El mALEPHicio del infinito

Esta historia es continuación de Qué extraño es el infinito.

En el capítulo anterior dejamos a un viandante descubriendo cosas sobre el infinito. Esta persona tenía un nombre, que revelo ahora: Red Plockenokerol. Puede que su, digamos, rechazo inicial a la idea de infinito matemático provenga de su nombre. La cuestión es que al final claudicó, aunque fuera solamente en su propia mente, no le quedó otro remedio.

Pero por suerte (o por desgracia, quién sabe), la historia no acabó ahí.

Ringggggg

Suena el teléfono en la redacción de la revista Infinity,

Redacción de Infinity, Dígame.

Buenos días. Mi nombre es Red Plockenokerol. Quería hablar con Albert Vidhid.

Lo siento señor Plockenokerol, pero el señor Albert Vidhid se encuentra en el extranjero realizando una serie de reportajes. Si quiere puede comentarme qué es lo que quería por si yo puedo ayudarle.

Pues…verá. Un día me lo encontré por la calle y me hizo algunas preguntas sobre el infinito…a raíz de las cuales me enseñó unos documentos…Bueno, la cosa es que me han surgido algunas dudas después de pensar en ellos y quería saber si él me podía ayudar. Por cierto, ¿cuál es su nombre?

Ah, perdone, no me he presentado. Mi nombre es Roger Toncag. Sobre sus dudas, creo que yo estaré lo suficientemente capacitado para ayudarle (normal, con ese nombre…). Podemos quedar esta misma tarde y hablamos.

De acuerdo. ¿Dónde podemos vernos?

La cafetería Far Away creo que será buen lugar. A las 18:00 nos vemos allí.

Perfecto. Hasta esta tarde.

Ahí terminó la conversación. Pero no nuestra historia. De hecho ésta no había hecho más que comenzar…

El reloj marca las 17:58. Red Plockenokerol ha sido excesivamente puntual, quizás por la ansiedad que le provoca no saber qué va a encontrarse, qué nuevo mundo se abrirá ante sus ojos. A lo lejos ve a un señor con traje que se acerca a la puerta de Far Away. Al llegar a su altura pregunta.

Roger Toncag: ¿El señor Plockenokerol?

Red Plockenokerol: Soy yo. Supongo que usted será el señor Toncag.

R.T.: Exacto. Entremos.

Entraron en la cafetería y se sentaron en una mesa al fondo, al lado de una ventana.

R.T.: Bueno, usted dirá. ¿Cuáles eran esas dudas?

R.P.: Bien, verá. El señor Vidhid me estuvo explicando cosas sobre el infinito y sus curiosas propiedades a través de la historia del hotel de Hilbert. Esta curioso hotel me ha hecho pensar y me ha surgido una duda. ¿Todos los infinitos son iguales? Hace un tiempo habría dicho que sí rotundamente, pero si le digo la verdad ahora no lo tengo tan claro.

R.T.: Creo que ha dado con la persona perfecta para aclararle este tema. Como supogno que mi amigo Albert ya le habló de los conjuntos finitos e infinitos vamos a comenzar poniendo nombre a un cierto tipo de conjuntos. Diremos que un conjunto es infinito numerable (o simplemente numerable) si puede ponerse en correspondencia uno a uno con el conjunto de los naturales positivos. A partir de esto la cuestión sobre la que usted duda es ver si todo conjunto infinito es numerable o si, por el contrario, hay conjuntos infinitos que no se pueden numerar.

R.P.: Por lo que veo usted llama numerar un conjunto infinito a poner en correspondencia biunívoca ese conjunto con los naturales positivos, ¿verdad?

R.T.: Exacto, eso es numerar un conjunto infinito. Voy a proponerle un juego. Imagine que yo pienso un número natural positivo y le reto a que lo adivine. Las normas son que cada día usted puede decir un único número natural. El día que lo adivine recibirá un premio. ¿Puede imaginar alguna estrategia para ganar?

R.P.: Hombre, es sencillo. EL primer día digo el 1. El segundo día el 2. El siguiente el 3. Y así sucesivamente. Debe llegar algún día en el que diga el número que ha pensado.

