El perro y los soldados

Hace un par de días una amiga me hablaba sobre un problema que había visto por internet, cuyo enunciado es el siguiente:

Un grupo de 400 soldados está preparado para marchar. Están colocados formando un cuadrado de 20 metros x 20 metros, y su mascota (un perro) está colocado en el centro de la primera fila. El grupo de soldados comienza la marcha con una velocidad constante, y perro empieza al mismo tiempo su marcha siguiendo el perímetro del cuadrado formado por los soldados en el sentido de las agujas del reloj, también a una velocidad constante. El perro ha sido entrenado de tal forma que cuando el grupo avanza 20 metros, él recorre el perímetro completo del cuadrado y vuelve a su posición del centro de la primera fila.

Los soldados han avanzado 20 metros, pero ¿qué distancia ha recorrido el perro?

Por internet pueden encontrarse algunas propuestas de solución. Lo que quiero es que consigamos dar con la solución correcta y con una explicación completa y satisfactoria de la misma. Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

129 Comentarios

  1. Supongamos que el sargento ordena que marchen nada más 20 metros y se queden en formación; el perro, inteligente él, decide esperar a que los soldados se detengan y luego empieza correr hasta cumplir su periplo. Es decir, el animal corre hacia arriba 30 mts, dobla a la derecha y se desplaza 20 mts; luego baja 20 mts, dobla hacia la izquierda 20 mts y finalmente sube 10 para llegar a su posición. 30+20+20+20+10 = 100 metros.

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  2. josejuan, justifícanos tu respuesta, háblanos del razonamiento que te ha llevado a ese resultado.

    Marcial, ese resultado no sirve, no cumple las condiciones del enunciado.

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  3. Este es un ejemplo de un típico ejercicio de física que puede resolverse por un sistema de coordenadas relativas. A simple vista diría que depende de las velocidades del perro y del grupo (Del cociente entre las velocidades)

    Pero como estamos en un blog de matemáticas parece ser que no será así =D

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  4. El perro recorrerá 91,23 metros.

    Para calcular la distancia recorrida por el perro, debemos dividir el recorrido en cuatro tramos. Los dos transversales y los dos en el sentido de la marcha. Mi suposición inicial es que el perro compensará la distancia ahorrada en recorrer el tramo descendente con la distancia adicional en recorrer el tramo ascendente. Por lo tanto, entre los dos tramos el perro deberá haber avanzado los 10 metros correspondientes al avance del grupo de soldados más el perímetro recorrido en ese mismo tiempo (20×2 = 40; 40+10 = 50 metros).

    Luego, los dos tramos transversales se corresponderán con una cuarta parte del avance cada uno, por lo que el perro recorrerá la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de 20m y 5m, lo que nos queda que por cada tramo el perro recorre 20,615 metros, lo que multiplicado por los dos lados transversales nos da 41,23 metros.

    Sumando ambos, nos queda los 91,23 metros de los que hablaba al comienzo.

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  5. Haciendo cálculos rápidos:

    L =  40 * (\sqrt{{ V^2 + W^2\over W^2}} + {V\over V + W} + {W\over W - V})

    Siendo V la velocidad del grupo y W la velocidad del perro. Aunque como dije antes, tratándose de una web de matemáticas dudo que sea el planteamiento correcto.

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  6. Sea la velocidad de los soldados (todo en el plano, claro)

    (0,K)

    y el factor que relaciona la velocidad (en módulo) del perro con la de los soldados

    a

    podemos ignorar el punto de partida del perro, de hecho, tanto da en qué punto del perímetro empieze, puesto que el requisito es que termine en el mismo punto cuando los soldados recorran sus 20 metros.

    Es fácil ver que las componentes de velocidad del perro cuando se desplaza a lo largo de las aristas del cuadrado formado por los soldados son (este, sur, oeste y norte respectivamente)

    V_{1}\vspace{1pt}=(0,-aK)
    V_{2}=\frac{aK}{\sqrt{a^{2}+1}}(-a,1)
    V_{3}\vspace{1pt}=(0,aK)
    V_{4}=\frac{aK}{\sqrt{a^{2}+1}}(a,1)

    fácil es ver también qué tiempo tarda el perro en recorrer la arista (teniendo en cuenta por supuesto que nó sólo él se mueve, sino también los soldados) y así los tiempos de cada arista son

    t_{1}=\frac{20}{(a+1)K}
    t_{2}=\frac{20}{Ka^{2}}\sqrt{a^{2}+1}
    t_{3}=\frac{20}{(a-1)K}
    t_{4}=\allowbreak t_{2}

    pero en el tiempo total (suma de esos cuatro), los soldados han recorrido 20 metros, por tanto debe cumplirse que

    (t_{1}+2t_{2}+t_{3})K=20

    expresión que cancela K quedándonos únicamente a como incógnita, expresión algo fea y no se si despejable, pero como esto es física y no matemáticas, podemos calcularlo numéricamente y nos da

    a=4.178

    cuyo valor es independiente de la velocidad de los soldados, mientras ésta sea constante (no acelerada) y con módulo no nulo.

    Por último, puesto que las velocidades (perro, soldados) están “ancladas”, el resultado también es independiente de la velocidad de los mismos (sino estuvieran “ancladas” sí podría influir), así, podemos asumir tranquilamente K=1_{m/s} y obtener

    \left\Vert t_{1}V_{1}\right\Vert +\left\Vert t_{2}V_{2}\right\Vert +\left\Vert t_{3}V_{3}\right\Vert +\left\Vert t_{4}V_{4}\right\Vert =\allowbreak 83.\,\allowbreak 561

    Digo yo…

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  7. Después del lío que he formado intentando resolver el problema, he obtenido que el perro recorre unos 47.447956 metros.

    Primero he considerado S_{1} + S_{2} + S_{3} +  S_{4} = 20, donde cada S es el espacio que recorren los soldados en el tiempo correspondiente t = (1, 2, 3, 4).

    Por otra parte, como ha indicado josejuan, si ambas velocidades son constantes, entonces deben ser proporcionales: V = Ku, donde V es la velocidad del perro, u la velocidad de los soldados y K la constante de proporcionalidad cuyo valor, introduciendo la nomenclatura que utilizo en el párrafo siguiente, es: K = \frac{\sqrt{u^{2}+V_{y}^{2}}}{u}

    A continuación he determinado cuáles son los tramos 1, 2, 3, 4… de manera que las velocidades resultantes (con el signo indicando la dirección para que quede más claro):
    V_{1} = (u, V_{y})\\ \\ V_{2} = (-\sqrt{u^{2}+V_{y}^{2}}, 0)\\ \\ V_{3} = (u, - V_{y}) \\ \\ V_{2} = (-\sqrt{u^{2}+V_{y}^{2}}, 0)

    Ahora, dado que el perro termina el recorrido exactamente a 20 metros del lugar en el que empezó, todo su recorrido longitudinal en la dirección de los soldados es igual a 20. Así, teniendo en cuenta que los recorridos 1 y 3 son iguales en términos del movimiento longitudinal en la dirección de los soldados, tenemos que:

    En t_{1} = t_{3} (el exponente “x” indicará que es el espacio recorrido en la dirección del movimiento de los soldados):
    \frac{e_{1}^{x}}{u} = \frac{S_{3}}{u} \;\; luego \;\; e_{1}^{x} = e_{3}^{x} = S_{1} = S_{3} (como son iguales utilizaremos a partir de ahora S_{1} para indicar a cualquiera de ellos)

    Ahora, en el tiempo t_{2} (intervalo 2):e_{2}^{x}= K S_{2} y en el tiempo t_{4} (intervalo 4): e_{4}^{x}= K S_{4}.

    Con estos valores podemos calcular el espacio longitudinal que recorre el perro con respecto a las distancias recorridas por el grupo de soldados:
    e^{x} = 2S_{1}+KS_{2}+KS_{4}
    que sustituyendo valores con las expresiones de más arriba, es:
    e^{x} = 20 + (K-1)S_{4} - (K+1)S_{2}
    Como este valor debe ser igual a 20, entonces obtenemos que.
    S_{4}=\frac{K+1}{K-1}S_{2}
    sustituyendo en la ecuación que indica que los soldados caminan 20 metros:
    2S_{1}+S_{2}+S{4} = 20 se tiene que:
    S_{1}= \frac{9K + 10}{K+1}S_{4}

    Si tomamos ahora el valor de S_{4} como “unidad de medida”, podemos calcular el valor del espacio TOTAL recorrido por el perro (hay que sustituir algunos valores obtenidos a partir del teorema de Pitágoras en los recorridos 1 y 3), que sería:
    e = \frac{2}{K+1}\left(K^{2}+\sqrt{481K^2+980K + 500}\right)

    Esto podemos hacerlo porque voy a intentar calcular la constante de proporcionalidad K, que es independiente de la unidad de medida… por eso nos hemos quitado de en medio todos los S de la ecuación anterior para que sea más manejable.

    Por otro lado, dado que las velocidades son constantes, llamando T al tiempo total transcurrido:
    20 T = u \\ \\ eT = Ku
    es decir, que e = 20 K

    Igualando con la expresión anterior, elevando al cuadrado para eliminar la raíz y despejando obtenemos la bonita ecuación:
    81K^{4}+180K^{3}-381K^{2}-980K-500 = 0

    De cuyas soluciones, nos quedamos con la que tiene valor positivo, K \approx 2.3724, para la cual obtenemos que el espacio recorrido por el perro es e = 47.447956 \, en metros.

    P.D.: Estoy absolutamente convencido de que debe de haber una forma sencillísima… y también de que, como cada vez que participo, he metido la pata en algún error de lo más tonto… pero la esperanza es lo último que se pierde.

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  8. mimetist

    en primer lugar, dejemos claro que, el perímetro del cuadrado que debe rodear el perro mide 80 metros (4 lados de 20 metros = 80 metros).

    supongamos que el perro no tiene que ir a velocidad constante y que puede pararse siempre que quiera, entonces, la distancia mínima que debe recorrer el perro son 60 metros ¿cómo?.

    el perro se queda parado en la esquina superior derecha hasta que el pelotón recorre sus 20 metros, por tanto el perro (sin haberse movido) termina en la esquina inferior derecha, le resta por tanto recorrer 3 aristas (60 metros) para terminar en la posición inicial.

