El 6 es el único

Después de unos días sin publicar (semana complicada), volvemos hoy con el problema de la semana, que me envío al correo Carlos. Ahí va:

Demostrar que el número 6 es el único número natural que es a la vez un número perfecto (la suma de sus divisores propios da de resultado el mismo número) y producto perfecto (el producto de sus divisores propios también da de resultado ese número).

A por él.

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18 comentarios

  1. Oier | 18 de enero de 2011 | 09:37

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    Factorizando el número 6, salen los números 3, 2 y 1.
    Si se suman: 3+2+1=6
    Si se multiplican: 3*2*1=6

  2. josejuan | 18 de enero de 2011 | 09:46

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    A ver…

    Sea n un número con las características del enunciado.

    Sean los divisores propios los siguientes

    1, d_{1}, d_{2},,,, d_{m}

    como dado un divisor propio distinto de 1 éste divide a n, forzosamente dicha división debe dar como resultado un divisor propio, por tanto, podemos redefinir el conjunto como

    1,d_{1},\frac{n}{d_{1}},d_{2},\frac{n}{d_{2}},,,,

    como por definición el producto de ellos debe ser n, tenemos una restricción muy fuerte, a saber

    1d_{1}\frac{n}{d_{1}}d_{2}\frac{n}{d_{2}},,,,=n

    por lo tanto, los números n que cumplan tal propiedad deberán forzosamente tener únicamente 3 divisores propios incluyendo el 1.

    Así, dichos números con dos divisores propios (y el 1) deberán cumplir

    1+d_{1}+d_{2}=d_{1}d_{2}

    pero es evidente que sólo el 2 y 3 lo cumplen, porque es monótona decreciente (ej. despejando d_{1} y con asíntota en 1.

    (¿Será posible que haya resuelto un problema?) :O

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  5. gaussianos | 18 de enero de 2011 | 21:45

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    josejuan, tiene buena pinta tu solución. Dejo aquí la que encontró Carlos, que fue quien me sugirió el problema:

    6, número perfecto y producto perfecto

  6. roman | 19 de enero de 2011 | 02:30

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    sea n un entero que cumple.
    como es producto perfecto se tiene que n es de la forma p·q con p y q numeros primos. esto es claro porque si tuviese un 3er factor primo r (no necesariamente diferente a p y/o q) habria un 6to divisor (llamemoslo s) que cumple con rs=n entonces el producto de los divisores propios de n sería= 1·p·q·r·s= (p·q)·(r·s)=n^2 > n .

    eso llevo se me ocurre un sistema de desigualdades para concluir p=2 q=3 … podría ser suponiendo p,q>3 … :)

  7. lucagali | 19 de enero de 2011 | 13:29

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    josejuan, ¿qué pasa si n es un cuadrado? en ese caso hay un i tal que d_i = n/d_i y lo estás incluyendo dos veces en la lista

  8. josejuan | 19 de enero de 2011 | 14:48

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    Tienes razón @lucagali.

    Afortunadamente se resuelve fácil (creo, claro).

    Si m es par la cosa queda como antes.

    Si m es impar, entonces n es un cuadrado.

    Así, tenemos que contemplar un nuevo caso, a saber

    1,d_{1},\cdot \cdot \cdot ,d_{p},\cdot \cdot \cdot ,d_{m} con m impar

    debiéndose cumplir que

    1d_{1}\frac{n}{d_{1}}\cdot \cdot \cdot d_{p}\cdot \cdot \cdot d_{p-1}\frac{n}{d_{p-1}}=n

    el único que podría cumplirlo es

    d_{1}\frac{n}{d_{1}}d_{p}=n

    pero como es

    d_{1}\frac{n}{d_{1}}\sqrt{n}=n

    se hace evidente que no puede ser solución.

