El cubo de Ruperto, o cuál es el cubo de mayor tamaño que puede atravesar a otro cubo

Un día cualquiera, en una cafetería cualquiera, dos amigos apuran su taza de café charlando de esto y aquello. En un momento de la diálogo, uno de ellos (con ciertas inquietudes matemáticas), al que llamaremos amigo A, comienza una conversación con, digamos, el amigo B que puede resumirse en lo siguiente:

A: El otro día me contaron algo sobre matemáticas que quiero compartir contigo. Te lo voy a plantear como una especie de juego: te apuesto el café que estamos tomando a que no eres capaz de decirme cómo hacer un agujero en un cubo cuyo lado mide 1 metro de forma que se pueda hacer pasar por ese agujero otro cubo igual al anterior.
B: Venga ya hombre, me tomas el pelo, eso es imposible. Las matemáticas tienen cosas raras, pero esto ya es excesivo.
A: ¿Excesivo? ¿Y no lo era la paradoja de la banda esférica? ¿O la paradoja del cumpleaños? Más te digo, ¿no lo era también la paradoja de Banach-Tarski? ¿Y qué ocurrió? Todas fueron correctas, ¿no?
B: Bueno…sí…pero esto…no sé…
A: Bien, dejemos el tema de apostarnos el café porque sé que lo vas a tener que pagar y no quiero abusar de ti. Atento a la historia que te voy a contar.

La historia a la que se refiere el amigo A puede ser más o menos como la que sigue (antes de seguir leyendo os pido que penséis en lo que ha comentado A, a ver si podéis encontrar alguna forma de hacer lo que dice).

El cubo de Ruperto

Supongamos que tenemos un cubo de lado 1

Cubo de lado 1

y queremos hacerle un agujero (sin romperlo, claro) para que a través del mismo pueda pasar otro cubo. Pregunta: ¿cuál es el mayor cubo que puede pasar por un agujero así?

Príncipe Ruperto del RinAunque desconozco por qué, esta misma cuestión se le ocurrió al Príncipe Ruperto del Rin, militar y almirante inglés del siglo XVII (más información sobre él en la Wikipedia inglesa) que además de su actividad militar también tuvo cierta actividad científica. A él se le atribuye el planteamiento del problema del que hablaban nuestros ya amigos A y B. El príncipe Ruperto conjeturó que un cierto cubo puede atravesar a otro cubo ligeramente más pequeño, hecho que a todas luces es tremendamente paradójico. La pregunta que nos dejó fue la siguiente:

Dado un cubo cuyo lado mide una cierta cantidad, ¿cuál es el cubo de mayor tamaño que puede atravesar el cubo inicial?

Bien, os traslado ahora la pregunta a vosotros. Por comodidad vamos a plantear el enunciado con un cubo de lado 1. La pregunta queda entonces de esta forma:

Dado un cubo de lado 1, ¿cuál es el mayor cubo que puede pasar a través de él?

Hace unos párrafos os propuse que pensarais un momento sobre el tema. Volved a hacerlo…¿Se os ha ocurrido algo? No importa, seguro que la respuesta os va a sorprender…

Para empezar la respuesta, sin paños calientes: en las condiciones anteriores, se puede demostrar que el mayor cubo que puede atravesar un cubo de lado 1 tiene lado mayor que 1, es decir, podemos hacer un agujero en un cubo de lado 1 (sin romper dicho cubo) por el cual puede pasar un cubo mayor que el inicial. Por tanto también puede atravesarse un cubo de lado 1 con otro cubo de lado 1. No sé a vosotros, pero al menos a mí me sorprendió bastante este resultado cuando lo conocí.

El caso es que cuando a uno se lo explican puede hasta resultar razonable. La clave es la siguiente: no pensar en el cubo colocado en una mesa apoyado por una de sus caras, sino en uno de sus vértices. En concreto, tomamos un cubo de lado 1 y lo apoyamos en una superficie en uno de sus vértices, colocando ahora el cubo de forma que la recta que pasa por el vértice de apoyo y el vértice opuesto a éste sea perpendicular a la superficie. Algo como lo que se ve en la imagen (he usado un cubo de Rubik para ello, no podía ser de otra forma):

Si miramos desde arriba lo que ha quedado, vemos que las proyecciones de los restantes vértices del cubo (sin contar el de apoyo y el opuesto quedan seis) sobre la superficie de apoyo forman un hexágono regular. En la imagen de la izquierda se puede ver el cubo desde arriba y en la de la derecha el hexágono que queda al proyectar los vértices en la superficie de apoyo:

En la imagen el hexágono no se ve totalmente regular (esto está provocado por el ángulo que se ha usado para tomar la foto y los típicos errores de medición), pero os aseguro que lo es.