    Pero, resulta que el perro tiene que moverse constantemente y (aquí lo importante para no poder minimizar la distancia) debe sincronizar su salida y su llegada con la del pelotón. ¿Cómo es posible que sólo recorra 47,5 metros? (que es tu solución)

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  9. Podemos hacer una integral que nos de la función de posición del perro respecto al tiempo y sacar el espacio de ahí, pero sería simplemente sumar los diferenciales del recorrido del perro alrededor del perímetro del grupo y su avance, por tanto son 100 metros.

    Es como sumar el movimiento de un punto de la tierra con respecto a su rotación y traslacción alrededor del sol, pero con líneas rectas…

    (Suponemos perro esférico, eso si)

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  10. 84,72, es decir 40 + 20 por la raiz de 5
    primer tramo: la hipotenusa de catetos 10 y x
    segundo tramo: 20 menos el espacio recorrido por los soldados z: 20 – z
    tercer tramo:La parte trasera del cuadrado: la hipotenusa de catetos 20 y 2X ( semejante al primer tramo) pero doble.
    cuarto tramo: 20 mas el espacio recorrido por los soldados: 20+z
    quinto tramo: igual al primero
    Teniendo en cuenta que los soldados avanzan 20 y el perro avanza 4X, x=5
    total:84.72

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  11. Tienes razón, josejuan… ya sabía yo que me iba a colar por algún sitio.

    Lo curioso es que, sin embargo, las fórmulas que he usado cumplen las igualdades que he supuesto… así que alguna de las ideas iniciales está equivocada… revisando me hallo.

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  12. Según mis calculos de puro amateur el perro recorre \approx 62,163 metros

    He encontrado una demostración maravillosa, pero este campo de texto es demasiado pequeño…

    Saludos

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  13. Recorre 100 metros: en primer lugar si llamamos y a la coordenada del movimiento de los soldados hacia el frente, el perro en el tiempo que tardan los soldados en hacer 20 metros recorre esa distancia en esa coordenada(no importan la velocidad de los soldados ni del perro). Ahora mientras hace eso el perro tiene que hacer el perímetro del cuadrado(si no no es posible que este otra vez en el centro de la linea del frente), pero el perímetro del cuadrado es una constante(no importa a que velocidad se muevan los soldados el perimetro es el mismo).Y el perímetro del cuadrado son 80 metros. Entonces independiente de cual sea la velocidad de los soldados el perro debe recorrer como mínimo 100 metros para estar otra vez en la linea del frente.

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  14. Meti la pata: no me di cuenta que en realidad los 20 metros que recorre el perro en la coordenada de la velocidad de los soldados los puede hacer recorriendo el perimetro del cuadrado. En ese caso la respuesta es 80 metros…. Tiene que recorrer el perímetro del cuadrado(que es constante, no importa a que velocidad se muevan los soldados, el perro siempre tiene que recorrer como mínimo 80 metros), y puesto que los 20 metros que tiene que recorrer hasta el centro de la linea del frente los hace mientras recorre el perimetro, el perro solo recorre 80 metros……El punto es que en la coordenada y el perro y los soldados se mueven a la misma velocidad: están en el mismo sistema de referencia inercial….

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  15. Si “x” es la velocidad de la mascota y “v ” la de los soldados, las ecuaciones de los espacios recorrido a lo largo de las filas y las dos columnas son(tiempos t1, t2 y t3):
    (x*t1)^2-(v*t1)^2=40^2
    x*t2+x*t2=20 y
    x*t3x*t3=20
    Despejando los tiempos, la suma de ellos es el tiempo empleado en el recorrido de la mascota que ha de coincidir con el de los soldados, por tanto
    40/raiz(x^2-v^2)+20/(x+v)+20/(x-v)=20/v
    de donde simplificando y considerando v=1, x vale aproximadamente 4.1811… que seria la relación de velocidades. Por tanto el recorrido de la mascota 83.622… m

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  16. Les dejo un flashecito ilustrativo que hice. No se cual es la política del blog sobre links. Cualquier cosa me avisan y les paso los archivos.

    El perro va a velocidad constante respecto del perímetro del cuadrado, y no a velocidad constante real respecto del suelo como debiera ser, que era más complicado de hacer 😉

    http://barcilo.com.ar/el-perro-y-los-soldados.html

    Saludos

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  17. Suponiendo velocidades constantes de ambos la relación de velocidades vendrá dada por vp/vs=e/20 en cualquier tramo y en el total por tanto las distancias también lo cumplen resolviendo el sistema.

    e= 83.62250890 ∧ x = 10.29889774 ∧ y = 2.463187933 ∧ s = 6.287083090 ∧ z = 3.8601651
    Siendo e el espacio x la hipotenusa y el cateto s espcio cuando avanza en el mismo sentido y z en sentido contrario.

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  18. Conrado: el perro va a velocidad constante respecto del suelo también. Lo que pasa es que los problemas de este tipo hay que resolverlos en el sistema de referencia en el que mejor puedan resolverse(resolverlo con respecto al suelo, no se si pueda hacerse de manera simple, y salen un chollo de ecuaciones) …. Como sabemos que en la coordenada del movimiento de los soldados, el desplazamiento del centro de la linea del frente y del perro es igual, y su velocidad de desplazamiento(como se entiende en física no coloquialmente) en esa coordenada es la misma puedo tomar como el cero de mi sistema de referencia el centro de la linea del frente. Entonces ahora simplemente tengo que ver como se mueve el perro respecto a mi sistema de referencia y lo que hace es moverse a través del perímetro. Entonces recorre 80 metros.

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  19. “…El perro va a velocidad constante respecto del perímetro…”

    No, no, el perro va a velocidad constante respecto del suelo, sino ¿que “cuchiflita” de velocidad constante es esa?.

    kurodo77, en este caso puedes calcular fácilmente el vector director del perro y normalizar, así no tienes que hacer ningún cambio.

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  20. Kurodo77:Veo que tu solución es constante de 80 m.
    Por reducción al absurdo… si los soldados recorrieran 20000 m. la mascota ¿recorreria 80 m.?

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  21. Muchas gracias Kurodo77 por la explicación. Algo seguramente no entiendo porque imagino qué hubiera pasado si el pelotón avanzaba, por decir, 5km, en lugar de los 20m. El perro hubiera debido caminar esos 5km, o sea más que el perímetro de 80m.
    Mi razonamiento, el que me daba algo de 62 metros lo había hecho a partir de los ángulos de la trayectoria del perro respecto del suelo y el perímetro cuadrado de 20x20m. Lo voy a revisar.
    Saludos

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  22. No te entiendo josejuan ¿viste la animación de conrado? Recorre 80 metros(ahí está más claro que el agua)…. ¿para que voy a calcular el “vector director”(no se si eso es lo que me propones) con respecto al suelo pudiendo simplemente tomar como sistema de referencia el centro de la linea del frente?

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  23. Si recorren 20000m la mascota recorrerá 80000m: toma como referencia el centro de la linea del frente….¿cual reducción al absurdo es esa? Si lo que estoy haciendo es tomar otro sistema de referencia distinto al que tu tomas(y que no veo que te de la solución)…. Como dato nos dicen que mientras el grupo recorre 20 metros el perro recorre el perímetro completo del cuadrado(básicamente nos están dando la respuesta, uno es el que se lía)…

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  24. “¿viste la animación de conrado?”

    ¡Ja, ja, ..! ¿la viste tú?, con dicha animación, es imposible que el cuadrado verde mida 20×20 y la línea punteada tenga una longitud total de 80.

    “…uno es el que se lía…”

    Si, pero quien…

    “básicamente nos están dando la respuesta”

    Según tú, si te dicen que el perro se mantiene pegado a una esquina ¡no ha recorrido nada! (si al recorrer un perímetro de L se ha movido sólo L, al recorrer la parte L/2 digo yo que dirás que ha recorrido L/2 y si sólo recorre la parte L/n del perímetro entonces dirás que sólo ha recorrido una distancia de L/n y si n tiende a infinito…).

    PD: disculpa si suena muy ácido, no es la intención.

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  25. josejuan: ¿como que imposible? Depende de lo que yo tome por unidad de medida. Además no has visto la animación(no parece): si no, te hubieras dado cuenta que el punto rojo recorre exactamente la longitud del perímetro del cuadrado(ni más ni menos, y el cuadrado y el punto rojo se mueven a velocidad constante, cumplen con las condiciones del problema) Tampoco quiero parecer acido….

    A ver no entiendo cual es tu segunda crítica: ¿que me quieres decir? ¿como que el perro pegado a una esquina?

    A ver si te entiendo. Tomemos un punto de referencia con respecto al suelo: si el perro se queda quieto con respecto al centro de la fila se movera 20 metros con respecto al punto de referencia suelo ¿estamos? y no se moverá con respecto a la linea del frente. Tomo como sistema de referencia, el sistema suelo.

    Ahora miremos el perro del problema: el perro se desplaza 20 metros a través de una trayectoria distinta con respecto a nuestro punto de referencia, pero el centro de la linea del frente también se desplaza a 20 metros de nuestro punto de referencia en el mismo tiempo. El punto es que el desplazamiento y la velocidad promedio de la linea del frente y el perro es el mismo. Entonces la física me permite tomar el centro de la linea del frente como sistema de referencia para calcular la distancia recorrida por el perro.

    Lo que se verá desde ambos puntos será distinto: en el sistema suelo veré una linea quebrada pero en el sistema centro de la linea del frente veré un cuadrado pero la distancia será la misma(al menos así son las transformaciones galileanas)…

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  26. Kurodo77: yo creo que que si los soldados recorren 20000 m. la mascota recorrerá aproximadamente 20021 m.
    Por reducción al absurdo si ambos llevan la misma velocidad la mascota nunca llegará a dar la vuelta al peloton, por lo cual el recorrido sera el mismo el de la mascota que el de los soldados, y no el recorrido de los soldados x 4

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  27. Yo creo que son 81,23 m. El razonamiento es el siguiente:

    Tramo 1: d1^2 = 10^2 + x ^ 2 (en 10m. el grupo avanza ‘x’ metros)
    Tramo 2: d2= 20 – 2x (en 20m. si v es cte entonces el grupo avanza ‘2x’)
    Tramo 3: d3^2 = 20^2 + (2x)^2 (idem.)
    Tramo 4: d4 = 20 + 2x (idem.)
    Tramo 5: d5^2 = 10^2 + x ^2 (idem.)