R.T.: Muy bien, perfecto. Ahora, con las mismas reglas que antes, pienso un número entero que no sea cero. ¿Tenemos estrategia?

R.P.: Pues…veamos. El primer día digo el 1. El segundo el -1. El tercero el 2. El cuarto el -2. Y continúo así.

R.T.: ¡Correcto! Y además fíjese lo que acaba de hacer: ha puesto en correspondencia biunívoca el conjunto de los números naturales con el conjunto de los números enteros distintos de cero. El segundo conjunto parece tener más elementos, pero en cuestión de infinito es igual que el primero, ya que puede ponerse en correspondencia biunívoca con él. En consecuencia podríamos decir que hay tantos elementos en \mathbb{Z} como en \mathbb{N}.

R.P.: Vaya, qué curioso. Esto me suena al hotel de Hilbert.

R.T.: Lógico, ya que este problema es en esencia igual que el segundo problema que se plantea en la historia del hotel. Vamos con otro problema del mismo tipo pero algo más complicado. ¿Qué estrategia podríamos usar si en vez de pensar en un número pienso en dos números naturales positivos (podría ser el mismo número repetido)?

R.P.: Eso ya parece algo más complicado. Me da que no va a poder hacerse…

R.T.: Pues sí se puede. Fíjese que para cada n sólo hay n parejas (es decir, un número finito de parejas) en las que el número mayor es n. Por ejemplo, para el 4 tenemos las siguientes parejas de ese tipo: (1,4),(2,4),(3,4),(4,4). Por tanto, para el 1 sólo hay un par donde el 1 es el mayor: (1,1). Para el 2 hay dos parejas: (1,2),(2,2). Y así sucesivamente. Por tanto colocándolas en el orden (1,1),(1,2),(2,2),(1,3),(2,3),(3,3),(1,4),(2,4),(3,4),(4,4), \ldots llegaríamos a acertar el par de números.

R.P.: Vaya, no lo había pensado.

R.T.: De hecho hay más. Podríamos hacer algo parecido si además se pidiera que adivinara el orden en que están escritos los dos números simplemente nombrando cada pareja de números distintos en sus dos órdenes posibles. Algo así: (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(3,3),(1,4),(4,1), \ldots. Con esto conseguimos algo que en principio puede parecer sorprendente: asociando cada pareja (r,s) con la fracción \textstyle{\frac{r}{s}} tenemos que en el primer caso hemos puesto todas las fracciones positivas cuyo numerador es menor o igual que su denominador en correspondencia biunívoca con los números naturales positivos y en el segundo caso hemos puesto en correspondencia uno a uno todas las fracciones positivas en correspondencia uno a uno con el mismo conjunto, con los naturales positivos.

R.P.: De hecho ahí hay más fracciones, porque habría fracciones repetidas, por ejemplo \textstyle{\frac{2}{4}} y \textstyle{\frac{3}{6}} son la misma fracción.

R.T.: ¡Muy bien! Veo que lo entiende. Por tanto hemos hecho algo que en principio atenta totalmente con cualquier tipo de razonamiento: extendiendo un poco el razonamiento (colocando los signos – cuando fuera necesario) hemos demostrado que en el conjunto de las fracciones, \mathbb{Q}, y el conjunto de los naturales, \mathbb{N}, hay el mismo número de elementos.

R.P.: Impresionante, nunca lo habría pensado. Pero ahora que lo veo en realidad tiene sentido.

R.T.: Claro que lo tiene. Hasta podríamos hacer más. Podríamos poner en correspondencia uno a uno todos los subconjuntos finitos de los naturales positivos con el propio conjunto de los naturales positivos. La forma de hacerlo se la dejo a usted, no voy a hacer yo todo el trabajo (Nota: esto os toca a vosotros en los comentarios).

R.P.: Muy bien, creo que ya me veo preparado para pensarlo. Pero antes de eso una pregunta: supongo que entonces también se podrá hacer lo mismo con todos los subconjuntos, ya sean finitos o infinitos, de \mathbb{N} y el propio \mathbb{N}, ¿no?

