El burro y la alfalfa

El problema de la semana lo envía Miguel a gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Ahí va:

Dos amigos tienen un terreno circular de alfalfa y uno de ellos tiene un burro encadenado a un punto fijo del perímetro (circunferencia). ¿Cuál deberá ser el radio de la cuerda para que el burro sólo tenga acceso a la mitad de la alfalfa?

A ver qué tal se os da.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

121 Comentarios

  1. El burro está atado con una cuerda o con una cadena? :-}

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  2. El burro no está en el centro, está en la cuerda de la circunferencia, por lo que me temo que no es lo que se buscaba.

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  3. bibliotranstornado, esa respuesta no me parece correcta, el enunciado dice que el burro esta atado a un punto fijo del perímetro (que representa el borde del campo) y no al centro como tu tal vez lo entendiste

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  4. mmmm la longitud de la cuerda del burro debe ser mayor a la del radio de la circunferencia…

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  5. ¡Alerta de solución!:

    EDITADO por ^DiAmOnD^

    Jorge, antes de publicar un enlace con una solución mejor dejar que la gente intente resolverlo por su cuenta. ¿No te parece? 🙂

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  6. Bueno, da igual lo que mida el campo (cual sea el radio) podemos suponer éste R=1 sin pérdida de generalidad.

    Así, podemos sacar la superfície que puede alcanzar si la cuerda mide r que es

    A(r)=(\pi -2\arcsin \frac{r}{2})r^{2}+2\arcsin \frac{r}{2}-r\sqrt{1-\frac{r^{2}}{4}}

    como no parece sencillo despejar r, lo mejor es usar un método numérico que nos vendría a dar que r=0.65 o así.

    Bueno, no es la mejor, pero sí la más rápida 😉

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  7. Por simetría del problema si un círculo come la mitad del área deja la mitad sin comer lo mismo le sucede al círculo que es comido de tal manera que R=r si realizar ningún cálculo

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  8. Uhm… no se porqué otra vez tenía mal el cálculo, usando sólo geometría, la relación directamente sale como
    A(r)=2\arcsin \frac{r}{2}+r^{2}\arccos \frac{r}{2}-r\sqrt{1-\frac{r^{2}}{4}}
    que no es más que la suma de los dos sectores menos la del rombo que tienen en común.
    El resultado de despejar “r” (numéricamente eso sí) me da
    1.1587

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  9. Josejuan, se supone que r es la longitud de la cuerda.
    pero, ¿el radio del terreno circular no debería influir en el resultado?

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  10. “Jones”, imaginate que estás sobrevolando en globo a muchos metros de altura el campo en el que está pastando el burro, ¿qué radio creerías que tiene el campo?, ¿y la cuerda?.

    ¡Da igual!

    Sólo tienes que realizar un cambio de escala para que el campo (y la cuerda) tenga el tamaño (longitud) que quieras.

    Por eso, basta que lo resuelvas fijando R=1, de esta forma, si decimos que r=1.1587, entonces, para un campo de R=2 será r=2.3174.

    Así es más fácil (no mucho más, pero sí más fácil).

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  11. Centro la circumferencia (asumo de radio uno) en el punto (1,0), supongo el burro atado al origen y resuelvo para el ángulo \phi entre la cuerda del burro estando completamente tensada y tocando la semicircumferencia superior. (Así luego se obtiene la longitud de la cuerda en función del radio del campo de alfalfa pues al ángulo le dan igual las magnitudes)
    (qué complicadas son las palabras y qué fáciles los dibujos!). Quiero integrar la zona en cuestión (dentro de la circumferencia de radio uno centrada en el (1,0); el campo de alfalfa, y dentro de la circumferencia centrada en el (1,0) y de radio 2 \cos (\phi), el alcance del burro) en polares y ver que es igual a \frac{\pi}{2}. Integrando solo la mitad superior e igualando a \frac{\pi}{4} obtengo:
    A = \int_{0}^{\phi} \int_{0}^{2\cos(\phi)} r \, \, dr d\theta + \int_{\phi}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2\cos(\theta)} r \, \, dr d\theta  = \frac{\pi}{4} \Longleftrightarrow
    \Longleftrightarrow  2 \phi \cos^2(\phi) + \frac{\pi}{4} - \phi - \frac{1}{2}\sin(2\phi)=0
    que coincide con la estimación numérica de josejuan, pues para radio unidad la longitud 1.1587 equivale a un ángulo (en radianes) de aproximadamente 0.95287 . No he sabido despejar el valor exacto. Seguiré pensando.

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  12. Sea A : El Area del circulo(Alfalfa), R : El radio del circulo(de alfalfa).

    Sea A' : El area del circulo que barre la cuerda del burro(totalmente extendida), Sea r : El radio de esa cuerda(la cuerda o cadena, nose, que amarra al burro).

    Tenemos las siguientes relaciones:

    A=\pi*R^{2}

    A'=\pi*r^{2}

    Bien(Se Facilitaria mas la comprension de lo que sigue si hubiera la herramienta de dibujo rapido).

    El origen del radio de la cuerda esta ligada a un punto del perimetro(un punto por el que pase una tangente exterior), asi el ”conjunto” A’ queda dividido en 2. Una parte de esa division es comun al area de del terreno circular, esa area llamemosle \sigma y la otra exterior al terreno \nu. Ahora Bien, tenemos:
    A'= \sigma + \nu (o,{A'}={\sigma}U{\nu})
    Analizando la interseccion de A' y A, se ve numericamente que el area de la misma vale:

    \sigma = \pi\langle r^{2}-R^{2}\rangle

    y

    \nu = \pi\langle r^{2}-\frac{R^{2}}{2}\rangle

    Con lo que vemos que para que parte de esa area \sigma sea la mitad del terreno de alfalfa, obtenemos que el radio de la cuerda(o cadena) debe ser:

    \sigma = \frac{A}{2} = \pi\frac{R^{2}}{2}

    se cumple si

    r = \frac{\sqrt[2]{3}}{2}R (Radio de La cuerda)

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  13. creo que ese es el radio de la cuerda para que el burro tenga acceso a la mitad del terreno circular de alfalfa y otra fuera de ese.

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  14. Bueno, la ecuación que obtengo el la misma que la de Dani y josejuan, la cual resolví usando el Excel. El problema lo conozco desde hace 43 años, pero nunca he visto una solución que no involucre ecuaciones trascendentes implícitas para resolverlo.

    ¿Habrá alguna forma distinta?, digamos al estilo de las Olimpiadas.

    Saludos

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  15. Ty, no entiendo muy bien a lo que te refieres con \sigma y \nu , pero hay una manera de verificar que tu respuesta no puede ser correcta, ya que para R=1 te da que la longitud de la cuerda es \frac{\sqrt{3}}{2} < 1, con lo cual el burro nunca cruzaría al semicírculo opuesto y desde luego no podría llegar a la mitad de la alfalfa.

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  16. Hmm…a ver si reviso algo, pero quisiera que me alguien me dijiese que razonamiento realizo mal, para asi mejorar 🙂

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  17. No, ya esta…he verificado todo y esta bien…solo que he hecho un despeje mal….asi es:

    r = \sqrt[2]{\frac{3}{2}}R (Radio de la Cuerda)

    Asi por ejemplo, si R=1 , entonces r>1 y r = 1.224… y entonces…. el area que puede barrer el burro es \sigma = \pi (1.488 - 1) = 1.570796327 .

    Ahora caqlculemos el area de la mitad del terreno circular(con R=1), seria :
    A = (3.141592)(1)/2 = 1.570796327
    y ya esta!. Resulta ser que el burro puede pastear exactamente la mitad del area del terreno circular de alfalfa

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  18. Ty, con esa relacion de radios no me da que el area sea 1.57 me da 1.717 al ser reemplazada en la ecuacion de JoseJuan.

    PS mi resultado es igual al que presenta Dani y JoseJuan

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  19. Ty, según dices, la suma de las áreas \sigma y v tiene que ser igual a \pi r^2, pero si sumamos las dos expresiones que valen dichas áreas, el resultado es 2\pi r^2-\frac{3}{2}\pi R^2 con lo que algo no cuadra o no lo entiendo.

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  20. Patrana, A' = \sigma + \nu o lo que es lo mismo

    A'=\pi r^{2}  ,  \pi r^{2} = \sigma + \nu

    A' = \pi\langle r^{2}-\frac{R^{2}}{2}\rangle + \sigma

    si , \sigma=\pi\langle r^{2}-R^{2}\rangle pero recuerda que esta es la area comun entre los circulos de radios R y r, y esta area es la que necesito que valga exactamente la mitad del area de la alfalfa, esto es:

    \sigma = \pi\langle r^{2}-R^{2}\rangle = \pi\frac{R^{2}}{2} (de donde se deduce la expresion del radio dado anteriormente), asi pues reemplazando esta otra
    expresion de \sigma , se debe verificar que el area de Aa = (pi)*r^2

    A' = \sigma + \nu = \pi\langle r^{2}-\frac{R^{2}}{2}\rangle + \pi\frac{R^{2}}{2} =  \pi r^{2} Qed.

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  21. Esteban, si R=1, estamos de acuerdo que el area del terreno circular de la alfalfa debe ser A=\pi y la mitad = \frac{\pi}{2}=1.570796327

    Luego el area \sigma debe dar este valor(estamos considerando R=1), veamoslo:

    r=\sqrt[2]{\frac{3}{2}}*1=1.224744871

    \sigma=\pi\langle r^{2}-R^{2}\rangle = \pi\langle (1.224744871)^{2}-1^{2}\rangle=1.570796327
    que es el area de la mitad del terreno circular que habiamos calculado mas atras. Y asi esta demostrado que concuerdan los resultados.

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  22. Bien. La solución es buscar una cuerda (o cadena) lo bastante larga como para alcanzar todo el campo (círcunferencia). Luego, y aquí lo importante, antes de atar al pobre burro, colocar una valla que divida justamente por la mitad el campo.

    Ahora bien, ¿cuán grande es el campo? Si el campo es muy grande no creo que el burro pueda con tanta alfalfa.

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  23. Supongamos que el burro está atado en el extremo inferior del círculo. Puesto que pide la mitad del área y hay simetría respecto a la línea vertical que cruza ambos centros, con radio de cuerda r y radio de circunferencia R,

    ¿No sería más sencillo buscar la solución a esta ecuación, ciñiéndose a la restricción de la mitad del área?
    \int_0^R \sqrt{r^2 - x^2} - R = 0

    Lo que si no me equivoco, equivale a despejar r en esta ecuación:
    R \left(-2 R+\sqrt{r^2-R^2}\right)+r^2 \text{atan}\left(\frac{R}{\sqrt{r^2-R^2}}\right) = 0

    Basta con observar un poco para darse cuenta de que la mitad del área se obtendrá con R < r < \sqrt{2} R. Por tanto, definiendo una recta perpendicular al eje vertical anterior que pase por el centro de la circunferencia grande, para cubrir la mitad del área de ésta bastará con buscar qué radio de cuerda r tiene el mismo área por encima que por debajo de esta recta vertical en cualquiera de los dos lados del eje horizontal.

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  24. Ty una pequeña pregunta

    estas considerando solo el area que barre el burro desde un punto en el perimetro, es decir, la seccion circular de radio “r” o tambien estas teniendo en cuenta las dos secciones circulares que se forman y el burro las barre cuando la cuerda no esta totalmente tensionada??

    Sin dibujo es complicado mostrar el punto de vista

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  25. Podriais, por favor explicarme por que en la explicacion de Ty, \sigma=\pi(r^2-R^2) es lo único que no entiendo.

    Muchas gracias.

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  26. Ramnic, Ty ha “resuelto” el problema considerando que el punto al que está atado el burro puede moverse libremente por todo el perímetro del campo, de modo que el área al alcance del burro es una corona circular.

    El enunciado, sin embargo, deja bien claro que se trata de un punto fijo, lo cual es muchísimo más complicado.

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  27. Bueno, coincido que sin dibujo es algo dificil darme a entender, se me facilito por que pense en los terrenos como si fueran conjuntos, cuyos elementos estan ”punto a punto”, despues lleve ello al plano y aplique geometria.

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  28. Ty, sive tiene razón, no es cuestión de dibujar. Creo que te has planteado mal el problema. La zona delimitada se construye de esta manera:

    a) traza un círculo de radio R
    b) elige un punto de su circumferencia y traza un círculo de radio r

    ahora la cuestión es elegir r relativo a R de manera tal que el area común a los dos círculos sea la mitad del area total de R (es decir, \pi R ^2 ) Como bien dijo Gatito es inmediato de la construcción la estimación R  < r < R \sqrt{2}

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  29. Dani, asi lo he resuelto, el area delimitada, lo que he llamado la ”interseccion” resulta ser justamente la mitad del terreno circular de alfalfa, echale un ojo al ejemplo numerico que he colocado mas atras.

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  30. Ty, si estas pensando en el dibujo que he descrito no es posible que afirmes que si llamamos (por seguir tu notación) \sigma a la intersección de los círculos (o area del círculo de alfalfa a la que llega el burro) sea, en tus propias palabras:

    “Analizando la interseccion de A’ y A, se ve numericamente que el area de la misma vale:
    \sigma = \pi (r^2-R^2 )

    por qué no lo pintas (o nos lo pintas) con las herramientas que ha dejado josejuan y nos indiques como exactamente se ve esa igualdad (¿numéricamente?). En el ejemplo numérico que pones se comprueba (que no demuestra) que tu solución es correcta PARTIENDO DE LA BASE DE QUE \sigma = \pi (r^2-R^2 ) . Por lo tanto es eso es lo que hay que justificar.

    Sin embargo creo que es fácil ver que eso no puede ser cierto. Argumentemos por contradicción. Intentaré ser lo más claro posible. Empiezo escribiendo el enunciado de manera formal.

    Supongamos que tenemos dos círculos en el plano:
    \mathcal{C}_1 , de radio R (centrado en el origen si se quiere, da igual), y
    \mathcal{C}_2 , de radio r y centrado en un punto FIJO de la circumferencia de \mathcal{C}_1

    Sea \sigma el area encerrada por \mathcal{C}_1 y \mathcal{C}_2 , esto es:
    \sigma = area\big(\{ interior de \mathcal{C}_1 \} \cap \{ interior de \, \, \mathcal{C}_2 \}\big)

    Así pues la pregunta es:
    ¿Para qué valor de r se cumple \sigma = \frac{ \pi R^2 }{2} ?

    Ahora supongamos que tenemos la relación
    \sigma = \pi ( r^2 - R^2 )

    En particular para r = R se tiene \sigma = 0 , por lo que tendríamos que el area entre dos círculos del mismo radio, uno centrado en la circumferencia del otro es CERO.

    Si con este absurdo no he conseguido convencerte ya si que tiro la toalla…

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  31. Entiendo lo que dice Dani, pero relacion que ha dado Ty es valida, e imagino que asi lo penso, con el fundamento que se dio mas arriba, es decir el dedujo la relacion basandose en que r nunca debera ser igual R, recuerda la desigualdad dada por gatito: R<r<R \sqrt[]{2} con lo que nunca sera R=r, hay cierta restriccion para el problema. Lo que dices es correcto pero hay que tener en cuenta que la relacion de radios se dedujo apartir de que cumpliera la desigualdad.

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  32. A mí me sale el mismo valor que ha obtenido josejuan de 1’1587 veces el radio del campo del alfalfa, por un camino totalmente diferente (pero igual de ‘feo’), así que salvo una increible coincidencia de errores, debe ser el valor correcto.

    A ver si alguien encuentra una forma más elegante de resolver esto.

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  33. Creo que si la solucion del Ty fuera correcta, seria la mas accesible(y quiza elgante) al publico, pues usa geometria euclidiana

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  34. Y para el valor de \sqrt{\frac{3}{2}} me sale un área de alfalfa al alcance del burro de 1.71747, demasiado lejano del valor buscado.

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  35. HSD4, no es que el problema esté restringido, es que simplemente la relación no es cierta. Para otro ejemplo pon r=2R (que evidentemente daría \sigma = 1 independientemente del valor de R ) y se vuelve a ver que no es compatible con la fórmula \sigma = \pi (r^2- R^2).

    Por otra parte, sive, a mi me coincide también la respuesta, pues obtengo que el ángulo aquí dibujado:
    http://www.dabbleboard.com/public?myid=0&created=Guest243874
    me da \Delta = 0.95287 . Como se sigue por trigonometría elemental que r = 2 \cos (\Delta) despejando obtengo r= 1.1587 \ldots

    efectivamente es sospechoso que hayamos llegado al mismo punto por caminos tan dispares, pero creo que ninguno tenemos una respuesta elegante (ni exacta). :S…

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  36. Por que para R=1, ese no es el valor que le da al Ty, el valor que le da es 1.5707…que es precisamente la mitad del area de un terreno circular de radio R=1.
    Creo que lo que sucede es que no hay comprension con las relaciones que ha sugerido el Ty.(es decir, se reemplazan datos donde no se debe, y creo que si, el pudo haber utilizado una notacion mas sencilla(aunque no tiene mucho que influir) para que los demas pudieramos comprender un poco mas).
    En fin, magnifica controversia.