    Ahora, sabiendo que la formación recorre 20m. se sabe con diferentes restas que el tramo 2 es igual a 4x + 2x, si igualamos con la suposición inicial tenemos 20 -2x = 4x +2x, esto es x = 20/8 = 2,5 m. Sustituimos en cada tramo y sale 81,23m.

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  28. Mi metodo para resolver el problema, que he espuesto antes, consiste en unas elementales ecuaciones de problemas de moviles de primaria que se ilustra perfectamente con el gráfico de Conrado. Para mi la dificultad de este problema es que para su solución deriva a una ecuación de 4º grado, lo que hace que no sea “un problema brillante” como tampoco lo es la solución del de “el asno en la era” en cambio si el aparecido hace poco aqui mismo de las “2011 monedas”
    Eso si… hay tema para discutir

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  29. A ver no te entiendo sebas: no se lo que tu creas pero yo estoy es aplicando lo que dice la física.

    En transformaciones galileanas cualquier sistema a velocidad constante es un sistema de referencia inercial y por lo tanto cualquier cálculo de una distancia recorrida que yo haga desde este sistema es válido para los demás sistemas de referencia inerciales.

    No solo el centro de la linea del frente es válido como sistema de referencia inercial: cualquier punto del perimetro del cuadrado(o incluso dentro del cuadrado) es válido como el cero de mi sistema de referencia inercial. Tomo el centro de la linea del frente porque es el más sencillo.

    Incluso un observador C que no tenga nada que ver con el problema y que se mueva a velocidad constante es un sistema de referencia inercial válido para estudiar el problema.

    ¿que los diferencia? La trayectoría que yo tengo que calcular con ellos. Evidentemente la trayectoría más fácil de calcular es tomando como sistema de referencia inercial cualquier punto del cuadrado(el centro de la linea del frente en mi caso). Pero que calculen trayectorias distintas no significa que la distancia recorrida me de resultados diferentes. La línea quebrada del sistema de referencia suelo es la misma distancia recorrida, que el cuadrado de mi sistema de referencia inercial.

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  30. Korudo77: No se si he resuelto o no el problema (creo que con el unico que coincidimos de solución es con darkdante y cercano josejuan), pero ignoro sistemas de referencia inerciales, transformaciones galileanas, … mis pies estan fijos en el suelo e intento usar unicamente mi sentido comun, espacio=velocidad*tiempo (perdon, y un poquito Pitagoras)
    No distingo si es de matemáticas o Física

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  31. El problema es sencillo tomando como sistema de referencia la tropa, ya que visto de alli el perro recorre solo el perimetro (80 m), luego se encuentra la distancia vista desde el suelo, que es lo que se pide.

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  32. Isaacv5 no entiendo lo que dices: si en transformaciones galileanas el espacio es absoluto. Por lo tanto no existe la “distancia recorrida en el sistema suelo” y “la distancia recorrida en el sistema tropa” separadamente, sino que existe la distancia recorrida aunque el sistema suelo y el sistema tropa vean trayectorias distintas(la distancia recorrida en un sistema vale lo mismo en los otros sistemas).

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  33. mmm.. si dos carros separados una cierta distancia se chocan de frente a igual velocidad, desde el suelo vere que cada uno recorrera la mitad de la distancia que los separaba inicialmente . Pero si estoy manejando uno de los carros vere que el otro recorrio toda la distancia inicial .
    no t parece?….

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  34. Hmmm creo que tienes razón: metí la pata en grande. Al final resulta que si son los cien metros que había puesto al principio(y mi razonamiento del principio)… El perro tiene un movimiento con respecto al sistema tropa de 80 metros, y el sistema tropa y el perro tienen un movimiento de 20 metros con respecto al sistema suelo. Entonces si eran los 100 metros…Eso me pasa por no escribir y hacer las cuentas en la cabeza…. Lamento los malentendidos causados y para los que hayan leido lo que escribí me equivoque en algunas cosas, pero creo que esta si es la respuesta correcta….. De todas formas es más fácil cambiando de sistema de referencia creo yo, que haciéndolo “a pelo” en el sistema suelo….

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  35. Ya sé que esto no es una democracia, pero yo obtengo el mismo resultado que Sebas y isaacv5:

    83.6225089 metros

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  36. Rectifico: El resultado son 60 m.

    Siendo Y la dirección de desplazamiento del pelotón cuya esquina trasera izquierda está inicialmente en (0,0) y el perro parte de (10,20), lo que el perro haga en X no afecta al resultado, serán X = 40 m.

    Sea T el tiempo total de la maniobra. V la velocidad de avance de los soldados = 20/T y v la velocidad en el eje y del perro en cada instante con respecto a nuestro punto (0,0).

    Entre 0 y T/8 v = V
    Entre T/8 y 3T/8 v = V – 20/(T/4) = V – 80/T
    Entre 3T/8 y 5T/8 v = V
    Entre 5T/8 y 7T/8 v = V + 20/(T/4) = V + 80/T
    Entre 7T/8 y T v = V

    Como V = 20/T
    Entre 0 y T/8 y = 20/8
    Entre T/8 y 3T/8 y = 40/8 – 80
    Entre 3T/8 y 5T/8 y = 20/4
    Entre 5T/8 y 7T/8 y = 40/8 + 80
    Entre 7T/8 y T y = 20/8

    Sumando Y = 20 m

    D = X + Y = 40 + 20 = 60 m.

    Lo que es lógico pensando que en horizontal recorre el pelotón dos veces pero en vertical parte de (10,20) y acaba en (10, 40), luego solo avanza 20 metros.

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  37. beemer, piensa que en horizontal el perro no siempre sigue una trayectoria paralela a lo que tú has considerado como el eje X, y que en vertical la cuesión no es lo que avanza, sino lo que recorre. Hay un lado que recorre en sentido contrario al movimiento de los soldados, por lo que eso no es distancia avanzada, pero sí distancia recorrida, por lo que hay que contarla.

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  38. SI suponemos velocidades constantes y sin efectos relativistas, la distancia que recorren en un tiempo dado tanto el perro como los soldados ha de ser proporcional a la relación de velocidades por tanto Vp/Vs=e/20 y en cada tramo se cumple dicha relación. Dibujando el recorrido y con la relación se resuelve el sistema.

    http://img42.imageshack.us/i/dibujo1presentacin1.jpg/

    {x \over y} = {e \over 20} = {(20-z) \over z} = { (20+s) \over s}  ; x ^2=y^2+10^2 ; 4x+40+s-z=e

    e = 83.62250890 ∧ x = 10.29889774 ∧ y = 2.463187933 ∧ s = 6.287083090 ∧ z = 3.860165172

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  39. searva | 23 de February de 2011 | 00:23
    Yo creo que son 81,23 m. El razonamiento es el siguiente…

    Supones que en cada tramo tarda lo mismo pero como las distancias son diferentes, el perro debería ir a distintas velocidades…

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  40. ap2 | 22 de February de 2011 | 17:13
    84,72, es decir 40 + 20 por la raiz de 5
    primer tramo: la hipotenusa de catetos 10 y x
    segundo tramo: 20 menos el espacio recorrido por los soldados z: 20 – z
    tercer tramo:La parte trasera del cuadrado: la hipotenusa de catetos 20 y 2X ( semejante al primer tramo) pero doble.
    cuarto tramo: 20 mas el espacio recorrido por los soldados: 20+z
    quinto tramo: igual al primero
    Teniendo en cuenta que los soldados avanzan 20 y el perro avanza 4X, x=5
    total:84.72

    Supones que en el tramo vertical cuando avanza en el mismo sentido tarda lo mismo que en sentido contrario recorriendo distancias distintas, luego el perro debe ir a distintas velocidades…

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  41. Rectifico (2) (no sumaba en vectorial, burro de mi): El resultado son 81.231 m

    Sea T el tiempo total de la maniobra. V la velocidad de avance de los soldados = 20/T y vy vx las velocidades en el eje y e x del perro en cada instante con respecto a nuestro punto (0,0).

    Entre 0 y T/8 vy = V ; vx = 80/T
    Entre T/8 y 3T/8 vy = V – 20/(T/4) = V – 80/T ; vx = 0
    Entre 3T/8 y 5T/8 vy = V ; vx = -80/T
    Entre 5T/8 y 7T/8 vy = V + 20/(T/4) = V + 80/T ; vx = 0
    Entre 7T/8 y T vy = V ; vx = 80/T

    Como V = 20/T

    Entre 0 y T/8 y = 20/8 ; x = 10
    Entre T/8 y 3T/8 y = (20/T – 80/T) T/4 = -15 ; x = 0
    Entre 3T/8 y 5T/8 y = 20/4 ; x = -20
    Entre 5T/8 y 7T/8 y = (20/T + 80/T) T/4 = 25 ; x = 0
    Entre 7T/8 y T y = 20/8 ; x = 10

    Sumando vectorialmente en cada tramo y quedándonos solo con el módulo:
    Entre 0 y T/8 d = 10.307
    Entre T/8 y 3T/8 d = 15
    Entre 3T/8 y 5T/8 d = 20.615
    Entre 5T/8 y 7T/8 d = 25
    Entre 7T/8 y T d = 10.307

    D será la suma escalar de los módulos de los vectores:

    D = 10.307 + 15 + 20.615 + 25 + 10.307 = 81.231 m

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  42. Beemer tu perro va a distintas velocidades 82.456/T en el 1er tramo 60/T en el segundo
    100/T en el tercero y 82.456/T en el cuarto.

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  43. La verdad es que veo que hay mucha discrepancia en este problema. Siemplemente comentar, que a pesar que las matemáticas no son democráticas, a mi también me sale solución 83.6225 m, más que nada porque la proporción entre la velocidad del perro y la tropa es k=4.1811.

    Un saludo

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  44. Yo creo que la solución de beemer es impecable, para ser mas exactos:
    10\sqrt{17}+40

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  45. Bueno… tanto como impecable…

    beemer supone que el perro tarda lo mismo en recorrer cada lado del cuadrado. Y lo que es peor, incluso asumiendo que fuera así (que no lo es), su propio resultado contradice su supuesto inicial, ya que de ser así, las distancias deberían ser iguales (igual tiempo por su propio supuesto, e igual velocidad porque lo impone el problema).

