“Edición 6.8: El número 26” del Carnaval de Matemáticas (23-29 de noviembre de 2015)

Por fin (disculpad la tardanza) tenemos aquí el anuncio de la edición 6.8 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión me encargaré de alojar. Esta edición estará dedicada al número 26, día del mes de noviembre que ocupa el lugar central de la semana en la que celebraremos esta edición del Carnaval.

(Imagen tomada de aquí.)

¿Qué tiene de interesante este número 26 como para que pueda merecer que se le dedique una edición de este evento? Bueno, aparte de ser un número par (múltiplo de 2), compuesto (no es primo), deficiente (la suma de sus divisores, excepto él mismo, es menor que 26), libre de cuadrados (ningún cuadrado, excepto 1, es divisor suyo), odioso (tiene un número impar de unos en su expansión decimal: 11010) y un número de Ulam (más información aquí), es el menor no capicúa con cuadrado capicúa (676), un cake number (más información aquí) y el número de grupos finitos simples esporádicos (más información aquí). Todos estos datos están sacados de Number Gossip.

Pero la característica que hace que el 26 sea realmente interesante es que es el único número natural que está situado entre un cuadrado y un cubo, ya que 25=5^2 y 27=3^3.

Supongo que os estaréis preguntando cómo se puede demostrar este hecho (porque, evidentemente, si la afirmación es tan rotunda se entiende que dicha demostración debe existir). Pues aquí tenéis una demostración de este resultado, que, por cierto, publiqué en Gaussianos hace un tiempo. En ella, encontraremos los únicos números enteros que cumplen que el cubo de uno de ellos y el cuadrado del otro están separados por dos unidades, x^3-y^2=2. A la vista de las soluciones que obtendremos, se verá que el 26 es el que queda entre ellos dos. Ahí va:


Las únicas soluciones enteras de la ecuación

y^2+2=x^3

son y=\pm 5, \; x=3.

Demostración:

Un simple vistazo a la ecuación nos dice que y no puede ser un número par. Si lo fuera tendríamos que x también sería par. La contradicción se encontraría en el hecho de que la parte derecha de la igualdad sería divisible entre 8, pero la parte izquierda no sería ni siquiera divisible entre 4. Por tanto y ha de ser un número impar.

Nos salimos ahora de \mathbb{Z} para adentrarnos en el anillo \mathbb{Z} \lbrack \sqrt{-2} \rbrack = \lbrace a+b \sqrt{-2} / a,b \in \mathbb{Z} \rbrace. Consideramos la ecuación anterior en este anillo su expresión puede darse factorizada de la siguiente manera:

(y+ \sqrt{-2})(y- \sqrt{-2})=x^3

Consideramos en este anillo la norma N: \; \mathbb{Z} \lbrack \sqrt{-2} \rbrack \rightarrow \mathbb{N} siguiente:

N(a+b \sqrt{-2})=(a+b \sqrt{-2})(a-b \sqrt{-2})=a^2+2b^2

Es sencillo comprobar que dicha norma es multiplicativa, esto es, que es positiva para todo elemento distinto de cero de \mathbb{Z} \lbrack \sqrt{-2} \rbrack, que es cero para el elemento cero y que la norma de un producto de dos elementos de \mathbb{Z} \lbrack \sqrt{-2} \rbrack es el producto de las normas de dicho elementos.

Supongamos ahora que x,y cumplen la ecuación inicial y tomemos los elementos y+ \sqrt{-2} y y-\sqrt{-2} de \mathbb{Z} \lbrack \sqrt{-2} \rbrack. Cualquier elemento c+d \sqrt{-2} que sea un divisor común de ellos dos debe dividir también a su suma, 2y, y a su diferencia, 2 \sqrt{-2}. Tomando normas en esta situación tendríamos lo siguiente:

c^2+2d^2 | 4y^2, \; c^2+2d^2 | 8

Por tanto c^2+2d^2 | 4. Los únicos pares de valores (c,d) que cumplen esto son los siguiente:

(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1),(2,0),(-2,0)

Con las dos primeras posibilidades obtenemos los elementos 1 y -1$ de \mathbb{Z} \lbrack \sqrt{-2} \rbrack, que son unidades de este anillo. En los demás casos obtenemos los elementos \sqrt{-2}, -\sqrt{-2},2 y -2, todos ellos con norma par (2 ó 4), por lo que no pueden dividir a y+\sqrt{-2}, cuya norma (y^2+2) es impar.