    Mecachis! yo que me había hecho la ilusión… :’(

  9. rolando | 19 de enero de 2011 | 19:57

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    el numero 6 es el numero que utilizan en los pronosticos del melate son 6numerosy el adicional la clave esta en que de los numeros del melate de la revancha y del total que se juega son tres cifras de millones de esas tres cifras si los sumas o multiplicas entresi de ahi provienen los numeros que resultan ganadores investigen uds. que saben mas de matematicas y veran que tengo toda la razon la situcion esque yo ya encontre como ganar le atine a tres asi como lo hice tienes que adelantarte cuatro sorteos y saber cuanto se va jugar en cada sorteo y hacer las multiplicaciones y de los numeros que salgan unos se van a repetir y otros no los pones en orden y siempre te van a dar estos numeros ejemplo 01 11 21 31 41 51 – 15 14 13 12 10 -05 15 25 35 45 55 haganlo y veran como digo la verdad pregunta curiosa como puede ser posible que entre 100 millones de mexnos no puedan atinarle a seis numeros increible verdad .

  10. ferran | 19 de enero de 2011 | 20:47

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    Ayer mandé un correo pero no entró.

    Sea E un número perfecto, entonces es de la forma E = (2^(n+1)-1)(2^n), (lo demostró Euclides), luego para n mayor que 1 no es libre de cuadrados y E siempre es menor que el producto de sus divisores.

    Por lo tanto solo queda el caso n=1 y efectivamente E es producto perfecto.

    Saludos

  11. josejuan | 19 de enero de 2011 | 22:25

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    ferran, esa fórmula sólo explota ciertos números perfectos, por lo que no sirve como demostración del problema planteado. Quizás, si se llegara a determinar que esos números perfectos (los de la forma que comentas) son los únicos, entonces, podría valer.

  12. luism | 20 de enero de 2011 | 14:05

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    Si x es un producto perfecto, $=pq$ con $p$ y $q$ primos.
    factores de x: 1, p y q.
    $1+p+q=pq$
    por tanto
    $1+p=q(p-1)$
    $q=\frac{1+p}{p-1}$
    Como q tiene que ser entero, las únicas soluciones son
    $p=2 \Rightarrow q=3$
    y
    $p=3 \Rightarrow q=2$
    Por tanto $x=6$

  13. ferran | 20 de enero de 2011 | 22:08

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    Josejuan tienes razón, sin embargo creo resulta fácil demostrarlo sabiendo que Euler demostró que todo número perfecto par es de la forma de Euclides, por lo tanto de los pares el 6 el único y que Sylvester demostró que si un número perfecto es impar entonces debe tener tres o más factores primos distintos con lo cual estos nunca pueden ser un producto perfecto, ya que el producto de sus divisores propios siempre es mayor que ellos mismos. Así es que debo concluir que el seis es el único. (Te remito al entretenido libro de Duham)

    un saludo

  14. josejuan | 21 de enero de 2011 | 11:59

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    ferran, el problema que dices creo resulta fácil demostrarlo es un problema actualmente abierto en matemáticas (Wiki, Wolfram), esto significa que:

    1. dicho problema a acaparado la atención de un buen número de matemáticos.
    2. el problema no ha sido resuelto (completamente).
    3. la solución se ha escurrido a la habilidad de buenos matemáticos.

    si crees tener un buen resultado, creo que sería fantástico compartirlo ¿no?.

  15. ferran | 21 de enero de 2011 | 22:49

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    No no, digo que es fácil demostrar que 6 es el único sabiendo todo eso…Euclides encontró dicha fórmula y entonces era suficiente aplicarla para encontrar un numero perfecto PAR. Luego, según explica Dunham, Euler demostró que esa fórmula era necesaria y suficiente, es decir, que todos los numeros perfectos PARES son de esa forma (de ahí la importancia de los primos de Mersenne: si existen infinitos de estos, existen infinitos numeros perfectos pares, problema abierto).

    Lo que también es un problema abierto hoy en dia y entiendo que es esto lo que tu quieres decir, es el relativo a la existencia de numeros perfectos IMPARES: nadie ha encontrado ni uno. Se sabe que en el caso de que existan deben tener un mínimo de factores principales distintos (3, 6 u 8 segun el autor que leas).

    En cualquier caso la existencia o no existencia de numeros perfectos impares no nos impide demostrar el problema de la semana puesto que si existen no pueden ser un producto perfecto, como creo que he hecho en el anterior mensaje.