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  46. darkdante: En el enunciado se indica que el perro va a velocidad constante, no con respecto a que. Yo he entendido que es con respecto al pelotón y por tanto tarda T/4 en hacer cada lado. Si su velocidad ha de ser constante con respecto al punto (0,0) y teniendo en cuenta que su vector velocidad apunta en cuatro direcciones diferentes según el momento… esto se complicaría un poco más.

    Sive: Te digo lo mismo. Es un problema de referencias. Las distancias con respecto a (0,0) no son iguales en cada T/4 porque las velocidades con respecto a (0,0) no son iguales.

    El problema indica: “y perro empieza al mismo tiempo su marcha siguiendo el perímetro del cuadrado formado por los soldados en el sentido de las agujas del reloj, también a una velocidad constante” , lo malo es que no indica constante respecto a qué. Yo entiendo que el pelotón se mueve con respecto al punto de partida y el perro con respecto al pelotón.

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  47. beemer, te estas liando intentando justificar tu respuesta. Hasta donde yo se el perro va andando sobre el suelo y lo que te piden es la distancia que recorre en el suelo, y con tu resolución en unos tramos debe ir andando y en otros corriendo suponiendo velocidades normales.
    Si tomas como sistema de referencia al grupo de soldados y supones que va andando pisando cabezas pues lo que recorre es el perímetro exactamente, 80 m lo que no cuadra con tu respuesta, supones un sistema de referencia para la velocidad y otro para medir la distancia….

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  48. Veo que este problemilla esta dando bastante jugo. he visto algunos que lo tienen bastante claro, otros corren detras del perro…
    Propongo para animarlo mas que se resuelva con la tropa avanzando 200 m. o 2000 m. o 20000 m….. para poner ejemplos

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  49. Jugando con cuadrículas he llegado a la solución pedida:
    Llamando a al lado del cuadrado (en nuestro caso a=20)
    sale  \frac{(4 + \sqrt{17})a}{2}

    Para a = 20 obtenemos 81,23 metros.

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  50. Como dijo el primero, es un simple problema de v=d/t (combinado con Pitágoras):

    Para facilitar el cálculo, supondremos que el perro saldrá de la esquina superior izquierda y que la tropa recorre 1 m/s (pueden poner lo que quieran).

    x=velocidad del perro

    primer trayecto: t1^2 + 20^2 = t1^2*x
    segundo trayecto: t2*x = 20 – t2
    tercer tramo = primer tramo
    cuarto tramo: t2*x = 20 + t2

    Finalmente: 2t1 + t2 + t3 = 20

    Pues cuatro ecuaciones, cuatro variables
    en este caso: x = 4.181
    la distancia recorrida: 20x = 83.623

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  51. Y si exigimos que la mascota de dos vueltas al batallón mientras este recorre los 20 m. ¿El recorrido del perrro será el doble?

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  52. Hay alguna forma de resolver el ejercicio geometricamente, es decir solo sacando el perímetro del polígono que describe la trayectoria del perro?

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  53. Sebas yo intuyo que debe ser menos del doble, ya que la hipotenusa debe ser mas parecida al cateto. En el limite cuando el número de vueltas tiende a infinito será el perímetro por el numero de vueltas.

    Lecter es la forma más sencilla en que se resuelve, puesto que las velocidades son proporcionales y el resultado es independiente del tiempo empleado.

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  54. Lecter, no.

    Geométricamente, existen infinitas trayectorias (perímetros) válidas (aunque no son todas las que unen el punto inicial y final), pero hay una restricción física no geométrica que es: velocidad no nula y aceleración sí nula, que es la que selecciona una única de entre todas.

    Otra cosa es que para el resto de restricciones (longitudes) sí uses geometría (a^2+b^2=h^2) y no física (que es mi solución, la cual por cierto debe tener algún error, pues la discrepancia en el resultado no parece deberse únicamente a error numérico).

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  55. darkdante:, dejo pasar un poco de tiempo y expondre mi razonamiento, algo se deja ver en el comentario mio anterior para el caso de 20000 m.
    Has mencionado el infinito, tambien lo comentaré

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  56. josejuan, no estoy seguro pero creo que tu error está al calcular los tiempos t1, t2, t3 y t4, pues en todos los casos supones que el perro recorre 20 metros, lo cual no es cierto si la referencia es el suelo.

    No estoy seguro porque el problema se puede resolver poniendo como referencia el pelotón (de hecho, yo lo hice así). Si este es tu caso, entonces el error está al calcular las velocidades del perro con respecto al perímetro del pelotón.

    Por ejemplo, si la velocidad del perro es kv, y la del pelotón es v, entonces cuando el perro se mueve en el mismo sentido que el pelotón, la velocidad relativa del perro es v(k-1).

    De la misma forma, cuando se mueve en sentido contrario, la velocidad relativa es v(k+1), y en los tramos frontal y trasero es el cateto de un triángulo rectángulo donde la hipotenusa es kv, y el otro cateto es v.

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  57. “…supones que el perro recorre 20 metros…”

    No, en absoluto, mis incógnitas (a parte de las iniciales) son los tiempos, y los puntos de interés por los que debe pasar el perro quedan fijados por 0 y L para X en un caso y por la posición del pelotón en base al tiempo.

    Luego, debe ser que la suma de los tiempos por la velocidad del pelotón son 20 metros.

    Yo creo que como deducí las ecuaciones mentalmente me he dejado algún término por ahí…

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  58. Cierto, los tiempos t1 y t3 son correctos, me lie con tu nomenclatura. Pero t2 (y t4) debería ser:

    t2 = \frac{20}{K\sqrt{a^2-1}}

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  59. A ver qué os parece esta idea:

    Considero que el perro comienza en la esquina izquierda y se dirige hacia la derecha mientras el pelotón se mueve… por lo tanto tendremos 4 tramos con tiempos diferentes.

    Para simplificar el problema, supondremos que el pelotón se mueve con velocidad 1 (no necesariamente son metros por segundo, sólo es una unidad de tiempo con respecto al total). Por lo tanto, llamando “u” a esta velocidad tenemos, u = 1, así recorren 20 metros en tiempo T, siendo T la suma de los tiempos transcurridos en cada tramo:
    20 = uT = T = t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}

    Ahora vemos cuáles son los espacios recorridos por el perro:
    e_{1}^{2} = t_{1}^{2} + 400 \\ e_{2} = 20 - t_{2} \\ e_{3}^{2} = t_{3}^{2} + 400 \\ e_{4} = 20 + t_{4}
    Las ecuaciones del espacio 1 y 3 son evidentes aplicando pitágoras y también es evidente que describen las mismas cantidades, ya que en el tramo 1 y en el tramo 3 transcurre el mismo tiempo.

    Explicación ecuación 2:
    En el tramo 2, el perro tiene que recorrer todo el lado del pelotón, menos lo que el pelotón avanza, es decir… 20 metros menos el espacio recorrido por el pelotón, que es t_{2} (porque dijimos que tienen velocidad unitaria).

    Explicación ecuación 4:
    De manera análoga, el perro tendrá que recorrer los 20 metros del lado del pelotón más lo que el pelotón avance, es decir: 20 metros más el tiempo transcurrido.

    Ahora, por otra parte, sabemos que tanto el pelotón como el perro van a velocidad constante, por lo que sus velocidades son proporcionales… además como hemos dicho que el pelotón tiene velocidad unitaria, sabemos que:
    e = KuT = KT = 20K

    De hecho, en cada tramo obtenemos que:
    e_{1} = Kt_{1} \\ e_{2} = Kt_{2} \\ e_{3} = Kt_{3} \\ e_{4} = Kt_{4}
    Sustituyendo en las ecuaciones encontradas antes, tenemos que:
    \left(Kt_{1}\right)^2 = t_{1}^2 + 400 \\ Kt_{2} = 20 - t_{2} \\ \left(Kt_{3}\right)^2 = t_{3}^2 + 400 \\ Kt_{4} = 20 + t_{4}

    De aquí podemos despejar todos los tiempos transcurridos en cada tramo:
    t_{1} = \frac{400}{K^{2}-1} \\ t_{2} = \frac{20}{K+1} \\ t_{3} = \frac{400}{K^{2}-1} \\ t_{4} = \frac{20}{K-1}

    Como sabemos, debido a la forma en que hemos definido el problema, la suma de todos ellos debe ser 20… así que basta sumar las expresiones y obtenemos que:
    20 = \frac{400}{K^{2}-1} + \frac{20}{K+1}+ \frac{400}{K^{2}-1} + \frac{20}{K-1} \\ \\ 1 = \frac{20}{K^{2}-1} + \frac{1}{K+1}+ \frac{20}{K^{2}-1} + \frac{1}{K-1} \\ \\ 1 = \frac{20+ K+1 +20+ K-1}{K^{2}-1} \\ \\ K^{2} - 2K - 41 = 0

    De esta forma hay dos soluciones:
    K = 1 - \sqrt{42}
    K = 1 + \sqrt(42)

    Evidentemente, dado que K es la constante de proporcionalidad entre las velocidades del perro y el pelotón y que el perro debe ir necesariamente más rápido, la única solución con sentido físico es: K = 1 + \sqrt(42) \approx 7.48074

    Por lo que el perro recorrerá aproximadamente e = 20(7.48074) = 149.6148 metros

    Espero no haber cometido más errores tontos, aunque he de reconocer que el número me parece demasiado elevado.

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  60. mimetist, en t1 y t3 se te olvidó una raiz cuadrada… si arreglas eso, llegarás al resultado correcto.

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  61. Se me han adelantado mientras redactaba:

    mimetist: las ecuaciones son correctas, pero al despejar t1 y t3 te has olvidado de que hay que sacar la raiz, porque estaban elevadas al cuadrado. Cuando iguales la suma de tiempos a 20, te va a quedar una ecuación con radicales, y al despejarla te va a dar una de cuarto grado, mas o menos como:
    x^4-4x^3-2x^2+4x+5=0.

    Mete esa ecuación en alguna página como solvemymath y te dará cuatro “tochos” de tamaño descomunal como soluciones, dos imaginarias y dos reales, una de las cuales es 4,18 aproximadamente. Multiplicas por 20 y ya tienes la distancia.

    Lo bueno del tocho es que es la solución algebraica del problema, no una aproximación.