Con esto llegamos a lo siguiente: y+\sqrt{-2} y y-\sqrt{-2} son primos entre sí.

Ahora, teníamos la ecuación inicial factorizada de la siguiente forma:

(y+ \sqrt{-2})(y- \sqrt{-2})=x^3

Uniendo estos dos hechos tenemos que el producto de dos elementos de \mathbb{Z} \lbrack \sqrt{-2} \rbrack que son primos entre sí es igual a un cubo. Ello obliga a que cada uno de estos elementos sea él mismo un cubo. En particular:

y+\sqrt{-2}=(a+b\sqrt{-2})^3

Desarrollemos ahora la parte derecha de esta última igualdad:

\begin{matrix} y+\sqrt{-2}=(a+b\sqrt{-2})^3= \\ =a^3+3a^2b \sqrt{-2} +3 ab^2 (-2)+b^3 (\sqrt{-2})^3=a^3-6ab^2+(3a^2b-2b^3) \sqrt{-2} \end{matrix}

Igualando coeficientes de \sqrt{-2} de las expresiones inicial y final llegamos a la siguiente igualdad:

1=3a^2b-2b^3

Un sencillo análisis de los valores de a y b nos lleva a que los únicos valores posibles son b=1 y a= \pm 1 (recordemos que a y b son números enteros). Para (a,b)=(-1,1) obtenemos que y=-5 y de ahí que x=3. Y para (a,b)=(1,1) obtenemos y=5 y por tanto x=3, que es el resultado buscado.


Como decía más arriba, esta demostración la publiqué en este blog hace un tiempo. Parece ser que fue Pierre de Fermat quien demostró este resultado por primera vez. La demostración que os he presentado aquí aparece en el pdf Teoría de Números de Carlos Ivorra.


Bueno, vamos ya con la información propia del Carnaval. Como siempre, para participar en esta edición debéis escribir una entrada relacionada con las matemáticas y publicarla entre los días 23 y 29 de noviembre de 2015 (ambos inclusive). Podéis escribirla en vuestro blog, si tenéis, o en la propia web del Carnaval de Matemáticas, si no disponéis de otra plataforma para escribirla. Y, además, dicha entrada debe contener un texto del estilo al siguiente:

Esta entrada participa en la Edición 6.8 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Gaussianos.

Para que pueda añadirla al listado de entradas de la edición en curso, tendréis que avisarme de que habéis escrito dicha entrada. Podéis hacerlo de varias formas:

  • Dejando un comentario en este mismo post añadiendo un enlace a vuestra entrada.
  • Escribiendo una entrada en la web del Carnaval.
  • Dejando un tuit con vuestro enlace y el hashtag #CarnaMat68.
  • Enviándome un mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Cuando termine esta edición, publicaré un resumen con todas las entradas que hayáis publicado, y en ese momento todos los que estéis registrados en la web del Carnaval (hayáis participado en esta edición o no) tendréis la oportunidad de votar a los 3 artículos que más os hayan gustado con 4 puntos, 2 puntos y 1 punto respectivamente. La entrada que más puntos acumule será la que reciba el “Premio de la Edición 6.8 del Carnaval de Matemáticas”.

Para finalizar, os dejo enlaces a todas las ediciones del Carnaval de Matemáticas que se han celebrado hasta ahora:

Esperamos vuestras contribuciones. Muchas gracias por adelantado.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

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