R.T.: ¡Ese es el punto más interesante! ¡No se puede! ¡Ese fue el gran descubrimiento del matemático Georg Cantor! Aquí tiene este texto que le he preparado justo para este momento. Léalo mientras pido otro café.

Nuestro amigo Plockenokerol comenzó a leer:

Georg Cantor fue un matemático alemán nacido a mediados del siglo XIX y que murió en la primera mitad del siglo XX. Principalmente es conocido por sus estudios en teoría de conjuntos, concretamente en los avances que realizó en relación con los conjuntos infinitos.

Cantor estaba convencido de que todos los conjuntos infinitos tenían la misma cantidad de elementos, es decir, todos se podían poner en correspondencia biunívoca con el conjunto de los números naturales positivos. Por ello dedicó gran parte de su vida a demostrar ese hecho. Tomó conjunto relativamente grandes, de los que pensaba que no cumplirían su idea, e intentó buscar formas de ponerlos en correspondencia uno a uno con \mathbb{N}. Fue consiguiéndolo con todos…hasta que llegó a P(\mathbb{N}), partes de \mathbb{N}, conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos, finitos e infinitos, de \mathbb{N}. Con éste no pudo. Ni él mismo salía de su asombro al darse cuenta de su propio descubrimiento. De hecho es famosa esta frase suya referida a dicho descubrimiento:

¡Lo veo, pero no lo creo!

Llamando cardinal a la cantidad de elementos de un conjunto, se sabe por teoría de conjunto que el cardinal del conjunto de partes de un conjunto de n elementos es 2^n. Cantor llamó \aleph_0 al cardinal de \mathbb{N}.Infinito-Alephs
Como P(\mathbb{N}) tiene más elementos, cómo hemos visto antes, su cardinal necesitaba otro nombre. Este fue \aleph_1.Por tanto, según Cantor, 2^{\aleph_0}=\aleph_1. Y así podríamos continuar, construyendo entonces una serie de cardinales de conjuntos, llamados números transfinitos: \aleph_0, 2^{\aleph_0}=\aleph_1,2^{\aleph_1}=\aleph_2, \ldots. De hecho también demostró que el cardinal de P(\mathbb{N}) es igual que el cardinal de \mathbb{R}. Por tanto, el conjunto de partes de \mathbb{N} tiene la misma cantidad de elemento que \mathbb{R}, por lo que \mathbb{R} no es numerable.

Este fue el gran descubrimiento de Cantor. Aunque al principio este gran avance no fue aceptado por sus colegas (como suele pasar con temas que rompen tan radicalmente con el pensamiento de la época en cuestión), ni siquiera por su maestro Leopold Kronecker, al final fue aceptado por toda la comunidad de matemáticos (al menos de los serios, ya que siempre hay alguien que intenta demostrar lo contrario).

R.P.: ¡Vaya, sorprendente! Por un lado es una lástima dedicar tanto tiempo de tu vida a demostrar algo que resulta ser falso, pero por otro lado es emocionante haber abierto la puerta del mundo de los cardinales transfinitos al resto de la comunidad científica. Qué grande este Georg Cantor.

R.T.: Pues sí, la verdad es que sí. Por cierto, ¿no ha notado algo extraño en el texto que acaba de leer? ¿No ve raro que pusiera \aleph_1 como nombre del cardinal de \mathbb{R}?

R.P.: SI le digo la verdad no había caído.

R.T.: ¡Pues ese fue (y sigue siendo) uno de los problemas más interesantes de las matemáticas desde ese momento! Se denomina hipótesis del continuo (a \mathbb{R} se le denomina “el continuo”). Cantor conjeturó que no hay conjuntos cuyo cardinal esté entre \aleph_0 y \aleph_1.

R.P.: ¿Y qué ocurrió con este tema? ¿Se sabe cuál es la realidad?

R.T.: Pues la realidad es que…es válida tanto la conjetura de Cantor como su negación. Kurt Gödel demostró que podemos crear una teoría de conjuntos consistente tomando la HC como cierta (no hay ningún conjunto cuyo cardinal esté entre \aleph_0 y \aleph_1) y Paul Cohen demostró que se puede hacer lo mismo tomándola como falsa (hay infinitos números transfinitos entre cada dos escalones). Por ello la conjetura es indecidible en el seno de la teoría de conjuntos que se suele utilizar en la actualidad.