    Aún así, creo que es problema es bonito en su planteamiento y no tanto en su respuesta.

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  62. mimetist creo que tu error es que estan mal despejados t1 y t3

    t1=+- 20/ (\sqrt(k^2-1))

    Con eso te debe dar k=4.181125 , obtener una solución algebraica se me escapa, con programa me da varias pantallas

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  63. uf, tenéis razón xD

    Si es que soy incapaz de colaborar en el blog sin cometer errores!!

    Pero bueno, una vez planteado el problema de esta manera la solución es sencillísima (para los que saben despejar, claro xD)

    Así que el perro recorre más o menos 83.62 metros (casi lo mismo que decía josejuan al principio).

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  64. Como decia, veo que se ha animado bastante y hay coincidencias en la solución y forma de resolución.
    Como plantee para recorrido del peloton de 200m. el perro recorreria 232.4598.
    Para un recorrido de 2000 serian 2023.148
    para 20000, 20020.9
    para 200000, 200020.3
    Donde vemos que al aumentar la distancia logicamente la velocidad del perro tiende a la de la tropa y su recorrido al de la tropa + el lado del escuadrón. Si se igualan las velocidades el perro no podrá dar la vuelta y tendria que ser un recorrido infinito
    Para el caso que espuse de 2 vueltas si coincidia con el doble de recorrido, como sugirió darkdante, seria ligeramente inferior 161.856m. < 83.6225*2, seria el caso de una vuelta en recorrido de tropa de 10m. el perro recorreria 80.928 y repetir.
    Al acortar el recorrido de la tropa para poder dar la vuelta el perro deberá aumentar su velocidad y tenderá a un recorrido del perimetro de la tropa 80m.

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  65. Es posible que este problemita haya desanimado a mas de uno por las soluciones irracionales, hago otra sugerencia y es posible que los que lo hayan resuelto se lleven mejor sabor de boca con la solución:
    Propongo distancia recorrida por los soldados: 1280/9 ó 135/2
    El porqué de estos números, Pitagoras

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  66. Yo si encontre una solucion que mezcla geometria y un minimo de fisica (hago uso del dibujo de Conrado). Es un poco larga la solucion, pero creo que no puede ser refutada de ninguna forma.

    Antes que nada se ve que el primer tramo que recorre el perro (digamos \displaystyle a) es igual al quinto (digamos \displaystyle e), y la suma de ambos es igual al tercero (digamos \displaystyle c).

    Eso se ve claramente, pero si se quiere demostrar:

    Se puede ver como, si se ubica el cuadrado en la posicion en la que ya recorrio los 20m,
    (1) \displaystyle {L_c \over 2}=a \cdot cos(\alpha)
    siendo \displaystyle L_c el lado del cuadrado, y \displaystyle \alpha el angulo agudo que forma \displaystyle a con la horizontal. Y tambien que
    (2) \displaystyle {L_c \over 2}=e \cdot cos(\lambda)
    siendo \displaystyle \lambda el angulo que forma \displaystyle e con la horizontal.

    Si se ubica el cuadrado en la primera posicion (antes de recorrer los 20m) se ve que

    (3) \displaystyle L_c = c \cdot cos(\beta) siendo \displaystyle \beta el angulo que forma \displaystyle c con la horizontal.

    De (1) y (2) se puede obtener que
    \displaystyle a \cdot cos(\alpha)=e \cdot cos(\lambda)
    Ahora bien, de la ultima igualdad, se sabe que, como el perro y el peloton siempre van a la misma velocidad, entonces, tanto \displaystyle \lambda como \displaystyle \alpha deben ser iguales, y \displaystyle e y \displaystyle a tambien deben serlo. Es decir, en el primer tramo el perro se mueve con la velocidad del peloton hacia arriba (como componente vertical del desplazamiento) y con una velocidad de \displaystyle {{L_c \over 2} \over t} (con \displaystyle t como el tiempo que tarda en recorrer \displaystyle {L_c \over 2}) hacia la derecha (como componente horizontal del desplazamiento). En el quinto tramo, la componente vertical debe ser la misma, ya que le peloton y el perro no variaron su velocidad, y como ademas tiene que desplazarce en el mismo \displaystyle t la misma longitud (\displaystyle {L_c \over 2}). Por lo tanto, el angulo es el mismo, y la hipotenusa formada por los desplazamientos es la misma.

    Si se suman los miembros de (1) y (2) se obtiene
    (4) \displaystyle L_c=(a+e)cos(\alpha) ya que \displaystyle \alpha y \displaystyle \lambda son iguales.

    Ahora de (3) y (4):

    \displaystyle c \cdot cos(\beta) = (a+e)cos(\alpha)

    Ahora bien, \displaystyle \alpha y \displaystyle \beta deben ser iguales, ya que en el tercer tramo recorre el doble de la longitud hacia la derecha, el doble de la longitud hacia arriba, y tarda el doble de tiempo (por su velocidad constante) que en el primero, por lo tanto, los angulos son iguales. Entonces

    (5) \displaystyle c \cdot cos(\beta) = (a+e)cos(\beta)
    \displaystyle c= (a+e){cos(\beta) \over cos(\beta)} =a+e

    Bien una vez demostrado esto, se procede a lo siguiente:

    Se ubica el cuadrado en la primera posicion, y se traza una horizontal en al mitad del cuadrado. Se ve que el tramo \displaystyle c marca un punto en el lado vertical izquierdo del cuadrado en donde delimita un tramo del 4º trayecto del perro (digamos \displaystyle d al 4º trayecto y \displaystyle j al tramo del que estoy hablando en este momento). Vemos que
    (6) \displaystyle j = L_c - ({L_c \over 2}+tan(\beta) \cdot {L_c \over 2})=L_c(1-{1 \over 2} -{tan(\beta) \over 2})=L_c({1 -tan(\beta) \over 2})
    Si ubicamos el cuadrado en la 2º posicion, el tramo mayor que delimita \displaystyle e, es parte de \displaystyle d (digamos \displaystyle l). Entonces:
    (7) \displaystyle l=L_c-tan(\beta) \cdot {L_c \over 2}=L_c(1-{tan(\beta) \over 2})

    Si sumamos \displaystyle l y \displaystyle j obtenemos \displaystyle d
    (8) \displaystyle d=j+l=L_c({1-tan(\beta) \over 2})+L_c(1-{tan(\beta) \over 2})=L_c({3  -2tan(\beta) \over 2})

    Ademas si miramos el tramo que delimita \displaystyle c en el lado derecho del cuadrado en la primera posicion, vemos que ese tramo (digamos \displaystyle k) pertenece al 2º trayecto del perro (digamos \displaystyle b). Entonces \displaystyle k puede ser expresado asi:
    (9) \displaystyle k={L_c \over 2} \cdot tan(\beta)+ {L_c \over 2}=L_c({1+tan(\beta) \over 2})
    Y para obtener \displaystyle b:
    (10) \displaystyle b=k+{L_c \over 2} \cdot tan(\beta)=L_c({1+tan(\beta) \over 2})+{L_c \over 2} \cdot tan(\beta)=L_c({1+2tan(\beta) \over 2})

    Ahora bien, si se rotan los 5 tramos del perro de tal forma que el 1º (invertido) lo siga el 2º, luego el 3º(invertido), luego el 4º, y luego el 5º (invertido), se cierra la figura, y se forma un trapecio isosceles, cuya altura es el lado del cuadrado. Si se realiza la diferencia entre la base mayor (\displaystyle d) y la menor (\displaystyle b) se obtiene el doble de la tangente de \displaystyle \beta por la altura del trapecio, que es \displaystyle L_c. Entonces:
    (11) \displaystyle 2L_ctan(\beta) =L_c({3  -2tan(\beta) \over 2})-L_c({1+2tan(\beta) \over 2})=L_c(1-2tan(\beta))
    Si se opera con (11):
    \displaystyle 2L_ctan(\beta)=L_c(1-2tan(\beta))
    \displaystyle 2tan(\beta)=(1-2tan(\beta))
    \displaystyle 4tan(\beta)=1
    \displaystyle tan(\beta)={1 \over 4}

    Obtuvimos la tangente de \displaystyle \beta entonces ahora somos capaces de calcular tambien el cosceno de \displaystyle \beta de esta forma:
    \displaystyle sec^2(\beta)=tan^2(\beta)+1
    \displaystyle sec^2(\beta)=({1 \over 4})^2 +1
    \displaystyle sec^2(\beta)={1 \over 16}+1={17\over16}
    \displaystyle sec(\beta)=\sqrt{17 \over 16}={\sqrt{17} \over 4}
    \displaystyle {1 \over cos(\beta)}={\sqrt{17} \over 4}
    \displaystyle cos(\beta)={4\sqrt{17} \over 17}

    Y entonces ahora podemos calcular \displaystyle D_p (la distancia recorrida por el perro).
    \displaystyle D_p=a+b+c+d+e
    \displaystyle D_p={L_c \over 2cos(\beta)}+L_c({1+2tan(\beta) \over 2})+({L_c \over cos(\beta)})+L_c({3-2tan(\beta) \over 2})+{L_c \over 2cos(\beta)}
    \displaystyle D_p=2({L_c \over cos(\beta)})+L_c({1+2tan(\beta)+3-2tan(\beta) \over 2})
    \displaystyle D_p=2({L_c \over {4\sqrt{17} \over 17}})+L_c \cdot 2
    \displaystyle D_p={L_c \over 2}({17 \over \sqrt{17}})+2L_c
    \displaystyle D_p=L_c(2+{\sqrt{17} \over 2}) (que es lo que habian dicho Sebastian Espinar y Sirius)
    Y ahora reemplazando \displaystyle L_c:
    \displaystyle D_p = 2 \cdot 20m+{20m \over 2}(\sqrt{17})=40m+10m \sqrt{17}
    \displaystyle D_p = 81.231 m (que coincide con el resultado de beemer)

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  67. Superman, dada la longitud de tu desarrollo, en vez de buscar nosotros el error en el mismo… ¿que tal si nos dices tú dónde está el error en cualquiera de los que han llegado a 83.6225?