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  37. abcedario, 1.71747 es el área que obtengo cuando el radio del campo de alfalfa es 1, y la longitud de la cuerda a la que esta atado el burro es \sqrt{\frac{3}{2}}.

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  38. hmm, pero yo no obtengo eso, obtengo 1.5707….etc, que es precisamente pi partido por dos.(Mitad de area de terreno circular de alfalfa de radio R=1)

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  39. Dani, yo he sido el más chapuzas de los tres. Aunque me convenció el razonamiento de josejuan, lo hice para confirmar nada más.

    Primero enseñé al ordenador a integrar el área buscada a lo bestia, dividiendo la zona en rectángulos, y después apliqué una búsqueda binaria.

    No tiene absolutamente nada que ver con lo que habéis hecho vosotros, y sin embargo el resultado es el mismo. Así que en mi cabeza no cabe la posibilidad de que el valor buscado no sea aproximadamente ese.

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  40. buff :s , Ya no entiendo nada. la mitad del area de un circulo de radio 1 es 1.57 al ty le da eso, verifican otras formas y les da 1.71…luego 1.15, por ahi ”disque” 1.31.. etc. Lo que creo es que no hay un buen feedback, no hay retro, en serio, no se estan entendiendo unos a otros. pero si la relacion del radi r y R esta mal, por que obtiene el resultado que es?(el de la mitad de un circulo(alfalfa) radio de R=1).

    De verdad, ahora si dejan por fuera a los que no sabemos muy bien lo realizado a traves del post. por que nos dejan algo confusos.

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  41. Pues yo estoy de acuerdo con sive, que además de gran aficionado a las matemáticas, es guapo y bien dotado (intelectualmente).

    (Perdonen la broma, no he podido contenerme xD).

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  42. Dios, realmente soy completamente incapaz de expresarme.

    HSD4, abecedario, mirad esta “solución” al problema:

    El area al que puede llegar el burro para radio del círculo de alfala igual a R y cuerda del burro r está dada por

    A= 34 R \pi - 11re^2

    luego para hacer A = \frac{\pi R^2}{2} necesitamos un radio r = \frac{1}{11e^2} \big( 34 R \pi - \frac{\pi R^2}{2} \big )

    Comprobémoslo numéricamente: para R=1 me da que
    r= \frac{1}{11e^2}\big(34 \pi - \frac{\pi}{2} \big) , aproximadamente r= 1.29483 \ldots
    ¡ESTA DENTRO DE LA ESTIMACIÓN!

    pero no quiere decir nada por que el area NO ESTÁ BIEN CÁLCULADA. No tiene sentido considerar cualquier resultado obtenido a partir del punto en el que escribes una igualdad que no es cierta. EXACTAMENTE LO MISMO PASA con
    \sigma = \pi(r^2-R^2)
    NO se obtiene el resultado que es. La “verificación” de Ty para el radio calculado USA SU MISMA SOLUCIÓN EN LA COMPROBACIÓN. Si se obtiene, también se obtiene con la “solución” que acabo de escribir aquí arriba- En efecto para el radio que he escrito vemos que:
    A = 34 \pi - 11 \cdot (1.29483 ) \cdot e^2 = 1.5707963 \ldots
    ¡caramba, justo la respuesta correcta! ¡ increible !
    NO! porque he usado mi misma fórmula en la comprobación…

    no sé qué más maneras puede haber de explicarlo…

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  43. He calculado la longitud de la cuerda con más precisión (no demasiada, integrar de esta manera es bastante costoso en tiempo de procesador), y si encima tengo que hacer una búsqueda binaria, mucho peor. Me sale 1.1587284.

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  44. Miguel, Diamond o jorge, no creeis que ya es tiempo de dar el enlace de deductivo(con procedimiento) de la solucion?

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  45. Coincido en que sencillamente \sigma no es igual a \pi(r^2-R^2). De hecho, \pi(r^2-R^2) es el área de la corona que quedaría fuera del campo de alfalfa si atáramos al burro en el centro del campo, cosa que no tiene nada que ver con \sigma en este problema.
    Por otro lado, la solución que obtengo es la misma que la de josejuan y Dani, aunque yo lo hago sin hacer integrales, sino a partir de sectores circulares, llegando a una ecuación parecida a la de Dani.
    Un saludo.

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  46. Pastrana, nos puedes explicar como lo haces? ( simple curiosidad matemática 🙂 )

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  47. hmm si, esa ecuacion que propuso el Ty era un artificio para llegar a la relacion de los radios(que por cierto le funciono), pero igual ninguno tiene aun una respuesta rigurosa, asi que si alguno la lograis deducir , a ver si la puede publicar :).

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  48. “sive” ¿de qué manera estás integrando?, ¿y que procesador tienes?, por muy lento que sea, usar una símple integración por trapecios y una búsqueda dicotómica no debería llevarle mucho tiempo (segundos como mucho), y el error se divide por dos cada vez lo que quiere decir que con calcular 32 integrales tienes un error menor de 2^-32 (salvando el que cometa tu integrador, que ya lo harás para que también sea menor…).

    De todas formas, mejor que aproximar la integral es aplicar una fórmula cualquiera A(r) de las aportadas, ¿no?.

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  49. Formulas que fueron dadas sin deduccion alguna. simplemente ”disque” usando excel

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  50. Voy a intentar esquematizar el proceso, a ver si consigo explicarlo de manera sencilla. Las cuentas os las dejo a vosotros:

    -Llamamos r al radio del la circunferencia que “conocemos”, el del campo de alfalfa.

