El fractal de Fibonacci, una auténtica belleza de construcción

Hay entes matemáticos que, por alguna misteriosa razón, necesitan tener protagonismo, necesitan sentirse importantes. Para conseguirlo intentan por todos los medios aparecer en cualquier situación, en cualquier lugar. O al menos eso parece.

Uno de ellos, como ya sabemos, es el número \pi, al que podemos encontrar en los lugares más insospechados (como en la probabilidad de escoger dos números primos relativos). El número e no le va a la zaga, también aparece en lugares donde no se le espera (el matching problem es un buen ejemplo). Y, sin lugar a dudas, el número áureo, \phi, y, en general, la sucesión de Fibonacci poseen la misma característica. La podemos encontrar junto al triángulo de Pascal, en animales y tarjetas o en otras situaciones relacionadas con la naturaleza. Pero, ¿en un fractal? Pues sí amigos, la sucesión cuyo estudio comenzó Leonardo de Pisa, Fibonacci, es otro de esos conceptos matemáticos que nunca dejarán de sorprendernos.

ClaraGrima tampoco dejará de sorprendernos nunca. En lo que se refiere a las matemáticas, nos sorprende gratamente cada dos semanas (más o menos) con Mati y sus Mateaventuras, blog que escribe dentro de Pequeño Libro de Notas. Ahí es donde ella habló hace unos días sobre el fractal de Fibonacci, construcción que paso a contaros con su permiso (gracias por las imágenes Clara).

Partimos de un triángulo rectángulo isósceles (es decir, con sus dos catetos iguales) como el de la figura:

Trazamos la altura desde el ángulo recto, dividiendo así el triángulo inicial en dos triángulos rectángulos iguales. En uno de ellos volvemos a hacer lo mismo, dividirlo en dos más pequeños, y borramos uno de ellos. Estamos en esta situación:

De entre los triángulos que han quedado sin borrar elegimos el de mayor área y lo coloreamos de otro color, verde por ejemplo. Tenemos lo siguiente:

Ahora hacemos lo mismo con este triángulo verde. Trazamos la altura desde el ángulo recto y en una de las dos mitades volvemos a trazar la altura desde el ángulo recto y borramos una de las dos partes creadas. Queda así:

De la figura resultante seleccionamos los triángulos que tengan mayor área y los coloreamos de verde. Ahora queda dos:

Y seguimos igual. En cada uno de esos triángulos verdes trazamos la altura desde el ángulo recto, dividiéndolos así en dos mitades, y ahora en una de las mitades de cada triángulo hacemos lo mismo y borramos otro trocito:

¿Cuántos hay ahora con la mayor área posible? Pues tres, los coloreados de verde:

Repetimos el proceso en esos tres triángulo, y al finalizarlo coloreamos los que tenga mayor área…que resultan ser cinco:

Y si hacemos lo mismo en estos cinco, al final del proceso obtenemos ocho triángulos verdes:

Y una vez más…¿Cuántos triángulos acabarán coloreados de verde ahora? Pues sí, 13:

Y en la próxima habrá…exacto, 21:

Parece clara la regularidad que siguen las diversas cantidades de triángulos que coloreamos de verde, ¿verdad?: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…Vamos, los elementos de la sucesión de Fibonacci.

Si eliminamos las líneas sobrantes y coloreamos igual todos los triángulos que nos han quedado obtenemos el siguiente elemento de la sucesión de Fibonacci, 34 en este caso:

Y si añadimos todos los triángulos que habíamos eliminado y coloreamos con el mismo color los que tenga la misma área volvemos a obtener los elementos de la sucesión de Fibonacci (contando los que tiene el mismo color):

No me negaréis que es precioso, ¿verdad? De las construcción más curiosas, interesantes, sorprendentes y bellas (en el sentido matemático) que he visto en los últimos tiempos.

Este fractal de Fibonacci se conoce también como el Racimo de Grossman por su “autor”, George W. Grossman, quien dio una descripción del mismo en Fractal Construction by Orthogonal Projection using the Fibonacci Sequence (pdf) en 1997.


Y ahora es cuando pido vuestra ayuda en forma de comentario: ¿tenéis constancia de más propiedades interesantes y poco conocidas sobre la sucesión de Fibonacci? Y ya puestos: ¿algún otro fractal tan curioso como éste? A ver cuántos hechos interesantes somos capaces de aportar.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

16 Comentarios

    • con solo ver la estructura fractal de un arbol y la sucesion de fibonacci en sus ramas basta

      Publica una respuesta
  1. Al hacer el dibujo te has equivocado en un par de pasos, por lo que a partir de un momento lo que muestras no es la imagen real del fractal, en esta imagen te muestro los fallos (rojo = mal , marrón = bien)
    http://i41.tinypic.com/b3pv12.jpg

    Publica una respuesta
  2. Una generalización del triángulo y del cuadrado (alfombra) fractales de Sierpinski a polígonos fractales de n lados cualesquiera, estructurados espacialmente como matrices de m x m y con o capas concéntricas (n, m y o son enteros positivos independientes los unos de los otros. (o está limitado por la magnitud/valor de m)).

    http://society6.com/sopadeajo

    PS: El enlace es informativo, no para vender.

    Publica una respuesta
  3. https://oeis.org/A215010

    Esto ya no es un tema fractal, pero sigue siendo geometría (con medidas enteras): Polígonos con todos los lados de longitud números enteros; en este caso hexágonos. Sería interesante intentar descubrir otros polígonos de n6 lados con la misma propiedad o demostrar que no pueden existir. Ignoro qué literatura matemática existe sobre el tema, soy un amateur.

    Publica una respuesta
  4. 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144…
    1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144…
    1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144…
    1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144…..
    y a tí las cosas importan
    y a mí los meses comunes
    y a él las nubes sabídas

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com... Valora en Bitacoras.com: Hay entes matemáticos que, por alguna misteriosa razón, necesitan tener protagonismo, necesitan sentirse importantes.…
  2. El fractal de Fibonacci, una auténtica belleza de construcción - [...] "CRITEO-300x250", 300, 250); 1 meneos El fractal de…
  3. El fractal de Fibonacci, una auténtica belleza de construcción - [...] los comentarios 1 visto 1 alma 20…
  4. El fractal de Fibonacci, una auténtica belleza de construcción - [...] El fractal de Fibonacci, una auténtica belleza de construcción gaussianos.com/el-fractal-de-fibonacci-una-autentica-bell...  por adrianmugnoz hace nada [...]
  5. Sugerencias Virtuales de la Semana (del 16 al 22 de enero) « La Peña Bermeja - [...] Galletitas de la felicidad hechas trizas (fraccionadas) [...]
  6. El fractal de Fibonacci, una auténtica belleza de construcción | Cuéntamelo España - [...] » noticia original Comparte [...]
  7. El fractal de Fibonacci, una auténtica b... - […]   […]

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *