El lema de Sperner

Vamos a realizar un experimento:

Dibujemos un triángulo y numeremos sus vértices con los números 1, 2 y 3. Ahora subdividamos este triángulo en triángulos más pequeños. Con esto nos habrán aparecido nuevos vértices de triángulos que también vamos a numerar. Los vértices que hayan aparecido entre el vértice 1 y el 2 del grande los numeraremos con unos o doses a nuestro gusto, los que hayan aparecido entre el 2 y el 3 los numeraremos con doses o treses a nuestra elección, y lo mismo con el otro lado. Los vértices de los triángulos que hayan quedado dentro del grande los numeraremos como queramos, es decir, les asignaremos 1, 2 ó 3 según nos apetezca.

¿Todo hecho?. Bien. Pues yo os aseguro que al menos uno de los triángulos pequeños que han aparecido al subdividir cumple que sus vértices están numerados igual que el grande, es decir, uno de sus vértices tiene un 1, otro un 2 y el otro un 3 (de hecho parece ser que el número de triángulos pequeños que tienen esa numeración es siempre impar).

Aquí os dejo un ejemplo:

La razón por la que esto ocurre está en el lema de Sperner1, resultado equivalente al famosísimo teorema del punto fijo de Brouwer.

(Fuente: Math Fun Facts)

1: Emanuel Sperner fue un matemático alemán nacido en 1905 y fallecido en 1980. Sus aportaciones principales a las matemáticas fueron el teorema de Sperner y el lema de Sperner.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

7 Comentarios

  1. Los teoremas de existencia son mis favoritos. Puede que no sepas donde está, puede que no sepas como buscarlo, pero sabes que está ahí.

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  2. Sí, es una pena que en muchas ocasiones no se tenga una demostración constructiva de un cierto hecho (es decir, una demostración que nos diga que algo existe y además cómo encontrarlo) pero siempre viene bien saber que cierta cosa se encuentra ahí.

    Y ese es el caso del teorema del punto fijo: bajo ciertas condiciones sabemos que una función tiene un punto fijo, aunque puede que no sepamos calcularlo. A veces parece que eso da poca información, pero en realidad tiene multitud de aplicaciones y es muy muy útil.

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  3. Tramquilo, Naan está más que acostumbrada a usar Teoremas del Punto Fijo. ;-)

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  4. Uhmmm…ese comentario me ha sonado a coña :P .

    -naan- ¡dile algo mujer! :D

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  5. lema de hensel
    lema de cauchy
    lema de gauss
    lema de poincaré
    lema de schun
    lema de besicovitch
    ……
    esse é apenas mais um dentro desse contexto matematico….mesmo assim eu amo essa loucura que mexe com a nossa mente e nos deixa em um universo paralelo…abrazos a todos!

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