R.P.: ¿Y qué hacemos entonces?

R.T.: Pues en este caso suele tomarse como cierta, es decir, suele asumirse que entre \aleph_0 y \aleph_1 no hay ningún número transfinito. Bueno, creo que ya es suficiente por hoy, ¿no?

R.P.: Sí, la verdad es que creo que la tarde ha sido suficientemente productiva. Mejor lo dejamos por hoy. Espero que volvamos a vernos en alguna ocasión para seguir charlando sobre este tema.

R.T.: Quién sabe, amigo Plockenokerol, quién sabe.

Nuestros amigos Roger Toncag y Red Plockenokerol salieron de la cafetería Far Away después de unas cuantas horas bastante fructíferas en lo que transmisión y adquisición de conocimientos se refiere. ¿Se volverán a encontrar algún día? El tiempo lo dirá.

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26 comentarios

  1. Rosa | 13 de julio de 2009 | 09:10

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    Fantástico¡ :)

  2. S70lz | 13 de julio de 2009 | 09:44

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    Muy bonito, estoy aprendiendo mucho con el señor Plockenokerol, espero que se vuelvan a encontrar otro día :P

  3. Dani | 13 de julio de 2009 | 10:19

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    Genial ^DiAmOnD^!!! Un montón de ideas muy profundas explicadas de manera muy intuitiva. Para \mathcal{N}=\{ X \subset \mathbb{N}: \quad |X|<\aleph_0\} se me ocurre esto: \mbox{\mathcal{N}=\{ X \subset \mathbb{N}: \quad |X|=0\} \cup \{ X \subset \mathbb{N}: \quad |X|=1\} \cup \{ X \subset \mathbb{N}: \quad |X|=2\} \ldots} Pero |\{ X \subset \mathbb{N}: \quad |X|=k\}| \leq |\mathbb{N}^k|=\aleph_0 , y además cada uno de estos es infinito por lo que tenemos que |\{ X \subset \mathbb{N}: \quad |X|=k\}|=\aleph_0 \quad \forall k \in \mathbb{N} Pero entonces tenemos que \mathcal{N} es unión numerable de conjuntos numerables, lo que implica que es numerable.
    Ahora a ver si se me ocurre una manera intuitiva de ponerlo en correspondencia con los naturales! :)

  4. Dani | 13 de julio de 2009 | 10:33

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    Quizás se pueda hacer esto: primero elegimos todos los subconjuntos de los naturales que tengan al 1 como elemento mayor (bueno, antes escogemos al vacío):
    1 \rightarrow \emptyset
    2 \rightarrow \{1\}
    Luego elegimos a todos los subconjuntos que tengan al 2 como elemento mayor, empezando por los de cardinal 1 y luego por los de cardinal 2:
    3 \rightarrow \{2\}
    4 \rightarrow \{1,2\}
    Luego elegimos a todos los subconjuntos que tengan al 3 como elemento mayor, empezando por los de cardinal 1, luego por los de cardinal 2 y luego por los de cardinal 3.
    5 \rightarrow \{3\}
    6 \rightarrow \{1,3\}
    7 \rightarrow \{2,3\}
    8 \rightarrow \{1,2,3\}

    Como vemos la manera de ordenarlos siempre es la misma, prioridad de izquierda a derecha, asegurando un orden creciente al ir avanzando por “columnas”. Así la siguiente sección sería:

    9 \rightarrow \{4\}
    10 \rightarrow \{1,4\}
    11 \rightarrow \{2,4\}
    12 \rightarrow \{3,4\}
    13 \rightarrow \{1,2,4\}
    14 \rightarrow \{1,3,4\}
    15 \rightarrow \{2,3,4\}
    16 \rightarrow \{1,2,3,4\}
    \vdots

    Así iríamos numerando todos los subconjuntos finitos de \mathbb{N}, aunque por supuesto no formaríamos ningún subconjunto infinito. Esto da una prueba constructiva a lo que ya demostré en el comentario anterior: |\mathcal{N}|=| \{ X\subset \mathbb{N}: \quad |X|<\aleph_0 \}|=\aleph_0

  5. Fran | 13 de julio de 2009 | 13:49

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    ¡Muy bueno! He disfrutado como un niño al que le cuentan un cuento.

