^{2n} j^3 -  8\sum_{j=1}^{n} j^3

    Lo que me lía es el cambio de índices, que supongo que será algo habitual, pero no estoy demasiado acostumbrado a ello (lo he hecho en alguna demostración, como lo del binomio de Newton, pero ya). Es verdad que tampoco he cogido un papel y un lápiz. A malas, cuando tenga tiempo y no esté de vacaciones, lo descubro por mí mismo. Era sólo por si alguien me ajustaba las tuercas rápido, que seguro que es una tontería.

    Pues eso, disculpen por ser un pesao…

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  8. Victor: la idea es simple, queremos poner la serie finita de tal forma que podamos aplicar la fórmula de los cubos (Rafel: muy buen link “sin palabras”), y como faltan todos los términos con n par, tenemos que pensar en una diferencia para tener series completas.
    \textstyle{\sum^n_{j = 1} (2j-1)^3} =\scriptstyle{(1^3+3^3+\dots+(2n-1)^3)=(1^3+2^3+\dots+(2n-1)^3+(2n)^3) - (2^3+4^3+\dots+(2n-2)^3+(2n)^3)}=\textstyle{\sum^{2n}_{j = 1} j^3 - \sum^n_{j = 1} (2j)^3}

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  9. ¡Muchísimas gracias, Rubén! Más que clarísimo. Perdón, sé que es una tontería, pero se me atravesó cuando lo leí. Me avergüenzo de haberlo preguntado y todo…

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  10. La idea es muy similar a algunas respuestas anteriores. Sin embargo no hay que utilizar la formula del sumatorio del cubo de los impares.

    Haciendo 242*(Sumatorio impares) -199*(Sumatorio pares) =0

    de aquí sumando a ambos lados 441*(Sumatorio pares) nos sale

    242* (Sumatorio total hasta (2n)) = 441*(Sumatorio pares hasta (2n))

    aplicando las fórmulas llegamos a
     43 n^2-398 n-320=0 y n=10

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