    -Sobre unos ejes de coordenadas, trazamos un semicírculo (que se supone lleno de alfalfa) con centro en r que abarca desde el origen O hasta 2r, y luego, con centro en el origen, trazamos otro de radio R pero en vertical, es decir, sobre el eje Y, que cortará al diámetro del la semicircunferencia de alfalfa en un punto R.
    -Es evidente que la intersección de estos dos semicírculos, a la que llamaremos S, vale \frac{\pi r^2}{4}
    -Llamo Q al punto de interseción de las dos semicircunferencias que tenemos. Desde él, trazamos una perpendicular al eje X y llamo al punto de interseccion M. Así, el área S nos queda dividida en dos partes. Además, podemos ver que tenemos un triángulo isósceles OrQ, dividido en dos triángulos rectángulos el OMQ y el rMQ.
    -Lamamos \alpha = \widehat{MOQ}, por lo que el ángulo \widehat{OrQ}=\pi-2\alpha.

    Ya tenemos el dibujo hecho, ahora quedan las cuentas. Para ello, calculamos cuanto valen cada una de las partes en que la altura QM divide a S:

    – Llamamos S_{1} al área izquierda, delimitada por el segmento OM, el segmento MQ y un trozo de la semicircunferencia de radio r (la de alfalfa). Y lógicamente llamo S_{2} a la otra parte.

    -S_{1} es igual al área del sector circular que abarca el ángulo \widehat{OrQ} menos el área del triángulo rMQ, a la que llamaremos T_{1} es decir:

    S_{1}=ASC(\pi-2\alpha, r)-T_{1}

    -S_{2} es igual al área del sector circular que abarca el ángulo \widehat{rOQ} menos el área del triángulo OMQ, a la que llamaremos T_{2} es decir:

    S_{2}=ASC(\alpha, R)-T_{2}

    -Sumando S=S_{1}+S_{2}=ASC(\pi-2\alpha, r)+ASC(\alpha, R)-(T_{1}+T_{2})

    -Y como T_{1}+T_{2}=T coincide con el área del triángulo OrQ, nos queda una ecuación algo más sencilla de simplificar:

    ASC(\pi-2\alpha, r)+ASC(\alpha, R)-T=\frac{\pi r^2}{4}

    Bueno, una vez hecho ésto y teniendo en cuenta que R=2rcos(\alpha) sólo queda simplificar al máximo (r se nos va) y resolver la ecuación resultante, en la que la incógnita es \alpha.

    Por cierto, para calcular T es mejor hacer la fórmula de base por altura partido por 2, quedando:

    T=\frac{rRsen(\alpha)}{2}

    Un saludo y a hacer cuentas…

    PS: la ecuación final se puede resolver por N-R o por algún método numérico.

    Ah, y disculpad por la parrafada…

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  51. Por cierto Dani, me he dado cuenta de que la ecuación que yo obtengo es igual que la tuya pero multiplicada por 2 y sustituyendo 2\cos^2(\phi)-1 por \cos(2\phi) tras sacar factor común \phi. Sólo que yo a \phi lo llamo \alpha

    Es decir:

    \frac{\pi}{2}+2\alpha\cos(2\alpha)-\sin(2\alpha)=0

    Un saludo!

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  52. me maree completamenteee alguien puede explicar bien el razonamiento punto por punto asi aprendemos los que menos sabemos pero tan interesados estamos en comprender la cuestion 🙂 graciassssssssss

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  53. Aquí, en un dibujo, se puede ver de qué manera encontrar la susodicha área. Al final se llega a una ecuación en la que -imagino- será difícil o imposible aislar la R.

    http://img13.imageshack.us/img13/561/dibujoxf.gif

    Alguien que haya sacado la ecuacion de mi mismo modo ha aproximado algún valor de R coherente? O, si tenéis la ecuación pero ningún programa decente para calcular R, pasádmela y san Maple dirá.

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  54. josejuan mi problema no es el procesador, mi problema es que en el ordenador no tengo instalado ningún compilador de C++ ahora mismo, y lo he hecho en PHP, que es interpretado… es decir, lentísimo.

    No he usado ninguna fórmula del área de las dadas (especialmente la tuya) para no incurrir en razonamiento circular. Ya dije que lo hice sólo como confirmación, quería llegar a tu resultado por un camino totalmente diferente.

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  55. “sive” entonces tu problema no es ni tu procesador ni tu compilador, eres tú (je, je).

    Usando el método más bruto de todos para calcular la integral (método de montecarlo) y el más tonto para “despejar la x” (método de la bisección), no debería costar demasiado tener una aproximación.

    He usado Perl que suele ser considerado más lento que PHP.

    NOTA: no hace falta ser tan bruto, para calcular las áreas dado el radio podemos aplicar montones de fórmulas (como la mía o como la de algún compañero) y aplicar sólo la bisección para despejar la x.

    Resultado de la ejecución
    ————————-
    Radio estimado: 1.15833859504045
    Error cometido: -0.000361404959552614
    Tiempo invertido: 7 seg.

    Código en perl
    ————–
    #!/usr/bin/perl

    use strict;

    sub montecarlo {
    my ( $r, $MI ) = @_;
    my ( $r2, $ni, $nh ) = ( $r * $r, 0, 0 );
    while( $MI– > 0 ) {
    $ni++;
    my ( $l, $a ) = ( sqrt( rand() ), rand() * 6.283185307179586476925286766559 );
    my ( $x, $y ) = ( $l * cos( $a ), $l * sin( $a ) + 1 );
    $nh++ if $x * $x + $y * $y < $r2;
    }
    return ( 1.0 * $nh ) / $ni;
    }

    sub biseccion {
    my ( $a, $b, $NH, $e, $e2 ) = @_;
    my ( $c ) = ( ( $a + $b ) / 2 );
    return $c if abs( $a – $b ) < $e2;
    my ( $m ) = montecarlo( $c, $NH );
    return $c if abs( $m – 0.5 ) 0.5;
    return biseccion( $c, $b, $NH, $e, $e2 );
    }

    my $t0 = time;
    my $r = biseccion( 1, sqrt(2), 200000, 1e-4, 1e-8 );
    my $t1 = time – $t0;

    print “Radio estimado: $r\nError cometido: ” . ( $r – 1.1587 ) . “\nTiempo invertido: $t1 seg.”;

