El final de la historia sobre la naturaleza de M67

Como ya sabemos, un número de Mersenne es un número de la forma

M_p=2^p-1

con p un número natural. También sabemos que si p es un número compuesto, entonces M_p también lo es, por lo que M_p sólo puede ser primo si el propio p lo es.

La cuestión es que esto no ocurre siempre, es decir, no siempre que p es primo se tiene que M_p lo es. Cuando esto ocurre se dice que M_p es un primo de Mersenne.

En Gaussianos ya hemos hablado sobre los primos de Mersenne en muchas ocasiones. De hecho hemos anunciado descubrimientos de nuevos primos de Mersenne varias veces. Lo que hoy vamos a contar es una anécdota de uno de los números de Mersenne, el número M_{67}=2^{67}-1.

Cuando Marin Mersenne contaba con 56 años de edad publicó un libro titulado Cogitata Physico-Mathematica en cuyo prefacio comentaba que los primeros números de la forma 2^p-1 que resultaban ser primos eran los que correspondían a p=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257. las comprobaciones hasta p=19 no fueron demasiado problemáticas, pero a partir de ahí los cálculos tenían ya cierta entidad.

En 1774, Euler probó que M_{31}=2^{31}-1 era un número primo, por lo que Mersenne iba bien en su predicción. Más adelante, en 1876, Lucas demostraba que M_{127}=2^{127}-1 también era un número primo. No iba mal Marin Mersenne.

Pero poco después la predicción de Mersenne se torció un poco, ya que en 1883 Pervushin demostraba que M_{61}=2^{61}-1 era primo, hecho que significaba que Mersenne se había dejado un primo por el camino. Pero bueno, al parecer había acertado en todos los que había calificado como números primos…Un momento, faltaba el M_{67}. ¿Qué pasó con él?

Frank Nelson ColeEn 1903, en una de las reuniones de la American Mathematical Society, un matemático desconocido hasta la fecha llamado Frank Nelson Cole presentó un trabajo titulado Sobre la factorización de grandes números. Cuando el Presidente de la AMS llamó a Cole para que expusiera su trabajo, éste se colocó delante de una pizarra y comenzó a calcular a mano 2 elevado a 67 (vamos, multiplicó 2 por sí mismo 67 veces) sin pronunciar ni una palabra. Cuando terminó restó 1 al número obtenido, dejando escrito el resultado final. Después se dirigió a una zona de la pizarra que no estaba utilizada y, todavía sin decir palabra ni frase alguna, realizó a mano la siguiente operación:

193707721 \cdot 761838257287

Cuando concluyó la multiplicación se pudo comprobar que el resultado coincidía con el obtenido anteriormente. Esto es, Cole había probado que M_{67} no era un número primo. Hecho esto, Cole se volvió a sentar sin decir absolutamente nada y los asistentes a su presentación le dedicaron una calurosa ovación. No hizo falta nada más, ya que no hay manera más descriptiva de demostrar este hecho. No importa cómo encontró Cole esos dos factores (ambos primos, por cierto), simplemente importa que su producto es M_{67}. Por cierto, más adelante Cole comentó que encontrar esos dos factores le había llevado “tres años de domingos”.

En honor a Frank Nelson Cole, la AMS entrega dos Premios Cole, uno para contribuciones destacables en álgebra y otro para contribuciones destacables en teoría de números, desde principios del siglo XX. El de álgebra comenzó a entregarse en 1928 y su primer galardonado fue L. E. dickson. El de teoría de números se entrego por primera vez en 1931 a H. S. Vandiver. Entre los galardonados aparecen personas muy conocidas por todos nosotros, como Paul Erdös (en 1951), John T. Tate (en 1956), premio Abel en 2010, Goro Shimura (en 1977) o Andrew Wiles en 1997. La frecuencia de ambos ha ido cambiado con el paso del tiempo.


Fuentes y enlaces para profundizar:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

10 Comentarios

  1. Parece como si en alguna transcription alguien cambio un UNO por un SIETE:

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  2. Jesús, se especuló con esa idea, pero se rechazó ya que al parecer Mersenne escribió ese 67 en varios sitios, por lo que parece que en realidad quería escribir 67.

    Omar-P, ¿primo cíclope?

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  3. En matemática recreativa algunos autores denominan cíclopes (Cyclops numbers) a los números que tienen un número impar de dígitos y un único cero, si este cero es el dígito central. Por lo tanto también hay primos cíclopes. El cero representa el ojo del cíclope.

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  4. .
    “Tres años de domingos” …

    Ahora, sin embargo, cualquiera puede descomponer ese número en sus factores primos empleando software gratuito antes de que haya podido levantar el dedo de la tecla “Enter”. Por ejemplo:

    run “ECMX.UB”
    Prime Factorization by ECM

    Input an integer =? 2^67-1 [ENTER]

    ADLEMAN Test for 147573952589676412927
    Power Check 3 2
    EC METHOD with limit ( B1= 2613 B2= 104520 )
    Curve 1
    ADLEMAN Test for 193707721
    ADLEMAN Test for 761838257287

    147573952589676412927 =
    193707721 * 761838257287

    en escasas centésimas de segundo.

    Saludos y buen finde.

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  5. La forma en que Cole presentó su hallazgo es extraordinaria. Uno nunca se cansa de volver a leer esta maravillosa anécdota.
    Por otro lado Édouard Lucas tardó 19 años en calcular que 2^127 – 1 era primo. Empezó cuando tenía quince años en 1857 y terminó en A1876. Ese mismo año descubrió que 2^67 – 1 era compuesto.

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  6. Pues si, hernan, el 257 resultó compuesto:

    run
    Prime Factorization by ECM

    Input an integer =? 2^257-1

    ADLEMAN Test for 231584178474632390847141970017375815706539969331281128078915168015826259279871
    Power Check 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
    EC METHOD with limit ( B1= 92153 B2= 3686120 )
    Curve 1 2 3
    ADLEMAN Test for 535006138814359
    ADLEMAN Test for 432862656469423142931042426214547535783388063929571229938474969

    Power Check 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
    EC METHOD with limit ( B1= 52657 B2= 2106280 )
    Curve 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124
    ADLEMAN Test for 1155685395246619182673033
    ADLEMAN Test for 374550598501810936581776630096313181393

    231584178474632390847141970017375815706539969331281128078915168015826259279871
    =
    535006138814359 * 1155685395246619182673033 * 374550598501810936581776630096313181393

    Saludos
    .

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  7. los factores de la descomposición de M67 están mal escritos.

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