El baricentro inmóvil de Pappus

Este artículo es una colaboración de fede enviada por mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Aprovecho unas prácticas con GeoGebra para exponer la proposición 2 del libro VIII de la Colección Matemática de Pappus de Alejandría.

El matemático Michel Chasles formuló esa proposición de la siguiente forma (Aperçu historique, pag 44):

Si tres móviles situados en los vértices de un triángulo parten al mismo tiempo en el mismo sentido recorriendo los lados del triángulo con velocidades proporcionales a la longitud de esos lados, su centro de gravedad permanecerá inmóvil.

En la formulación de Pappus el enunciado quedaría así:

Si tenemos tres puntos $A_1, B_1, C_1$ en los lados de $\triangle ABC$ , como en la figura, de forma que

$\dfrac{A_1B}{A_1C} = \dfrac{B_1C}{B_1A} = \dfrac {C_1A}{C_1B}$

entonces

El baricentro de $\triangle A_1B_1C_1$ es el mismo que el de $\triangle ABC$ .

Los puntos medios de los lados de $\triangle A_1B_1C_1$ , están siempre en los lados de $\triangle A^\prime B^\prime C^\prime$ , cuyos vértices son los puntos medios de los lados de $\triangle ABC$ .

Lo siento, el applet de GeoGebra no ha podido cargarse. Asegúrate de que tienes instalado Java 1.4.2 o superior y de que está activado en tu navegador.

La proposición también se cumple en el caso de que los tres puntos $A_1, B_1, C_1$ estén en las prolongaciones de los lados de $\triangle ABC$ .

Si está activado Java en vuestro navegador, en el applet de GeoGebra de la derecha podéis mover, arrastrando con el ratón, los vértices y los lados de $\triangle ABC$ , además del botón del deslizador.

El interés histórico de la demostración de Pappus está en que es la única que tenemos de la antigüedad que utiliza el hoy conocido como teorema de Menelao para obtener un resultado de geometría plana (Menelao y Ptolomeo lo usan para demostrar una proposición de trigonometría esférica).

La idea de la demostración de Pappus es la siguiente:
Si $B_1^\prime$ es el punto de intersección de $C^\prime A^\prime$ y $C_1A_1$ , aplicando el teorema de Menelao a $\triangle C_1A_1B$ cortado por la transversal $A^\prime B_1^\prime C^\prime$ , tenemos $\dfrac {B_1^\prime C_1}{B_1^\prime A_1} = \dfrac {C^\prime C_1}{C^\prime B} \cdot \dfrac{A^\prime B}{A^\prime A_1}$ , y como $\dfrac{A^\prime B}{A^\prime A_1} = \dfrac{C^\prime A}{C^\prime C_1} = \dfrac{C^\prime B}{C^\prime C_1}$ , resulta que $\dfrac {B_1^\prime C_1}{B_1^\prime A_1} = 1$ y, por tanto, $B_1^\prime$ es el punto medio de $A_1C_1$ .

Por otro lado aplicando el teorema de Menelao a $\triangle C^\prime A^\prime B$ cortado por la transversal $A_1B_1^\prime C_1$ , tenemos $\dfrac {B_1^\prime C^\prime }{B_1^\prime A^\prime } = \dfrac {C_1C^\prime }{C_1B} \cdot \dfrac{A_1B}{A_1A^\prime }$ y, como $\dfrac {C_1C^\prime }{C_1B} = \dfrac {A_1A^\prime }{A_1C}$ , resulta que $\dfrac {B_1^\prime C^\prime }{B_1^\prime A^\prime } = \dfrac {A_1B}{A_1C} = \dfrac {B_1C}{B_1A}$ .

De donde obtenemos que si $G$ es el punto de intersección de $AA^\prime$ y $CC^\prime$ , baricentro de $\triangle ABC$ , como $AC$ y $A^\prime C^\prime$ son paralelas, $B_1$ , $G$ y $B_1^\prime$ están alineados y como $AG = 2\cdot GA^\prime$ , también $B_1G = 2 \cdot GB_1^\prime$ .
Entonces $G$ es también el baricentro de $\triangle A_1B_1C_1$ .

Sin comentarios

Trackback | 3 Aug, 2009

Bitacoras.com
El amigo | 3 de August de 2009 | 09:22

Marca un error al abrir el archivo
fede | 3 de August de 2009 | 12:12

Diamond, parece que hay una dirección que no está correcta, te envié un mail.
fede | 3 de August de 2009 | 12:18

La inmovilidad del centro de gravedad de los puntos se cumple también cuando se mueven en general n puntos sobre los lados de un polígono de n lados, plano o alabeado.
Hay una demostración fácil usando vectores. ¿Alguien se anima?
^DiAmOnD^ | 3 de August de 2009 | 17:27

Siento el retraso. Creo que ya está arreglado. Si encontráis algún otro fallo dejadlo en un comentario y en cuanto pueda lo corrijo.
M | 4 de August de 2009 | 21:45

Excelente trabajo, fede. A lo rápido, para la cuestión que propones y con la pista que das, si $A_i$ son los vértices del polígono, y $B_i$ los puntos interiores a cada lado elegidos de modo que

$\overrightarrow{A_1B_1}=\kappa \cdot \overrightarrow{B_1A_2}$
$\vdots$
$\overrightarrow{A_nB_n}=\kappa \cdot \overrightarrow{B_nA_1}$

se tiene usando un origen de coordenadas $O$ que

$\overrightarrow{OB_1}-\overrightarrow{OA_1}=\kappa(\overrightarrow{OA_2}-\overrightarrow{OB_1})$
$\vdots$
$\overrightarrow{OB_n}-\overrightarrow{OA_n}=\kappa(\overrightarrow{OA_1}-\overrightarrow{OB_n})$ .

Sumando y agrupando (y simplificando $1+\kappa$ ), llegamos a que

$\displaystyle{\sum_{i=1}^n \overrightarrow{OB_i}}=\displaystyle{\sum_{i=1}^n \overrightarrow{OA_i}}$ ,
y dividiendo por $n$ vemos que los baricentros coinciden. Con lo cual si $n=3$ …
fede | 4 de August de 2009 | 22:37

Exacto, M, esa era la idea O también: Si en un sistema de n puntos de igual masa, n-1 puntos permanecen inmóviles y se mueve el otro punto, el centro de gravedad del sistema completo de los n puntos se desplaza paralelamente al punto que se mueve y una distancia igual a 1/n del desplazamiento del punto. Y los vectores que forman los lados del poligono (con el sentido que les dan los movimientos de los puntos) suman cero.
Trackback | 5 Aug, 2009

Impresionado | Gaussianos
Omar-P | 5 de August de 2009 | 14:07

¿Sabía que…
Existe una enciclopedia electrónica dedicada exclusivamente a los centros de triángulos?
Se trata de la ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS – ETC, del profesor Clark Kimberling.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
Cada entrada de la Enciclopedia contiene el código del centro, su nombre, sus coordenadas y sus relaciones con los demás centros.
Veamos algunos de ellos:
X(1) = INCENTER
X(2) = CENTROID
X(3) = CIRCUMCENTER
X(4) = ORTHOCENTER
…
X(3575) = EULER LINE INTERCEPT OF THE LINE X(64)X(66)
Es sorprendente, pues a la fecha ¡Contiene los datos de 3575 centros distintos!
Saludos.
Ecos | 13 de August de 2009 | 05:38

Se podría mostrar una versión reducida del articulo sin el applet de java en la pagina principal? Sería mucho mas cómodo y seguro para la gente q visita el foro. Gracias!