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  56. (NOTA: por algún extraño motivo han sido eliminados algunos símbolos del código [como el mayor qué])

    ¿Qué tipo de procesamiento se realiza a los comentarios enviados por nosotros? (por ejemplo, un procesamiento documentado es el de $ latex … $, otro no documentado es el de que si se “detecta” una URL se crea un link, etc…) ¿qué criterios se usan? (lo digo para escribir los post de forma que no se “degraden”)

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  57. Ya, pero es que cuando intentas reducir el error, el número de operaciones necesarias para integrar se dispara. Por ejemplo, para llegar al octavo decimal, necesito dividir la zona en un millón de trapecios, si a esto le unes una busqueda binaria de 30 pasos, ya son 30 millones. No es que PHP se vaya a tirar media hora, pero aunque sean dos minutos, yo no tengo tanta paciencia.

    Creo que no me he explicado bien. Decidí hacerlo ‘informáticamente’ en un momento en el que alguien había dado una fórmula, que ¿otros? lectores daban por buena (a pesar de la falta de demostración, y a pesar de los contraejemplos de Dani).

    Por eso decidí hacerlo sin usar ningua fórmula, integrando a lo bestia, había que reducir el problema a lo más básico.

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  58. Ahí va la deducción paso por paso. Primero construimos el dibujo. Supongo R=1 . Centramos el campo de alfalfa, al que llamaremos C_1 en el punto (1,0) de tal menera que toca el origen de manera tangencial. Precisamente en el origen atamos al burro. Con una cuerda de longitud r se puede mover en un círculo centrado en el punto (0,0) y con radio r , al que llamaremos C_2 El area al que puede llegar del campo de alfalfa, a la que ya por costumbre es \sigma = area(\{ \text{interior} \, (C_1) \} \cap \{ \text{ interior} \, (C_2) \} ) El dibujo está aquí:

    http://www.dabbleboard.com/public?created=danman90&myid=0

    Lo que voy a hacer es calcular el ángulo \Delta , delimitado por el eje de las x positivas y el radio de C_2 que termina en la intersección C_1 \cap C_2

    Primero notemos que para un radio fijo el ángulo determina completamente a la longitud del radio r . Como
    C_1= \{ (x,y), \quad (x-1)^2 + y^2 = 1 \}
    C_2= \{ (x,y), \quad x^2 + y^2 = r^2 \} ,
    su intersección ocurre en en los puntos 2x = r^2 , es decir, cuando 2\cos(\Delta) = r Así pues calcularemos \Delta para luego obtener r .

    Como geométricamente la simetría está clara, buscaremos que:
    \tilde{\sigma} =  area(\{ \text{interior} \, (C_1) \} \cap \{ \text{ interior} \, (C_2) \} \cap \{ x \geq 0 \} ) = \frac{\pi}{4} ,
    es decir, solo nos preocuparemos de la parte superior. Para integrarlo en polares queremos describir el area en cuestión. Incrementando el ángulo desde \theta = 0 en el eje de las x , vemos que el radio es constantemente el de C_2 , es decir: \rho = r = 2 \cos (\Delta) hasta llegar justo al ángulo \theta = \Delta .
    A partir de ese ángulo va decreciendo el radio. Pero el cálculo ya lo hemos hecho (sustituir \theta en \Delta cuando calculamos la intersección C_1 \cap C_2 para un cierto ángulo.) y tenemos que para \theta radianes el radio es \rho = 2 \cos (\theta ) (notemos que ahora el radio depende del ángulo y ademas es decreciente- efectivamente para \theta = \frac{\pi}{2} tenemos radio cero como nos dice el dibujo). Como de hecho no tiene sentido integrar hasta más de \frac{\pi}{2} , ahí nos paramos.

    La integral es:

    \int_{0}^{\Delta}\int_{0}^{2\cos(\Delta)}\rho\,\,d\rho \, d\theta +\int_{\Delta}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2\cos(\theta)}\rho\,\,d\rho \, d\theta
    = \int_{0}^{\Delta} 2\cos^2(\Delta) \, d\theta + \int_{\Delta}^{\frac{\pi}{2}} 2 \cos^2(\theta) d\theta
    = 2 \Delta \cos^2 (\Delta) + \int_{\Delta}^{\frac{\pi}{2}} 1 + \cos(2\theta) \, d\theta
    = 2 \Delta \cos^2 (\Delta) + \frac{\pi}{2} - \Delta - \frac{1}{2}\sin(2\Delta)

    si igualamos esta última a \frac{\pi}{4} obtenemos:
    2 \Delta \cos^2 (\Delta) + \frac{\pi}{4} - \Delta - \frac{1}{2}\sin(2\Delta) = 0,
    la fórmula que escribí antes. Si ahora se quiere encontrar el radio (una vez sacado \Delta de este pifostio), se hace r=2 \cos( \Delta) .

    Trabajando al revés, y cogiendo de los cálculos de josejuan
    r=1.15833859504045 se obtiene inmediatamente
    \Delta = 0.9530870131 que metiéndolo en la ecuación da:
    error = -4.304426 \times 10^{-4}

    lo que hace pensar que está correcto. Por supuesto como matemático (o intento de) esa comprobación no me sirve ni me satisface…

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  59. Bien, creo que ahora si se ha dado una explicacion mas clara.
    (Lo unico que deje fue la notacion 🙁 ), vamos pero interesante post, se ha llevado mas de 80 comentarios.