  6. Andor | 13 de julio de 2009 | 13:50

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    Tengo una pregunta:
    ¿Se pueden poner los números algebraicos en correspondencia biunívoca con los naturales?
    Yo pienso que si, dado que al ser los algebraicos las raíces de todo polinomio con coeficientes racionales se podría escribir cada coeficiente en forma de fracción y tendríamos un número finito (¿O infinito?) de coeficientes racionales, que viene a ser numerable, correspondiendo con cada número algebraico.
    Según ese razonamiento serían los números trascendentales los que darían al conjunto de los reales el cardinal \aleph_1. ¿Es eso cierto?

    Y otra cuestión: ¿Por qué \aleph_n=2^{\aleph_{n-1}}? o lo que es lo mismo ¿Por qué hay exactamente una cantidad de números reales igual al antilogaritmo en base 2 de la cantidad de números naturales? ¿Por qué no el doble o el cuadrado o cualquier otra cantidad?

    Muchas gracias de antemano.

  7. Dani | 13 de julio de 2009 | 14:55

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    Los números algebraicos sí son numerables. La demostración es la siguiente:
    LLamemos al conjunto de los numeros algebraicos \mathcal{A}. Si tenemos un número x \in \mathcal{A} quiere decir que es la raiz de un polinomio de coeficientes racionales. Ese polinomio tendrá un grado, por lo que será raiz de un polinomio de cierto grado (puede que lo sea de polinomios de distintos grados, pero al menos lo es de uno). Lo que entonces está claro es que:
    \mathcal{A}=\mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2 \cup \mathcal{A}_3 \cup \mathcal{A}_4 \cdots donde \mathcal{A}_k es el conjunto de números que son raiz de algún polinomio de grado k (por supuesto la unión no es disjunta).

    Muy bien, ahora nos damos cuenta de que el conjunto de polinomios de grado k con coeficientes racionales, \mathbb{Q} [X]_k se puede poner en biyección (y por lo tanto tiene el mismo cardinal que) \mathbb{Q}^k, que como sabemos es numerable. (si el polinomio es aX^2 + bX + C, le asociamos la terna (A,B,C). Para ser justos, no es una biyección, pues los polinomios de segundo grado como éste deben tener el primer elemento de la terna, A, no nulo, pero es fácil ver que esto no es importante y en efecto el cardinal no varía por este detalle)

    Entonces, como A_k = \{ x : \quad \exists P(X) \in \mathbb{Q} [X]_k, \, \, P(x)=0\}= \bigcup_{P(X) \in \mathbb{Q} [X]_k} \{x: \quad P(X)=0\} , y además como dado un polinomio de grado k existirán como mucho k raices no complejas (y por lo tanto |\{x: \quad P(X)=0\} | \leq k ) tenemos que A_k es unión numerable de conjuntos finitos, y por lo tanto es numerable. Concluimos entonces que |A_k|=\aleph_0 \quad \forall k \in \mathbb{N}.

    Pero ahora recordamos que \mathcal{A}=\mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2 \cup \mathcal{A}_3 \cup \mathcal{A}_4 \cdots , por lo que el conjunto de números algebraicos es unión numerable de conjuntos numerables, lo que implica que es también numerable, y entonces |\mathcal{A}|=\aleph_0 En efecto, son los números trascendentaless los que hacen que los reales sean no numerables. Los números algebraicos tienen medida cero dentro de los reales.

