El cuadrado mágico del pintor

Desde siempre, el mundo del arte ha sabido aprovechar y sacar partido a lo que las matemáticas le brindaban, repercutiendo por tanto en nuestro propio beneficio. El buen uso de la perspectiva y de las proporciones o la utilización de la razón áurea son algunos buenos ejemplos.

Pero también encontramos casos en los que lo reseñable no es la utilización de las matemáticas en el arte, sino que las matemáticas están plasmadas en el propio arte. Tenemos ejemplos de arte matemático “vanguardista”, como los que os mostraba ayer en esta entrada, y también hay casos que tienen más tiempo. Hoy os traigo uno donde el protagonista es un cuadrado mágico.

El cuadrado mágico de Durero

Alberto DureroAlberto Durero fue un pintor alemán (nacido en Nuremberg) de los siglox XV y XVI con una producción artística muy amplia y de gran calidad. Además de ejercer una gran influencia en sus contemporáneos, fue uno de esos artistas que consiguieron utilizar de forma magistral la geometría y las proporciones matemáticas en su arte. Además fabricó algunos dispositivos mecánicos para facilitar el dibujo en perspectiva, que representó en algunos de sus grabados, como El dibujante del laúd, La mujer desnuda o El dibujante en la jarra. También se preocupó bastante del trazado de las secciones cónicas, llegando a escribir tratados donde explicaba métodos para ello.

Entre sus obras se encuentran cuadros, varios de ellos autorretratos (como el que puede verse a la derecha, que está en el Museo del Prado de Madrid), dibujos y grabados. Vamos a detenernos en uno de ellos, Melancolía I:

Melancolía I

Este grabado compone las “Estampas Maestras” junto con otro dos grabados: “El caballero, la Muerte y el Diablo” y “San jerónimo en su gabinete”. Es, posiblemente, la obra más misteriosa de Durero.

¿Os habéis fijado en lo que hay en la parte superior derecha? Vaya, un cuadrado con números…No será…¡¡Sí, un cuadrado mágico!!:

Como podéis ver, en el grabado aparecen más detalles relacionados con las matemáticas, como una esfera o un poliedro truncado. Pero, como decía, detengámonos en el cuadrado. ¿Es un cuadrado mágico? Sí, es un cuadrado mágico de los más habituales, ya que la suma de los elementos de sus filas, de los de sus columnas y de los de sus diagonales es siempre la misma, 34, que es por tanto la “constante mágica” del cuadrado:

Pero este cuadrado mágico es mucho más especial de lo que parece. Sumemos los números de las esquinas:

¿Cuánto suman? Sí, 34.

Sumemos ahora los números centrales:

¿Y ahora cuánto suman? Otra vez 34.

Veamos ahora qué ocurre con los números centrales de las filas superior e inferior:

Exacto, 34.

¿Y con los centrales de la primera y la última columna?

También 34.

Si dividimos el cuadrado por la mitad tanto horizontal como verticalmente, nos quedan cuatro cuadrados más pequeños con cuatro números cada uno:

¿Qué ocurre si sumamos los números que hay en cada uno de esos cuadrado? Pues sí amigos, 34 en todos los casos.

¿Y si saltamos una posición tanto en filas como en columnas (primero y tercero de primera y tercera fila, segundo y cuarto de primera y tercera fila, etc)? ¿Y agrupando con salto de caballo los números exteriores? ¿Y si sumamos por parejas saltando una fila (primero y segundo de primera y tercera fila, tercero y cuarto de primera y segunda fila, etc)?

Todas 34

¿Y agrupando por parejas saltando una columna? ¿Y formando esas dos cruces? ¿Y éstas otras?

De nuevo, cómo no, 34.

Y todavía hay más:

Y seguro que hay más agrupaciones interesantes y curiosas de elementos de este cuadrado cuya suma vuelve a ser este misterioso y enigmático, a la par que cansino, número 34.

Además si elevamos al cuadrado y al cubo sus elementos, nos quedan cuadrado que aunque no son mágicos sí que tienen propiedades interesantes. Os invito a explorarlos y a que comentéis las regularidades que encontréis en ellos:

– El de los cuadrados:

\begin{array}{| c | c | c | c |} \hline 256 & 9 & 4 & 169 \\ \hline 25 & 100 & 121 & 64 \\ \hline 81 & 36 & 49 & 144 \\ \hline 16 & 225 & 196 & 1 \\ \hline \end{array}

– El de los cubos:

\begin{array}{| c | c | c | c |} \hline 4096 & 27 & 8 & 2197 \\ \hline 125 & 1000 & 1331 & 512 \\ \hline 729 & 216 & 343 & 1728 \\ \hline 64 & 3375 & 2744 & 1 \\ \hline \end{array}

Y para terminar, ¿sabéis de que año es Melancolía I? Sí, efectivamente, de 1514 (los números centrales de la última fila). Y, por rizar el rizo, los números de las esquinas de la última fila, el 4 y el 1, corresponden en nuestro alfabeto a las letras D y A, esto es:

Durero, Alberto


La foto de Durero la he tomado de aquí y la de Melancolía I de aquí.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

18 Comentarios

  1. jajajajajaj lo del 1 y el 4 por Durero Alberto me parece un poco demasiado, pero el post es tremendo. Grande, ^DiAmOnD^!!!!