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  60. Hola

    He buscado varias formas, y creo que la más elegante es con una “simple” integral. Lamentablemente la solución a la integral es trascendente, como dice Elías. Wolfram me ha ayudado a resolverlo al final.

    Suponemos que el campo de alfalfa tiene radio 1, y la cuerda del burro mide R, está atado en el punto (1,0). Nos viene bien el cálculo del punto de corte de esas dos circunferencias, que para radio “r”, es x=1-\frac{r}{2}

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  61. josejuan lo que pasa con algunos símbolos es que WordPress permite escribir algunos tags HTML en los comentarios, y por esta razón los caracteres < y > no se pueden escribir directamente. Puedes escribirlos así:

    < = &lt;
    > = &gt;
    & = &amp;

    Es decir, igual que en HTML.

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  62. Perdón, di a publicar antes de tiempo.

    He buscado varias formas, y creo que la más elegante es con una “simple” integral. Lamentablemente la solución a la integral es trascendente, como dice Elías. Wolfram me ha ayudado a resolverlo al final.

    Suponemos que el campo de alfalfa tiene radio 1, y la cuerda del burro mide R, está atado en el punto (1,0). Nos viene bien el cálculo del punto de corte de esas dos circunferencias, que para radio r, es x=1-\frac{r^2}{2}

    Planteamos la integral de trozos de corona circular centrados en [1,0] (donde atamos la cuerda), de espesor dr y longitud l, comprendidas dentro del circulo de alfalfa. El ángulo abarcado por l es 2\alpha
    \int_{0}^{R}l dr = \int_{0}^{R}2\alpha r dr

    Con el valor de x calculado antes, podemos sacar que \alpha = \arccos(r/2)

    Nos queda la integral

    \int_{0}^{R}2 r \arccos(r/2) dr

    Igualando esta integral medio circulo de radio unidad, tenemos
    \frac{\pi}{2} = \int_{0}^{R}2 r \arccos(r/2) dr

    Para resolverlo he recurrido a Wolfram Alpha. He puesto pi/2 = integral(2*x*arccos[x/2]) en http://www.wolframalpha.com.
    Lo podéis ver directamente en este enlace

    Como véis, la solución de la ecuación no es posible analíticamente. El valor de 1.1587 coincide con alguno expuesto antes.
    Saludos.

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  63. Buenas, soy un visitante y no tengo ni zorra de matemáticas, pero creo que puedo aportar una solución mejor 😉

    Coges una cuerda de radio 2r y la atas de un extremo de la valla al contrario, para dividir el corral en 2. Casualmente es la única forma de garantizar que no van a quedar zonas de hierba sin aprovechar. Untad la cuerda con salsa picante para que los burros no la mordisqueen, y salid más a tomar el aire 🙂
    ¡Ah, y Feliz Navidad!

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  64. Estoy deseando saber la respuesta Diamond. A mi me sale 1.31 :S

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  65. Hola aquí dejo mi solución, no he usado ni trigonometría ni tampoco integrales, pero creo que está bien:
    La solución que yo propongo es que la longitud de la cadena del burro debe ser l=R*sqrt(5)/2.

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  66. En el encabezamiento de este post Miguel y DiAmOnD ataron un burro, pero este problema se conoce como el problema de la cabra (The goat problem), el problema del toro atado (Bull-tethering problem) o también como el problema de vaca. En términos geométricos se trata se hallar el área de intersección entre dos círculos.
    Aquí va un enlace:
    http://www.mat.ub.es/~soria/Vaca.html

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  67. supongo que le cambiarían el nombre para evitar que los “listillos” lo buscaran en google jejeje. que curioso que en los links esté resuelto también tanto buscando el radio directamente como buscando el ángulo ese en cuestión…

    que rabia que no tenga solución explícita… yo aun tenía ilusión por si a alguien se le ocurría una idea feliz 🙁

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  68. sea f(x) la curva que represente la circunferencia con centro en el origen y de radio r la cual encierra a la alfalfa, sea g(x) la funcion que representa la curva de radio R(longitud de la cuerda que sujeta al burro en un punto del perimetro)que representa el movimiento del burro, y sea (b_1,b_2) el punto de interseccion superior de las curvas, luego
    \displaystyle\frac{\pi r^2}{2}=\int_{r-R}^{b_1}2g(x)dx+2\int_{b_1}^r f(x)dx
    \displaystyle\frac{\pi r^2}{4}=\int_{r-R}^{b_1}\sqrt{R^2-(x-r)^2}dx+\int_{b_1}^r \sqrt{r^2-x^2}dx
    \displaystyle\frac{\pi r^2}{4}=[R(x-r)-\frac{(x-r)^3}{3R}]|_{r-R}^{b_1}+[xr-\frac{x^3}{3r}]|_{b_1}^{r}
    ahora el problema radica solamene en encontrar el punto de intersecion de las circunferencias.

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  69. Bueno, parece que intenté hacer el problema por una idea feliz y me he dado cuenta de que hago una suposición-simplificación que no es correcta, aunque me gustaría que le echarais un ojo.

    -El burro está anclado en el punto A de la “circunferencia prado”, desde aquí trazamos un diámetro de la “circunferencia prado”: el diámetro AB.
    -Trazamos el diámetro de la “circunferencia prado” que es perpendicular al diámetro AB, este diámetro es el CD.
    -La circunferencia que describe la cabra corta al diámetro CD en los puntos P y P’; al diámetro AB en el punto M; y a la circunferencia prado en los puntos X y X’. (La notación (‘) indica que los puntos son simétricos respecto de AB)
    -Para que la cabra solo pueda comerse medio “círculo prado” se debe cumplir que las áreas delimitadas por MOP y PCX sean iguales.
    -La simplificación es suponer que esas áreas son iguales cuando el punto P es el punto medio de OC. Por tanto la longitud de la cadena que ata al burro (AP) es la hipotenusa de un triángulo de catetos AO y OP (que valen R y R/2 respectivamente).
    -Así se llega a un resultado de R*sqrt(5)/2 que es aproximadamente 1.118 que se acerca bastante a la solución correcta.