De hecho podemos calcular la longitud del lado de dicho hexágono. Es:

\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

Bien, ¿cuál es el cubo de mayor tamaño que puede atravesar un cubo de lado 1 en una situación como la anterior? Pues es el cubo que cumple que cada una de sus caras en el mayor cuadrado que puede inscribirse en el hexágono anterior. ¿Y cuál es el lado de ese cuadrado y, por tanto, de ese cubo? Pues:

\sqrt{6}-\sqrt{2}=1,035276180410083049 \ldots

O sea, lo que decíamos desde el principio: podemos atravesar un cubo de lado 1 (sin romperlo en dos partes) con otro cubo de lado mayor que 1 (y, por tanto, amigo B, también lo podemos hacer con un cubo de lado 1 igual al inicial).

Pero la mejor solución posible no es la comentada. Antes, al decir en una situación como la anterior, nos referíamos a que el agujero que realizaríamos es paralelo a la recta que pasar por el vértice de apoyo y el opuesto (a la diagonal principal del cubo, vamos). Pero, ¿qué ocurre si realizamos dicho agujero con un ángulo ligeramente desplazado de dicha diagonal? Pues sencillamente que llegamos a la mejor solución posible. Sin entrar en detalles, el lado del cubo más grande que puede atravesar a un cubo de lado 1 es:

\cfrac{3 \sqrt{2}}{4}=1.060660171779821286 \ldots

Esta solución fue encontrada por el matemático holandés Pieter Nieuwland, quien no pudo publicarla en vida. Fue un profesor suyo, Jan Hendrik van Swinden, quien la publicó en 1816 después de la muerte de Nieuwland. Por cierto, según MathWorld, el agujero que habría que hacer en este caso tiene esta pinta:

Corte en el cubo de Ruperto

Definitivamente, las matemáticas nunca dejan de sorprendernos…


Fuentes:


Actualización:

Nuestro lector TRash-R nos deja en un comentario el siguiente vídeo, en el que podemos ver cómo podemos atravesar un cubo con otro igual que él:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

9 Comentarios

  1. Es una locura!!!!

    Que genial de verdad, por cosas como estas estudiar matemáticas llena mi vida, que hermosa entrada ^DiAmOnD^ gracias.

    Y respecto a la paradoja de Banach-Tarski, es completamente asombrosa por mas que pienso en ella no puedo emocionarme ni sentirme mas confundido a cada reflexión.

    Por ejemplo: Pienso que es intuitivamente complicado pero puedo convencerme de que los pedazos de la esfera de algún modo son no Lebesgue medibles pero entonces si no se puede asignar una medida a los pedazos de la esfera como siquiera se puede definir a la misma si hasta donde yo tengo entendido estamos hablando del espacio euclideo en el cual la esfera se define como el conjunto de puntos que equidistan del centro. ¿?¿?

    Es mas encuentro extraño el mismo enunciado si no se puede asignar una medida a los pedazos de la esfera ¿como se puede decir que después de traslaciones y rotaciones se obtendrán 2 esferas del mismo TAMAÑO que la original?

    mas aún ! no se supone que un subconjunto abierto o cerrado de R^n es Lebesgue medible ¿?¿

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  2. Dado que existen 5 sólidos platónicos uno puede hacer la misma pregunta para cada uno de esos cuerpos y luego completar la lista siguiente:
    Tetraedro en tetraedro:
    Hexaedro en hexaedro: 3*2^(1/2)/4 = 1,060660171779 821286…
    Octaedro en octaedro:
    Dodecaedro en dodecaedro:
    Icosaedro en icosaedro:
    Es claro que muchas otras combinaciones y generalizaciones pueden plantearse.

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  3. Dado que no me lo imaginaba claramente me puse a buscar y encontré en youtube un vídeo de unos pocos segundos que muestra ésta proposición.
    No lo hace con un cubo de mayor tamaño, sino con dos iguales, mas vale la pena verlo pues más claro imposible: http://www.youtube.com/watch?v=-2jjgHsxEu4

    Saludos.

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  4. Interesante aporte TRash-R. Con tu permiso he añadido el vídeo al artículo. Gracias :).

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  5. Excelente blog ^Diamon^…Feliz Navidad. Espero en el 2011 venga recargado con mas curiosidades matematicas. os felicito amigo.

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  6. Pero… En el momento que le realices un agujero así al cubo deja de ser un cubo. ¿No?
    Por lo tanto no estas atravesando un cubo

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