    Ahora bien, si lo que estamos discutiendo es que en dicha fórmula no están todos los que son perfectos pares, entonces te ruego encarecidamente que leas la demostración de Euler. Ya me dirás.

    En fin, si lo que quieres decir es que no he demostrado en absoluto el problema de la semana, sólo puedo decir:
    Sea E un número perfecto par, entonces es de la forma tal y tal.. luego solo el primero de ellos es producto perfecto.
    Supongamos que E es un numero perfecto impar, entonces …bla bla bla, no puede ser un producto perfecto. Luego el 6 es el único.

    Por último decir que ya me gustaria a mi descubrir algo realmente nuevo,

    Un saludo

  16. josejuan | 22 de enero de 2011 | 01:30

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    “…y entiendo que es esto lo que tu quieres decir…”

    Efectivamente ferran.

    Por otro lado, fascinante la forma en la que hilas teoremas (debes tener muy buena memoria).

  17. aficionado | 25 de enero de 2011 | 22:50

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    Sea d(n) la cantidad de todos los divisores del número natural n -incluyendo a n-. Entonces el producto p(n) de todos esos divisores será:

    p(n) = n^(d(n)/2) -cómo se puede ver en Wolfram, en el artículo sobre divisores-.

    Si n es un número producto perfecto, entonces se cumple que:

    n^2 = p(n) = n^(d(n)/2), y por lo tanto

    d(n) = 4 =(a+1)(b+1)(c+1)… -donde a, b, c… son los exponentes de los primos en la descomposición factorial de n-, por lo que podemos tener a=3, y todas los demás exponentes igual a 0, o bien a=1, b=1.

    Ahora bien, para que esto ocurra, o bien n es el cubo de un número primo p, o bien es el producto de dos primos distintos, a los que llamaremos q y r.

    En el primer caso, (para que n fuese nro. perfecto y producto perfecto) se tendría que n = p^3 = p^2+p+1, que no tiene soluciones en enteros.

    En el segundo caso, tendríamos que q*r = q + r + 1. Despejando q, tenemos que
    q = (r+1)/(r-1), y sustituyendo r-1 = a, tenenemos que q = 1 + 2/a, por lo que q = 2 (con lo que r=3) o q = 3 (con lo que r=2) -que en definitiva dan el mismo número, 6-.

    Por lo tanto n = 2*3 = 6, y resulta que este es el único número que es nro. perfecto y producto perfecto.

  18. Adiel | 17 de febrero de 2011 | 06:32

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    Ahi va mi solucion es poco elegante pero se me hace clara
    Primero calcularemos el producto de todos los divisores de n

    \prod_{d_i \vert n} d_i =\prod_{d_i \vert n} \frac{n}{d_i}

    Con algunos despejes obtenemos que

    (\prod_{d_i \vert n} d_i)^2 =\prod_{d_i \vert n} n=n^{\tau(n)}

    \prod_{d_i \vert n} d_i=n^{\frac{\tau(n)}{2}}

    Dado que tomamos en cuenta al mismo n una vez dividimos entre n la expresion y esta tiene que ser igual a n por la condicion de que el producto de todos los divisores propios es n es decir

    n^{\frac{\tau(n)-2}{2}}=n

    Esto implica que \tau(n)=4

    y solo hay 2 posibles casos n=p^3 o n=p*q siendo p y q distintos y mayores que 1.
    El caso 1 nos lleva a una contradiccion ya que 1,p,p^2, son divisores propios y su producto seria p^3 que tendria que ser igual a p^2+p+1 la suma de sus divisores propios pero este polinomio tiene 2 raices complejas y una real en 1.8939…… y mas pero ninguna es un numero primo entero

    El caso 2 nos lleva a esta ec p*q=p+q+1 supongamos que ambos son impares es decir p=2k+1 y q=2r+1 sustituyendo en la ec llegamos a que 4r*k+2(r+k)+1=2(r+k)+3
    llegando a que 4r*k=2 es decir que existen enteros n y k tales que 4 divide a 2 contradiccion ya que 4 no divide a 2 entonces al menos uno debe de ser par

    Suponemos p=2 implicando que 2q=2+q+1
    lo cual nos lleva al resultado deseado p=2 y q=3

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