    Un ingeniero simplificador 😉

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  70. Por definicion, la unica linea que divide a un circulo en dos partes iguales es el “diametro”. No hay solucion.

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  71. que problema mas comentado…

    la respuesta es facil… los burros no comen alpiste…jjaa

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  72. La solución es:

    para una circunferencia de radio R, el animalillo inteligente al que se denota por burro debe estar atado con un acuerda de longitud L:

    L= sqr(3/2) * R

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  73. Antes de intentar resolver un problema primero es necesario entender su enunciado. También es conveniente leer todos los comentarios del post, sin excepción, pues puede darse el caso que la solución buscada ya haya sido expuesta.

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  74. Un saludo de año nuevo para todos
    ….este problema me ha llevado mas de unas horas…
    soy ingeniero y, francamente, las matemáticas asociadas a este problema me superan
    sin matemáticas, en excel hice cuadrículas de 0,25 x 0,25; con esto hice un círculo base de 10 x 10 y un circulo de radio variable en su borde, calculando el número de celdas (área) intersección entre ambos
    al variar el radio de este segundo círculo, encontré que el radio que define la solución al problema está entre 1 y 1,25

    no es exacto, pero como ingeniero, sirve

    saludos y feliz año nuevo!

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  75. “…pero como ingeniero, sirve…”

    Uhm… depende… depende… un 12,5% de error es mucho error…

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  76. Si bién es cierto que en ingeniería existe el concepto de “tolerancia”, se ve que Felipe G. no leyó el comentario anterior al suyo.
    Por otro lado, recuerdo haber leído en la web muchos chistes sobre la forma en que se abordan los problemas según las profesiones.

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  77. me parece absolutamente genial que haya posteado su solución a las 6:26 de la madrugada de fin de año jajajaj 😀

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  78. Como ya puede verse en los post anteriores, y los links citados, este problema ya estaría resuelto (Argg, me venció totalmente.) En cualquier caso, yo no despreciaría la estimación que hizo Felipe G. Aunque tiene un error superior al 10%, es de notar que la aproximación es aún más cercana que la que aparece en un link citado, que situaba r entre 1 y sqrt(2)

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  79. “L= sqr(3/2) * R” esa solucion solo es valida si el burro esta a un extremo de del circulo. cosa que no esta mencionada. el burro puede estar en cualquier lado incluso en el centro.

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  80. Omar-P dijo: “Antes de intentar resolver un problema primero es necesario entender su enunciado. También es conveniente leer todos los comentarios del post, sin excepción, pues puede darse el caso que la solución buscada ya haya sido expuesta.” Aplicaos el cuento por favor.

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  81. Una integral en polares de la intersección de una circunferencia de radio r (incógnita) y otra de radio R conocido (2Rsen(theta)) q da de resultado la mitad del área

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  82. Pues a mi me intereso bastante este problema y me la pase resolviendo por varios metodos y sigo llegando a soluciones algo curiosas que no puedo despejar y solo aproximarlas por metodos numericos (“que no me satisfacen por completo”) lo que deseo saber si alguien ya llego a la expresion que relacione “r” con “R” de manera exacta. Y en especial deseo saber si este problema tiene solucion por algun metodo que no conozca, ya probe con integrales normales, polares, paramètricas solamente me queda probar si en lugar de expresar los senos y cosenos tradicionales utilizar la variable compleja.

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  83. hola bueno esto va para dani y jose juan no entiendo muy bien a lo que se refiere cuando dise el radio de la cuerda y diganme si estoy bien el burro esta atado en un punto de el perimietro de la circunferncia osea en un punto de la longitud de la circunferncia bueno luego lo que comeria la region que comeria seria una especie de elipse y eso sria la mitad digamme si estoy en lo cierto y que es eso de el radio de la cuerda ..quiero saber eso para intentar pensar ..

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  84. Se ve que hay un problema de comprensión de textos o de rechazo por la lectura, o de algún otro tipo.

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  85. 2*x*cos(x)+pi=2*sin(x)
    L=2*R*cos(x/2)

    bueno esta es mi solución, sieno L el largo de la cuerda y R el radio del campo. Ese x es aproximadamente igual a 1.905

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  86. bueno los que yo pienso es, que el burro no está en el centro, está en la cuerda de la circunferencia, por lo que me temo que no es lo que se buscaba.

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  87. Propongo el mismo problema pero en 3D, el Burro volando dentro de una esfera.

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  88. Hay burros de orejas “muy re largas” y nosotros los de orejas mas cortas llegamos a R(soga del burro)=1,158728473*r(radio del campo circular de alfalfa)
    Atte pancho

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  89. Tengo aca otro problema simpatico, pero no se como publicarlo, se titula el area menor bajo la curva y versa asi: dada una circunferencia de radio r y centro en (0,r) se pide calcular en funcion de r el area menor bajo la curva entre 0 y r/2 pero sin usar integrales ni trigonometria, nada de senos ni cosenos solo geometria plana y grafica es decir usar solo sumas de areas de cuadrados, circulos, triangulos y pitagoras, y sin hacer aparecer valores de angulos, sin tener una base grafica explicita para el valor de dicho angulo
    Atte panchon

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  90. 45x\sqrt{4-x^2}=90\pi x^2-\alpha\pi x^2-\beta\pi

    \sin\alpha=\dfrac{x}{2}

    \sin\beta=\dfrac{2-x^2}{2}

    Solo me queda solucionar ese sistema pero no se como

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