  8. Dani | 13 de julio de 2009 | 15:07

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    Uy, me lié un poquito con las x y las X en mi notación arriba, pero creo que se entiende lo que quería decir. Por otra parte, es cierto que \aleph_n=2^{\aleph_{n-1} por esta razón: Para conjuntos finitos es un resultado bien conocido que si un conjunto tiene k elementos, el conjunto de sus subconjuntos, es decir, las partes del conjunto, tiene 2^k elementos (hay muchas demostraciones de este hecho, desde combinatoria hasta inducción, ¿cuáles conocéis?). Cantor desarrolló la teoría de cardinales para conjuntos infinitos, y resultó que tal como lo construyé él este hecho sigue siendo cierto.
    Así pues, \aleph_1=|\mathbb{R}|=|P(\mathbb{N})|=2^{|\mathbb{N}|}=2^{\aleph_0}. La justificación de este hecho en este caso particular es darse cuenta de que cuando escoges un subconjunto de los naturales realmente lo que haces es construir una sucesión de ceros y unos. En la posición k-ésima de la sucesión escribes un 1 si el número k pertenece a tu subconjunto y un 0 si no. Así pues |P(\mathbb{N})|=|\{f:\mathbb{N} \rightarrow \{0,1\} \}|, y como el cardinal del conjunto de funciones de un conjunto de cardinal a a otro de cardinal b es b^a (quien se anima a demostrarlo? ;) ), tenemos que |\{f:\mathbb{N} \rightarrow \{0,1\} \}|= | \{0,1\} | ^{ | \mathbb{N} | } = 2^{ \aleph_0}

  9. Andor | 13 de julio de 2009 | 15:12

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    Muchas gracias, todo comprendido.

  10. vengoroso | 13 de julio de 2009 | 19:37

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    Una curiosidad que viene solo parcialmente al caso (aviso: teclado guiri -> no tildes ni enies, ^DiAmOnD^, si quieres puedes editar el comentario para hacerlo mas legible).

    Dani dice “el cardinal del conjunto de funciones de un conjunto de cardinal a a otro de cardinal b es b^a (quien se anima a demostrarlo?”

    Aqui tenemos un ejemplo de como hemos abstraido tanto el concepto de numero (natural) que a veces nos olvidamos de su significado. Los numeros naturales aparecen como una abstraccion de la idea de conjunto finito. Tenemos conjuntos de cosas (ovejas, monedas) y nos interesa saber cuando uno de los dos “tiene mas” o cuando tenemos “las mismas”, y nos aparecen los numeros a partir de la idea de cardinal de un conjunto. Si consideramos dos conjuntos como equivalentes cuando podemos establecer una correspondencia 1 a 1 entre sus elementos, los numeros naturales nos surgen como las clases de equivalencia de esta relacion (si a alguno le gusta mucho la teoria de categorias, esto se puede reformular en ese lenguaje de manera muy elegante).

    Si denotamos por \#A al cardinal de un conjunto (finito) A, podemos ver como las “operaciones” de numeros naturales surgen tambien a partir de operaciones con conjuntos: la “suma” \#A + \#B de los cardinales de A y B se define como el cardinal de la union disjunta \#(A\amalg B), el “producto” como el cardinal del producto cartesiano \#(A\times B), y asi sucesivamente.

    Desde este punto de vista, el exponencial b^a es por definicion el cardinal del conjunto de aplicaciones de A a B.

    Todo esto no quita que se pueda demostrar aritmeticamente usando combinatoria (que es un buen ejercicio), pero queria comentar este punto de vista.

    Es curioso que (a nivel de investigacion puntera) existen muchos resultados en teoria de numeros y teoria combinatoria implicando igualdades entre numeros naturales que nunca se han conseguido demostrar de manera aritmetica, sino tan solo construyendo biyecciones entre conjuntos. Conozco teoricos de numeros a los que esto les molesta muchisimo y pasan horas buscando demostraciones alternativas que no necesiten biyecciones. Otros matematicos (sobre todo gente trabajando en teoria de categorias, pero tambien algun fisico-matematico) insisten en que este es el modo natural de “contar” y se dedican a reescribir formulas aritmeticas cambiando igualdades por biyecciones (isomorfismos en la categoria de conjuntos).