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  68. Superman, bastante pretencioso eso de que no puede ser refutada de ninguna forma, mas teniendo en cuenta que te coincide con el resultado de beemer, que supongo entenderás que ha sido refutado. ¿No había una una forma más complicada de hacerlo?
    El fallo que tienes es que fallas en tus suposiciones inciales supones que el perro tarda lo mismo en recorrer cada lado ”

    Sí te paras a analizar tus resultados verás que b=15 y d=25 lo cual es ridículo es decir el pelotón avanza un cuarto de lado 5m. lo mismo en ambos casos lo que coincide con tu supuesto de que tarda lo mismo en recorrer cada lado.
    Así el perro debe ir a distintas velocidades….

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  69. Parece bastante probable que la solución correcta sea 83.62250890585348601… y parece que la única forma a la que se llega por ahora es usando pitágoras (porque la mía que normaliza la velocidad tiene algún fallo luego no vale), si hay alguno que no lo haga así, no la he visto.

    En todo caso podría faltar un resultado analítico y no numérico.

    Pero ésto “únicamente” pasa por resolver el polinómio

    x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+4x+5=0

    del que se pueden obtener fácilmente pero curradamente sus cuatro raíces (las ecuaciones aquí).

    Con un poco de trabajo llegamos a que la velocidad del perro es

    p=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{112}{3}\frac{\root{3}\of{2}}{\root{3}\of{192\sqrt{93}+3008}}+\root{3}\of{\frac{32}{9}\sqrt{93}+\frac{1504}{27}}+\frac{16}{3}}+\allowbreak \frac{1}{2}\sqrt{\frac{16}{\sqrt{\frac{112}{3}\frac{\root{3}\of{2}}{\root{3}\of{192\sqrt{93}+3008}}+\root{3}\of{\frac{32}{9}\sqrt{93}+\frac{1504}{27}}+\frac{16}{3}}}-\frac{112}{3}\frac{\root{3}\of{2}}{\root{3}\of{192\sqrt{93}+3008}}-\root{3}\of{\frac{32}{9}\sqrt{93}+\frac{1504}{27}}+\frac{32}{3}}+\allowbreak 1=\allowbreak 4.\,\allowbreak 181\,1

    no se si habrá un resultado más “compacto”.

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  70. El resultado son 100 m. Ya lo han dicho pero ahí, pero quería aportar mi explicación: el movimiento del perro consta en realidad de dos movimientos relativos a un origen común de coordenadas que podría ser, por ejemplo, el último soldado de la primera fila en el instante 0. El desplazamiento total del perro será, por tanto, la suma de los dos desplazamientos: el perímetro del cuadrado 20×20 (80 m.) y el desplazamiento del pelotón (20 m.)

    Si integrásemos la suma del vector velocidad instantánea del perro en torno al cuadrado más el vector velocidad instantánea del pelotón entre 0 y t (acaban al mismo tiempo) nos daría seguramente igual resultado, pero mucho más matemático.

    Saludos.

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  71. Tenes razon darkante, pense que no lo hacia, pero en realidad en mi suposicion el perro esta yendo a dos velocidades diferentes en \displaystyle a y en \displaystyle b por citar un ejemplo. Lo que si hace el perro es moverse con velocidad constante con respecto a los lados del cuadrado, lo que no es lo que indica el enunciado. Gracias por hacerme notar mi error.
    Y con respecto a que pense que era irrefutable, fue porque me tomo tiempo hacerla coherente, y como la veia tan completa pense que erronea no podia ser.

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  72. josejuan: Efectivamente creo que somos varios que llegamos a la misma (horrorosa) ecuación, admiro tu paciencia para resolverla de forma seria, yo no he tenido tanta paciencia (y Derive me quedaba “colgado”) y lo he hecho a lo bestia (Bolzano con hoja de calculo en la ecuación irracional), al proceder de Pitagoras he modificado (en mi anterior comentario) el parametro recorrido con pitagoricos para que la solución fuera mas facil de digerir pero la ecuacion es mas horrorosa aun

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  73. Mi solución (veo ahora) es básicamente la de mimetist. Paso en limpio:

    Sea D el largo del cuadrado, S la velocidad de los soldados, P la velocidad del perro (con respecto al suelo).

    La velocidad el perro con respecto a los soldados será diferente en cada una de las aristas (igual en las aristas verticales) :

    P_y = \sqrt{P^2 -S^2}
    P_{x-} = P-S ( en sentido contrario a los soldados)
    P_ {x+} = P+S ( en mismo sentido que los soldados)

    El tiempo total del recorrido del perro será:

    \displaystyle t= \frac{2 D}{\sqrt{P^2 - S^2}}+\frac{D}{P-S}+\frac{D}{P+S}

    Pero esto es igual al tiempo que le llevó a los soldados avanzar el largo del cuadrado:

    t = \frac{D}{S}

    Igualando, y llamando a = P/S llegamos a la ecuación

     \displaystyle \frac{1}{\sqrt{a^2 -1}}+\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a+1}=1

    cuya solución (engorrosa pero directa) es http://goo.gl/uM3mn

    a = 4.18113

    Por lo tanto, el perro tiene una velocidad de cuatro veces (y pico) la de los soldados, y recorre 4.18113 \times 20 =83.6226 metros.

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  74. Pues a ver: despues de haber cometido varios horrores, veamos si aporto una solución muy sencilla.

    El perro se mueve a velocidad constante por el cuadrado: es decir, tomando como cero de mi sistema de referencia inercial el centro de la primera fila, se verá al perro ir con velocidad constante. Lo que significa en plata blanca que cuando el perro haya llegado a la primera esquina del cuadrado lo habrá hecho en 1/8t, siendo t el tiempo total que tarda en recorrer el cuadrado. Lo que quiere decir que en el sistema de referencia inercial suelo también se tardara en recorrer en la coordenada perpendicular a los soldados 1/8t(el tiempo es absoluto hasta donde yo se en transformaciones galileanas. Ahí si no me equivoco)….

    Ahora si en t recorre 80 metros en el cuadrado, medida en el sistema de referencia inercial del centro de la linea, en 1/8t recorre 10 metros. Pero en el sistema de referencia suelo eso es lo que ha recorrido en la coordenada perpendicular al movimiento de los soldados, en el mismo 1/8t. Y puesto que la velocidad de los soldados es constante si en t recorren 20 m, en 1/8t recorren 2.5 metros. Entonces si llamo D a la distancia recorrida por el perro en 1/8t tengo :

    D= \sqrt{10^2 + 2.5^2}

    Que reemplazando me da que el perro en 1/8t ha recorrido aproximadamente 10,308 y puesto que va a velocidad constante para saber lo que ha recorrido en t basta multiplicar por 8 lo que me da que la distancia recorrida por el perro es aproximadamente 82,462m(para multiplicar lo he hecho por el número que me da en la calculadora y no por la aproximación que he dado).

    Bueno si hay otra solución más sencilla(o si mi solución no les parece) pues espero críticas…..

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  75. Debo decir que eso que he escrito, es suponiendo velocidades que no se acercan al rango relativista(es decir suponemos velocidades muy bajas suponiendo que el perro y los soldados se comportan como generalmente lo hacen los perros y los soldados)… Pero la hipótesis no dice nada respecto a esto… Entonces podemos conjeturar que ocurre a velocidades relativistas.

    A velocidades dentro del rango relativista (con un “perro relativista” y “soldados relativistas”) no creo que esta respuesta funcione. El tiempo propio del recorrido del perro es distinto para los sistemas de referencia involucrados. En el sistema de referencia suelo como el perro no puede superar c es muy probable que la relación entre las velocidades en las coordenadas cambie dependiendo de la velocidad de los soldados.

    No he hecho el análisis usando transformaciones de Lorentz pero en ese caso tal vez no haya una respuesta única(es decir que dependa de la velocidad lo que se mida en ambos sistemas de referencia).

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  76. Bueno perdón por el triple post: aporto que si los soldados se mueven a velocidades relativistas en realidad el problema no tiene solución única desde el sistema de referencia suelo. La distancia se contrae(por la relatividad especial): o sea que el cuadrado 20mx20m sigue siendo de ese tamaño para el sistema de referencia que toma como cero el centro de la linea del frente pero de ninguna manera para el sistema de referencia suelo, que verá un cuadrado más pequeño dependiendo de que tanto crezca la velocidad de los soldados(entre más rápido más se contrae la longitud del cuadrado para el sistema de referencia suelo)….

    De hecho desde este punto de vista, considerando que si tomo el sistema de referencia suelo no hay una solución única tal vez de forma increible, la solución más correcta sea siempre ver el problema desde el sistema de referencia del centro de la linea del frente ya que ese siempre me da la misma solución todas las veces: 80 metros.

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  77. kurodo77, tu proposición sería cierta si ajustaras t de tal forma que compensaras la diferencia de velocidades relativas (rpto suelo ~ rpto pelotón) cuando el perro recorre las aristas verticales, pero no lo estás haciendo (únicamente sumas las dos componentes).

    Es decir, has simplificado el cálculo de las distancias (rpto t “universal”) para las aristas horizontales, pero entonces debes ajustar las verticales…

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  78. No veo porque tengo que ajustar las verticales josejuan(suponiendo velocidades muy bajas y que la transformación galileana constituye una buena aproximación). Cuando sumo las dos componentes he calculado cuanto recorre el perro en 1/8t desde el sistema de referencia suelo: independientemente de que trayectoria haga el perro eso es lo que recorre en 1/8t. El tiempo es universal en transformaciones galileanas: si en el sistema de referencia inercial del centro de la linea del frente vemos que el perro llega en un 1/8t a la esquina(porque desde aquí también va a velocidad constante), en el sistema de referencia suelo llega a la esquina en 1/8 t. Cuando sumo las dos componentes calculo el modulo de la velocidad del perro en el sistema de referencia inercial suelo en 1/8t y el modulo de la velocidad del perro es constante(aunque no el mismo) para toda la trayectoria del perro en cualquier sistema de referencia inercial que tome: eso es lo que yo entiendo que significa velocidad constante.

    De todas formas ya he dicho que la solución correcta no me parece esa: a velocidades relativistas(el problema no me dice que no sea algo a considerar) lo repito las distancias se contraen así que desde el sistema de referencia suelo no hay una única respuesta. Lo que si es cierto es que siempre tomando como sistema de referencia el centro de la linea del frente el perro recorre 80 metros.

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  79. De plantear así el problema, yo casí mejor tomaría:

    a. sistema de refencia el perro.
    b. velocidad del perro constante con valor 0 (por supuesto, fíjense en a).

    y así, “como todo lo que se mueve es lo demás” y me piden la distancia del perro, pues es cero y tan contentos.

