¿Sabía que…

…existen métodos para resolver cualquier ecuación polinómica de grado 1, 2, 3 ó 4 pero que no existe ningún método para resolver las ecuaciones polinómicas de grado mayor o igual que 5 (ni podemos aspirar a encontrarlo)?

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

17 Comentarios

  1. ¿y porqué no podemos aspirar a encontrarlo? ¿hay demostración?

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  2. Sí, si no me equivoco la demostración (o al menos las claves para ella) se deben a Évariste Galois.

    En realidad que no exista un método para resolver ecuaciones de grado mayor o igual que 5 no significa que no podamos resolverlas aproximadamente. De hecho podemos obtener soluciones tan aproximadas como queramos… hasta el punto en que las diferencias prácticas sean nulas.

    Pero este “sabías que…” se refiere al caso general, pero si en un poliomio de 5 grado podemos identificar una solución, automáticamente el problema se reduce a la resolución de un polinomio de 4 grado… la cuestión es que esto no siempre es posible… pero hay métodos para identificar dichos polinomios (y esos métodos también fueron introducidos por Galois… una vez más, si no me equivoco)

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  3. Si, la hay, precisamente hoy mi profesora de AA (Álgebra Abstracta) nos ha explicado que no se puede encontrar una fórmula para las equaciones de 5º grado.

    Lo ha relacionado con teoría de Grupos, Anillos y Cuerpos y lo ha sazonado con un poco de Galois (¿Se escribe así?). En definitiva… Pareciá chungo.

    PD: no estoy seguro de que no se puedan resolver ecuaciones de mayor grado.

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  4. No, no podemos aspirar a encontrar un método. Y sí, hay demostración. Y como dice mimetist la cosa está relacionada con la teoría de Galois.

    Evidentemente si en un polinomio particular de grado 5 identificamos una solución el problema se reduce a resolver una ecuación polinómica de grado 4, que sí sabemos resolver. El post se refiere a ecuaciones polinómicas de grado mayor o igual que 5 en el caso general.

    Papá Oso no, no se puede tampoco con grado mayor que 5, en el caso general. Y no es tan chungo. Álgebra II, la asignatura donde yo vi teoría de Galois, fue una de las que más me gustó. Bueno, aunque eso es normal porque el álgebra es la rama que más me atrae de las Matemáticas.

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  5. Vaya Fernando, me haces dudar ahora. Yo juraría que el tema está relacionado con la teoría de grupos de Galois, pero ahora no estoy totalmente seguro.

    A ver si mañana tengo un rato y echo un ojo a los apuntes a ver si encuentro algo.

    Saludos

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  6. Ami mi profe me dijo que se no existe un metodo para encontrar una solucion de ese grado, lo que si se puede demostrar es que no podemos encontrar tal cosa.

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  7. Al teorema ese le llaman la irresolubilidad de la quintica o algo asi. La demostracion valida la realizo Abel aunque Galois lo conjeturo y lo “demostro”. Dicha “demostracion” fue una de las cosas que hizo la noche antes de su muerte y tiene que ver con grupos finitos o en cuerpos finitos, no me acuerdo. La “demostracion” fue dada por valida en su tiempo aunque despues se descubrio que no lo era cuando se investigo mas en esos temas del algebra. Hay que recordar que Galois era un precursor en dichos temas, de hecho los cuerpos finitos llevan su nombre (Galois Fields). De todas formas su demostracion no iba muy desencaminada y la remato el señor Abel.

    PD: Descubri ayer este blog y me encanta.

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  8. jejeje, por eso dije que o lo “demostró” o “dio las claves de la demostración”.

    Como dice Gustavo, lo hizo la noche antes de su muerte; Al amanecer se enfrentaba en duelo con uno de los mejores tiradores por el amor de una mujer de la que había sido amante (y a la que el tirador “profesional” estaba prometido).

    Si os digo la verdad creo que esa noche no llegó a demostrar nada con el rigor necesario. Sus escritos solían ser muy “impulsivos” y a menudo saltaba pasos fundamentales (o al menos necesarios); Lo que escribió la noche antes no era diferente, sino mucho peor: “Folios” llenos de fórmulas y razonamientos intercalados con frases como “no me queda tiempo”, “por una mujer” de forma caótica.

    Lo que desarrolló aquella noche fue revisado, ordeenado y completado por su hermano y un amigo matemático que posteriormente enviaron los textos revisados a algunos de los más grandes, entre ellos Gauss y Jacobi.

    Sin duda toda una historia la de este hombre.

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  9. Hola

    No puedo detenerme mucho a comentar ahora mismo; escribo más que nada para felicitaros por una bitácora así. Hacen falta más.

    Todo lo dicho por aquí es cierto, claro. Para primer y segundo grado están las fórmulas que se estudian en el colegio. Para tercero, las fórmulas de Cardano, y para el cuarto grado no recuerdo el nombre (o no sé si lo tienen). Para quinto o superior grado no hay ecuaciones analíticas (del tipo sustituir números en una expresión), pero están los demás métodos: reducción del grado, métodos numéricos diversos… Todo polinomio en el conjunto de los números complejos tiene tantas soluciones como su grado, otra cosa es lo que nos cueste averiguarlas.

    Un saludo.

    Juan

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  10. Para que quede claro… lo que todo esto significa es que, en general, en un polinomio de grado mayor o igual que 5 no se puede despejar la X.

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  11. Mimetist me recuerdas a cuando me leí “El teorema del loro” de Denis Gueld (o algo así, no sé el titulo original en francés), un libro bastante interesante que leí hace años (debe estar por casa) donde te resumía la vida de varios de los más grandes matemáticos de la historia.

    La historia de Abel es buena, pero a mi me encantó la de Tartaglia y Cardano.

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  12. jejeje, yo todo esto lo sé por haber leido “El Enigma de Fermat” xD

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  13. Laura veremos más cosas relacionadas con este tema más adelante con sus correspondientes explicaciones. Paciencia :)

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