    Asi como lo he contado la cosa parece una paja mental, pero hay matematicas profundas bajo os dos puntos de vista. Las demostraciones puramente aritmeticas proporcionan resultados que pueden extenderse a situaciones infinitas con mayor facilidad que una demostracion “conjuntista” (que suelen necesitar el axioma de eleccion para extenderse bien). La reescritura conjuntista de formulas aritmeticas es parte de un proceso llamado “categorificacion” que pretende unificar muchas areas diferentes de las matematicas.

  11. vengoroso | 13 de julio de 2009 | 19:40

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    Por algun motivo todas las formulas que contenian el simbolo del cardinal (la almohadilla) han salido mal. Espero que el texto no sea demasiado confuso :-/

  12. M | 13 de julio de 2009 | 23:21

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    Magnífica historia :) Pero hay algo que no es rigurosamente cierto. La expresión de Cantor “Lo veo, pero no lo creo” no hacía referencia al hecho de que P(\mathbb{N}) tenga cardinal mayor que \mathbb{N}, sino al hecho de que el continuo n-dimensional [0,1)^n tiene la misma potencia que [0,1). Esto lo comunicó Cantor a Dedekind en 1877 por carta, y gracias a su intervención Kronecker finalmente accedió a su publicación en el Journal de Crelle al año siguiente. Por entonces se creía que había más puntos en un cuadrado bidimensional que en un segmento.

    http://www.gap-system.org/~history/Biographies/Cantor.html

    Al respecto de lo que comenta vengoroso, comentar que en el libro “La saga de los números” (A. Córdoba, 2006) aparece una breve introducción a la construcción de los naturales por la vía de la aritmética de cardinales de conjuntos, así como de ordinales. Por cierto, incluye una demostración de la equivalencia entre el axioma de elección, el axioma del buen orden y el lema de Zorn.

  13. Dani | 14 de julio de 2009 | 13:33

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    Muy interesante lo que comenta verongoso… aunque desgraciadamente ya sabemos que intentar fundamentar toda la matemática en la teoría axiomática de conjuntos y en el cálculo proposicional nunca nos va a satisfacer… sin embargo yo tengo claro que si hubiese sido contemporáneo de Hilbert y Russell habría estado metido de lleno en su proyecto formalista jejeje. El libro que comenta M es uno de los que me sedujo a entrar en este maravilloso mundillo, y este año he tenido el placer de tener a Antonio Códoba como director de mi trabajo de Beca de Excelencia. Un gran tipo, sin ninguna duda- de estos matemáticos que ves que se les enciende una luz en los ojos cuando están comprendiendo o explicando algo.

    Por otra parte he visto que he usado ya dos veces el hecho de que la unión numerable de conjuntos numerables es numberable. Como no sé si todo el mundo conoce este resultado voy a dar una demostración corta, y así también queda para el que quiera echarle un vistazo.

    Sea \{A_n\}_{n \in \mathbb{N} colección numerada de conjuntos numerables, es decir |A_n| \leq \aleph_0 \quad \forall n \in \mathbb{N}, y sea A= \bigcup_{n \in \mathbb{N} } A_n su unión. Supondré ahora que de hecho todos los conjuntos de la familia tienen cardinal \aleph_0, pues si hay alguno que sea finito se puede ignorar a estos efectos, o incluir en otro de los conjuntos infinitos. Entonces:
    |A_n|=\aleph_0 \Rightarrow \exists f_n: \mathbb{N} \rightarrow A_n biyectiva \forall n \in \mathbb{N} Consideremos entonces f: \mathbb{N}^2 \rightarrow A definida de esta manera: f(i,j)=f_i(j) Si los A_i formaban A en unión disjunta, f es biyectiva. Si no, es fácil darse cuenta que en todo caso debe ser sobreyectiva. En cualquiera de los casos se deduce: \aleph_0 =| \mathbb{N} |=|\mathbb{N}^2 |\geq |A| Como por otra parte A es infinito y el menor cardinal que existe es el de los naturales tenemos |A| \geq \aleph_0. De las dos desigualdades se deduce |A|=\aleph_0 como queríamos demostrar.