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  2. Para ordenar los números del cuadrado de Durero basta realizar dos operaciones de simetría:

    1.- Una simetría central de las diagonales
    2.- Una simetría sobre el eje vertical de las dos columnas centrales

    Las dos operaciones se pueden realizar en cualquier orden (conmutativa del producto de simetrías)

    Si al conjunto ordenado le aplicamos de nuevo las dos operaciones obtenemos el cuadrado mágico original.

    ¿Conocía Durero esta técnica de generación del cuadrado mágico de orden 4?

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  3. Me impresionaría mas si al sumar 16 y 5 tuviésemos 34. El Durero este es una primadona de los sudokus. Si al menos sirviera para acertar el Euromillon….

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  4. Si no recuerdo mal, una novela de Dan Brown trata sobre este libro, “El Símbolo Perdido”.

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  5. ¿Alguien sabe porqué el eligió el 34 para este cuadrado mágico?
    Yo que se,.. ¿era la edad que tenía su novia cuando lo pintó?

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    • la razón del 34 como suma de las columnas y diagonales del cuadrado, es porque se toman los 4 números centrales de la distribución de los números del 1 al 16 ordenados de menor a mayor o vicerversa y se toman solo los 4 centrales porque, el 4 es la raíz de 16. Por ejemplo en el caso del cuadrado de 3×3 donde se colocan 9 números, si esos 9 números son del 1 al 9, entonces tomanos los 3 centrales, porque 3 es la raíz de 9 y la suma de columnas, filas y diagonales debe ser de 15, aplica la misma regla para otros cuadrados mágicos.

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  6. @Alriga cualquier cuadrado mágico que construyas con los 16 primeros números naturales, está condenado a usar el 34 como número ‘mágico’.

    Sólo tienes que sumar todos los números (\frac{16 \cdot 17}{2} = 136 ), y puesto que cada una de las cuatro filas (o cada columna) debe sumar lo mismo, necesariamente tiene que ser \frac{136}{4} = 34 .

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  7. Ja, ja, gracias Sive, esto es lo que tiene el escribir sin pensar, que uno puede preguntar obviedades por no haberse parado a reflexionar ni un segundo, perdona la molestia.

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  8. Muy buen post, no conocía los cuadrados mágicos, bueno miento… si los habia visto por ahi pero no me paré a pensar en que tuvieran significado, simplemente eran numeros al azar (en el arte nada está puesto por que si,.. tonto de mi).

    Y si se me permite, encontré otra que es facil de identificar, sería como hacer un zigzag en las dos columnas centrales:
    3+11+6+14 = 34
    Y su antagonista:
    2+10+7+15 = 34

    Un abrazo y enhorabuena por esta web de referencia matemática.

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  9. Ben3r, si te gusta más no tienes mas que sumar 2 a todos los elementos del cuadrado de Durero y tendrás un cuadrado mágico con las mismas propiedades y que, conteniendo los números consecutivos del 3 al 18, todas sus sumas son iguales a 42.

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  10. En el año 2014 se cumple el 500 aniversario del Cuadrado Magico de Durero y en España ha aparecido un Cuadrado Mágico de colores en la fachada de una casa en FOZ (Lugo, Galicia) que tiene la propiedad añadida de que ninguno de los cuatro colores (rojo, amarillo, azul y verde) se repite en los grupos de 4 numeros que suman 34.
    “El Cuadrado Mágico de FOZ”, sirve como base a los “FOZUDOKUS” y una presentacion de Mate-Magia “El Mago de FOZ”, ambas se realizan con la tradicional baraja española de 48 cartas y sirve como entretenimiento y herramienta educativa, siendo varias las escuelas en FOZ y en Londres donde se ha realizado esta actividad.
    Para mas informacion sobre los FOZUDOKUS visitar mi pagina web
    cuadradomagicodefoz.com
    desde donde podras descargar miles de FOZUDOKUS

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  11. Por mis sangra corre sangre germana y un vez lei en un bet seller sore alberto durero y es realmente facinante este cuadro……………………….

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