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  80. Pues no tengo la culpa yo(y todos tan contentos) de que eso sea así a velocidades relativistas. Supongo que uno debe inferir que trabaja a velocidades bajas pero eso no aparece como condición del problema: es decir, es una condición del problema que uno debe encontrar. Pero así como esta puesto pues lo que hay es que no existe una solución única para el sistema de referencia suelo.

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  81. Kurodu77: Sigo opinando que es problema un sencillo (e=v*t y a^2=b^2+c^2) con solución “fea”, sugiero que con tu metodo resuelvas mis propuestas anteriores y en especial los casos de distancias fraccionarias, pues sus soluciones opino han de ser racionales

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  82. Sebas:

    Si los soldados recorren 20000m(suponiendo velocidades no relativistas) veamos: en t recorren 20m o sea que en 1000t recorren 20000m ¿correcto?. ¿Estamos suponiendo el mismo cuadrado 20×20? Bueno supongamos eso: entonces el perro recorre 82,462×1000 o sea 82462m….

    Si suponemos el cuadrado 20000×20000 veamos: los soldados recorren 20000m mientras que el perro recorre en el sistema de referencia del centro de la linea 10000m ¿estamos? Puesto que lo hace a velocidad constante en 1/8t desde el sistema de referencia suelo también se verá que recorre la coordenada perpendicular en 1/8t y entonces en la coordenada de velocidad de los soldados al ir estos a velocidad constante habrán recorrido 2500m. Por pitágoras entonces:

    D= \sqrt{10000^2 + 2500^2}

    que me da que en 1/8t recorre 10307, 8 que multiplicado por 8 me da 82462 metros(el mismo resultado algo no tan raro)……

    La solución general de este problema es:

    a) En el sistema de referencia perro la distancia recorrida es nula(todo lo demás se mueve).

    b) En el sistema de referencia que se mueve a la velocidad del cuadrado, el perro recorre 80 metros. Esto es muy universal: vale para velocidades no relativistas como relativistas. De hecho esta es la más universal de las respuestas ya que me permite desde cualquier otro sistema de referencia(relativista o no) calcular la trayectoria del perro en ese sistema. Lo único que hay que saber es la velocidad de los soldados(aunque no se que tan fácil será en relatividad especial)

    c) En el sistema de referencia suelo: si tomo como válida la aproximación galileana(es decir a velocidades no relativistas), la respuesta es 82,462m. A velocidades relativistas, no hay una respuesta única: puesto que desde el sistema de referencia suelo la distancia en el cuadrado 20×20 se contrae por cada velocidad distinta que tomen los soldados habrá una respuesta distinta.

    Sebas no se a que te refieres con “distancias fraccionarias” si 20 puede ser una distancia fraccionaria por las clases de equivalencia: 20= 40/2=60/3=80/4 etcetera,,,, De hecho una distancia es fraccionaria o no lo es dependiendo de mi unidad de medida… Así que no entiendo a que te refieres….

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  83. kurodo77: Considerando siempre el mismo enunciado con un pelotón de 20mx20m y variando unicamente la distancia que recorren los soldados y volver a coincidir con el perro en la posición de partida:
    Para recorrido de 200 m de los soldados, el perro recorre 232.4595m (Repito el perro da unicamente una vuelta a los soldados)
    Idem 2000m, 2023.148m
    Idem 20000m, 20020.9
    Idem.200000m. 200020.3
    …..
    Idem 1280/9m, 1600/9
    Idem 135/2m, 225/2

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  84. A ver sebas ya entiendo lo que dices.

    Veamos, en t los soldados recorren 200m entonces un 1/8t recorreran 25 metros ¿estamos? Ahora por pitagoras otra vez el perro recorre en un 1/8t:

    D = \sqrt{25^2+10^2}

    que me da como resultado 26,921 que multiplicado por 8 es 215,406 que será lo que recorra el perro.

    Para 20000m tengo:

    D= \sqrt{2500^2+10^2}

    que me da 2500,01 que multiplicado por 8 me da 20000,1599….

    Esto no es tan extraño como parece: el perro en este caso en una coordenada recorre 20000m y en la otra solo 40 metros, lo que significa que la velocidad de los soldados y el perro es casi la misma a medida que incremento el número de metros que recorren los soldados…. En realidad para grandes distancias, el perro y los soldados aproximadamente recorren la misma distancia…..

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  85. korodo77: Veo que existe bastante diferencia entre mi solución y la que tu aportas, no dices nada de los distancias fraccionarias que propongo (fruto de los números pitagoricos, solo espongo el de 3, 4 y 5)
    Para terminar, para una distancia tendiendo a infinito la relación de velocidades tiende a 1 y el recorrido del perro la distancia + el lado del cuadrado. Si las velocidades fuesen iguales evidentemente el perro no podria dar la vuelta.
    Para distancia tendiendo a cero la relación de velocidades tiende a infinito y el recorrido del perro tienda al de los soldados + el perimetro del cuadrado. Evidentemente si la distancia es 0 nadie se mueve

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  86. Pues humildemente te digo que no creo que tu respuesta esté bien sebas. Como también creo que mi respuesta aporta la solución….

    Y sobre las distancias fraccionarias no entiendo que significa: ya te dije que una distancia es fraccionaria dependiendo de la unidad de medida que adopte así que no entiendo que aportan al problema de nuevo las “medidas fraccionarias”(de hecho esas podrían medir 20 aunque no metros eso si, adoptando la unidad de medida adecuada).

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  87. korudo77:Acepto que no sepa resolver el problema y que tampoco entiendo tu forma de resolverlo.
    El caso de distancias fraccionarias: Una gran cantidad de problemas mas o menos “interesantes” es de esperar que, un aliciente mas para el que lo resuelve, la solución sea “atractiva”. Cosa que se cumple con “mi forma de resolverlo” variando el parametro distancia. Pero si no lo se resolver, podemos olvidarlo pues será un fallo mas

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  88. @kurodo: “El perro se mueve a velocidad constante por el cuadrado: es decir, tomando como cero de mi sistema de referencia inercial el centro de la primera fila, se verá al perro ir con velocidad constante. Lo que significa en plata blanca que cuando el perro haya llegado a la primera esquina del cuadrado lo habrá hecho en 1/8t”

    No. El perro se mueve con velocidad constante con respecto al suelo. Con respecto a los soldados, no. De hecho, es evidente que los soldados lo veran pasar mucho mas rapido cuando el perro se muev en contra de su dirección que a favor. Y por lo tanto el tiempo que tarda el perro en recorrer cada arista es distinto (mira mi solución).

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  89. No hernan: si no se mueve a velocidad constante con respecto al cuadrado de soldados quiere decir que el perro sufre aceleraciones……. Esto no es así…..El perro no sufre aceleraciones, se mueve a velocidad constante(otra cosa es que su velocidad constante sea superior a la de los soldados), y los soldados puesto que van a velocidad constante son un sistema de referencia inercial.

    Ya puestos a no utilizar sistemas de referencia inercial: propongo el mismo problema solo que el perímetro de 80 metros lo hace un circulo. A ver que sale si intenta resolverse sin cambiar de SRI…..

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  90. korudo77: Si fuera aceptable mi forma de resolver el problema, a tu proposición de circulo de perimetro 80m. yo diria que el perro recorre una cicloide, si la distancia recorrida por los soldados cioncide con el perimetro será “normal” y sino sera alargada o acortada
    Opino como hernan

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  91. Voy a resolverlo con cada arista(a ver si se convencen): ya lo resolví para la primera arista veamos cuando recorre la segunda arista.

    El perro recorre 20 metros visto desde el SRI del centro de la linea del frente. O sea que lo hará en 1/4t. O sea que la distancia recorrida por el grupo de soldados será de 5. Entonces la distancia recorrida por el perro en 1/4t será de:

    D = \sqrt{20^2 + 5^2}

    y eso me da 20.615.. que multiplicado por 4 me da 82.462.

    Ahora veamos que la tercera y la cuarta arista son el mismo caso: recorre 20 metros en 1/4t desde el SRI del centro de la primera linea y son 5 metros que recorren los soldados en ese tiempo entonces me da lo mismo que en el caso anterior. El ultimo trayecto es el que ya hice. Lo que estoy calculando es el modulo del vector velocidad del perro…

    Veamos otra manera de verlo: hace la mitad del recorrido en 1/2t. Es decir desde el SRI del centro de la linea se ve que va desde ahí al centro de la última fila en 1/2t. Entonces la distancia que habrán recorrido los soldados será de 10 metros. Veamos entonces cuanto ha recorrido el perro en 1/2t:

    D = \sqrt{40^2 + 10^2}

    que me da como resultado que el perro ha recorrido en 1/2t, 41,231 y multiplicando por 2 obtengo otra vez 82,462….

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  92. @kurodo: olvidate un momento de “sistemas de referencias inerciales” y usa un poco de sentido comun. si el perro camina siempre a una cierta velocidad (digamos 10km/h), en el momento en que camina en sentido contrario de los soldados (pongamos que marchan a 4km/h) la velocidad de perro en el sistema de referencia de los soldados será de 14km/h, en cambio cuando camina en el mismo sentido que los soldados, su velocidad en este sistema es de 6km/h. La velocidad del perro (con respecto al suelo) es constante solamente en modulo; en direccion/sentido es constante solamente mientras recorre una arista.

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  93. No me olvido de los SRI por una simple razón hernan: en física no son precisamente de lo que hay que olvidarse(de hecho son el sentido común). Ahora mira que puedo hacerlo directamente para t. En t recorre 80 metros, los soldados recorren 20 metros, entonces lo que recorre el perro en t será:

    D = \sqrt{80^2 + 20^2}

    ¿que me da otra vez? 82,462m…… Piensa como si los soldados se vieran quietos así mismos, y solo un observador externo pudiera ver que se mueven… Si los soldados se ven quietos a si mismos ¿que veran? Pues al perro moviendose a velocidad constante por las aristas……..