  14. Trackback | 15 jul, 2009

    Brillantes transfinitos | Gaussianos

  15. Jose | 15 de julio de 2009 | 10:00

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    Hola!
    Me parece genial el artículo, pero me surge una duda en la parte en que se demuestra que los racionales positivos tienen el mismo cardinal que los naturales.

    Lo que se hace es básicamente ordenar los números racionales, pero en ese caso aparecerían repetidos muchos de ellos: 1 = 2/2 = 3/3…. o 1/2 = 2/4. En este caso no se tiene una correspondencia biunívoca, no? Me refiero, si el número 1/2 está situado en segundo lugar y el número 2/4 está en quinto lugar, a los números naturales 2 y 5 les está correspondiendo el mismo número, esto es, 1/2 ¿No?

    No sé, quizás de esta manera se puede demostrar que la cardinalidad de los racionales positivos es menor o igual que la de los naturales…

  16. Dani | 15 de julio de 2009 | 12:55

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    Sí, Jose, tienes razón. Por lo que has dicho tú tenemos |\mathbb{Q}|\leq |\mathbb{N}|. Pero como por otra parte \mathbb{N} \subset \mathbb{Q} tenemos también que |\mathbb{N}| \leq |\mathbb{Q}|, de donde se deduce que tienen el mismo cardinal. En mi argumentación hay dos puntos altamente no triviales en los que no creo que sea apropiado entrar aquí, (en parte por que las demostraciones son complejas, en parte por que puede que ^DiAmOnD^ entre al trapo viendo lo lanzado que está con este tema :) )aunque si quieres lo puedo escribir.

    Lo primero es el conocido Teorema de Cantor Schroeder Bernstein, que dice que si tienes dos conjuntos A y B, una aplicación inyectiva de A en B y otra inyectiva de B en A, entonces existe una biyección entre A y B. En cardinales esto se traduce a la conclusión a la que llegué. Yo argumenté: a \leq b y b \leq a \Rightarrow a=b. Esto para números reales es trivial, pero no está tan claro que la relación de orden siga existiendo para cardinales infinitos. El teorema de Cantor Schroeder Bernstein se encarga de esto. (de hecho el orden es hasta total, pero eso sí son palabras mayores, tendríamos que “Zornicar” ;) )

    Veamos el segundo punto, también necesario para justificar esto. Sabemos que si existe una aplicación inyectiva de A en B, entonces |A| \leq |B| (por definición casi). Pero ¿está claro que si existe una aplicación sobreyectiva de A en B entonces |A| \geq |B|? De hecho sí que está claro, por que sabemos que si existe una aplicación sobreyectiva de un conjunto a otro podemos formar una “inversa por la derecha” de tal manera que ésta sea inyectiva. En la construcción de esta “inversa por la derecha” inyectiva necesitamos el Axioma de Elección. Sin embargo con esto ya tenemos: ap. sobre de A en B \Rightarrow ap. iny de B en A \Rightarrow \quad |A| \geq |B| como queríamos.

  17. Trackback | 20 jul, 2009

    La diagonalización de Cantor | Gaussianos

  18. Trackback | 22 jul, 2009

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    Embajador del infinito | Gaussianos « El camello, el León y el niño. O la evolución del perro al lobo.

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  21. Trackback | 31 dic, 2009

    (Lo que yo considero) Lo mejor de 2009 en Gaussianos | Gaussianos

  22. Jairo | 10 de junio de 2010 | 17:00

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    Felicitaciones este artículo está bien interesante; también para Dani, por sus valiosas aportes, sinceras felicitaciones.

  23. infinitoalae | 24 de febrero de 2011 | 01:06

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    Albert Vidhid es david hilbert
    Roger Toncag es georg cantor
    Red Plockenokerol es leopold kroneker.
    muy ingenioso

  24. gaussianos | 24 de febrero de 2011 | 02:26

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    infinitoalae :D

  25. Emanuel | 11 de junio de 2011 | 06:50

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    lo que a mi me resulta mas interesante de los conjuntos infinitos es el hecho de que cualquier conjunto A sea coordinable con AxA. eso es tremendo

  26. gaussianos | 11 de junio de 2011 | 15:21

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    Cierto Emanuel, ciertamente sorprendente :)

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