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  94. @kurodo77 (ultimo intento) Me parece que estás obcecado con el principio de los sistemas inerciales, lo cual te impide ver la obviedad que puse arriba. Estás usando el principio para armar un razonamiento incorrecto – puesto que llega a una conclusión evidentemente falsa:

    A. Si un cuerpo tiene un movimiento no acelerado (velocidad constante) en un sistema de referencia, también lo tendrá en otro sistema que que se mueve con respecto al otro sistema a velocidad constante (SRI). [correcto]
    B. El perro tiene velocidad constante respecto del piso.
    C. El sistema “cuadrado de soldados” es SRI respecto del piso.
    D. El perro tiene velocidad constante respecto del cuadrado de soldados. [falso – EVIDENTEMENTE]

    ¿donde está el error? En que el perro no tiene “velocidad constante”, (velocidad vectorial) lo único constante es su módulo. La velocidad VECTORIAL del perro sí que cambia (cuando dobla las esquinas!) y el perro sí que está acelerado (aceleración centrípeta).

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  95. A ver no estoy obcecado con nada hernan: yo lo que he calculado es el módulo de la velocidad(que es constante aunque distinto en ambos SRI, esto no tiene nada que ver con la velocidad vectorial, que no se que tiene que ver con este problema), y puesto que el módulo de la velocidad es constante en el SRI del centro de la linea del frente cuando llegue a la primera esquina lo habrá hecho en 1/8t (tu lo has dicho el módulo, que es lo que nos importa, es constante en ambos SRI, que es lo que nos permite medir la distancia que recorre la trayectoria). Los 80 metros(que es la distancia medida desde el SRI de la linea del frente y si lo dudas pon a los soldados inmóviles y al perro girando en un transporte que haga los 20 metros y dime cuanto recorre el perro desde el punto de vista de los soldados, suponiendo que no saben que se mueven), se recorren con “MODULO CONSTANTE”.

    ¿que la velocidad vectorial varia? Si ¿y? ¿Importa? No se necesita para el problema necesito es el módulo de ambos SRI…..

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  96. Hay una manera geométrica preciosa de verlo(que no involucra SRI ni nada). Digamos que tomamos el centro de la linea del frente y antes de empezar a moverse, cojemos al perro y lo llevamos a la coordenada (80,0) ¿estamos?(admitimos que quietos todos eso es lo que mide el cuadrado: 80 metros) Ok ahora empiezan a moverse ambos a la posición (0,20) Ambos deben recorrer la distancia en el mismo tiempo t que es la condición del problema. ¿Pues adivinen? Mientras los soldados recorren 20 metros el perro recorre:

    D = \sqrt{80^2 + 20^2} =  82,462

    que es la hipotenusa del triangulo que hemos construido. Pues a mi me parece preciosa esta manera de verlo(cada quien entiéndalo como guste).

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  97. Suscribo plenamente la solución de hernan | 28 de February de 2011 | 18:10: 83,6225 metros es el recorrido del perro.

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  98. 100m así a ojo… Supongo que se puede descomponer el recorrido que hace el perro en dos trayectorias, una que es la que da la vuelta al cuadrado (80m), y la otra que trata de recorrer los 20 metros que se mueven los soldados.

    Así la solución es 80 + 20 = 100m

    Si los soldados avanzasen 20000m, la solución sería 80 + 20000 = 20080m

    Con esto también tiene sentido lo de que cuanto más grande sea la distancia recorrida por los soldados, la velocidad de éstos y la del perro se aproximan cada vez más

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  99. A veces pienso que los teclados de ordenador son demasiado baratos.

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  100. Aceptaba que las Matemáticas eran “dificiles”… no sabia que lo fueran tanto

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  101. Hola, un amigo me paso este problema hace unos días y creo que encontré la solución.
    Si ven algún error en esto por favor respondan. Gracias!

    Referencias:
    Vs=Velocidad de los soldados
    Vp= Velocidad del perro
    e1, e2, e3, e4, e5 = Espacio que recorre el perro en cada tramo
    t1, t2, t3, t4, t5 = Tiempos que tarda en recorrer el perro cada tramo

    1er tramo (e1)
    Hipotenusa del primer triangulo rectangulo de la mitad de la parte superior:
    e1 = \sqrt{10^2+(Vs*t1)^2}
    y también:
    e1 = Vp*t1
    Igualandolas y despejando:
    Ecuación 1: t1^2*(Vp^2 - Vs^2) = 100

    2do tramo (e2)
    El lado del cuadrado, el espacio será menor a 20 ya que los movimientos tienen sentidos contrarios.
    e2 = Vp * t2
    e2 = 20 - Vs * t2
    Igualandolas:
    Ecuacion 2: Vp * t2 = 20 - Vs * t2

    3er tramo (e3)

    Hipotenusa del triangulo rectangulo inferior:
    e3 = \sqrt{20^2+(Vs*t3)^2}
    y también:
    e3 = Vp*t3
    Igualandolas y despejando:
    Ecuación 3: t3^2*(Vp^2 - Vs^2) = 400

    4to tramo (e4)
    El lado del cuadrado, el espacio será mayor a 20 ya que los movimientos tienen sentidos contrarios (Pero no necesariamente igual de diferente que el tramo 2)
    e4 = Vp * t4
    e4 = 20 + Vs * t4
    Igualandolas:
    Ecuacion 4: Vp * t4 = 20 + Vs * t4

    5to tramo (e5)
    Triangulo rectangulo igual al del tramo 1.
    e5 = \sqrt{10^2+(Vs*t5)^2}
    y también:
    e1 = Vp*t5
    Igualandolas y despejando:
    Ecuación 5: t5^2*(Vp^2 - Vs^2) = 100

    También podemos considerar la siguiente relación segun el movimiento de los soldados ya que avanzaron 20 metros.
    Ecuación 6: Vs * (t1 + t2 + t3 + t4 + t5) = 20

    Relaciones entre variables:
    t1 = t5, e1 = e5(Son triangulos rectangulos iguales porque las velocidades son constantes)

    2 * t1 = t3

    Esto reduce nuestras variables a:
    Vs, Vp, t1, t2, t4

    Las ecuaciones independientes son:
    Ecuacion 1, Ecuacion 2, Ecuacion 4, Ecuacion 6
    (Ecuacion 3 y Ecuacion 5 son iguales que la Ecuacion 1)

    Dado que la velocidad del perro es dependiente de la velocidad de los soldados (sin importar cual sea esta) y que el espacio es independiente de la velocidad => podemos fijar la velocidad de los soldados (Vs) en 1 m/s por ejemplo para simplificar los calculos.

    De esto nos queda un sistema de 4 variables y 4 ecuaciones.
    Al resolverlo:
    Vp= 4.18113
    t1 = 2.46319
    t2 = 3.86017
    t4 = 6.28708
    Entonces:
    t3 = 4.92638
    t5 = 2.46319
    Y más imortante aún:
    e1 = 10.2989
    e2 = 15.54
    e3 = 20.5978
    e4 = 28.0501
    e5 = 10.4391
    Por lo tanto el espacio recorrido por el perro es:
    e1 + e2 + e3 + e4 +e5 = 84.92587

    Slds,
    Nacho

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  102. Amigo Nacho: Tu razonamiento considero es el mismo que varios amigos han expuesto, tus soluciones de los tiempos las veo correctas pero repasa los espacios (creo fallos de las prisas), como puedes ver no concuerda con lo que bastantes consideran correcto
    Saludos

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  103. Gracias Sebas:
    Tuve un error al calcular e5 (que debe ser igual a e1). El valor correcto es:
    e5 = 10.2989
    y la solución por lo tanto:
    e1 + e2 + e3 + e4 +e5 = 84.7857

    Slds
    Nacho

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  104. Amigo nacho: Creo que aún hay algunos errores en “c”, o 2 creo haber visto
    Saludos

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  105. Hola Nacho: Perdona, escricí “c” por “e”
    Tomando tu Vp 4.18113 y los distintos “t”, haciendo e=v*t tenemos
    e1=10.2989176 ok
    e2=16.1398726 !!
    e3=20.5978352 ok
    e4=16.2870988 !!
    e5=10.2989176 !!
    Que hacen un espacio total de 83.6226418

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  106. Madre mía que rayadas os meteis para calcular algo tan sencillo.

    Si los soldados recorren 20m en t segundos, entonces V_S=20/t, de donde t=20/V_S.

    Entonces, como el perro va a velocidad constante, no tiene màs remedio que recorrer cada lado del cuadrado hecho por los soldados en un mismo tiempo, es decir: t=20/V_s/4=5/V_S.

    Entonces, cada vez que pasa este tiempo los soldados avanzan un poco, es decir, avanzan (5/V_S)V_S=5. Así ya podemos completar los triángulos rectángulos que se forman con el recorrido lateral del perro y vertical de los soldados, y tenemos una cosa así:

    A dos lados tenemos un triángulo rectángulo de catetos 20 y 5: por tanto de hipotenusa 5sqrt{17} y dos lados donde recorre 5 metros más que el lado de los soldados, es decir, 25; y otro donde recorre 5 metros menos, es decir, 15.

    Ahora sólo tenemos que sumar todo el recorrido real del perro y tenemos:

    10sqrt{17}+25+15approx 81,23

    Y ya está, problema resuelto.

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  107. Pepealej: Parecia que este problema estaba liquidado, pero según tu nos pasamos de rosca, al afirmar “Madre mía que rayadas os meteis para calcular algo tan sencillo.” me siento aludido.
    Afirmas:”Entonces, como el perro va a velocidad constante, no tiene màs remedio que recorrer cada lado del cuadrado hecho por los soldados en un mismo tiempo…dos lados tenemos un triángulo rectángulo de catetos 20 y 5: por tanto de hipotenusa SQRD17y dos lados donde recorre 5 metros más que el lado de los soldados, es decir, 25; y otro donde recorre 5 metros menos, es decir, 15.”
    Pregunto: Velocidad constante,tiempos iguales, lados distintos?

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  108. Sebas: Antes de nada mis disculpas por si he ofendido a alguien, pero me sorprendió ver tantas soluciones variopintas y de lo más complicadas para un problema que, a mi personalmente, me pareció sencillo.

    A lo que yo me refiero es a lo siguiente. Si nos ponemos desde el punto de vista de uno de los soldados, el perro (que va a velocidad constante) recorrerá cada uno de los lados del cuadrado a velocidad constante. Si recorre todos los lados en un tiempo t, cada lado lo recorrerá en un tiempo t/4.

    Así mismo, los soldados (que avanzan a una velocidad v) avanzarán v por el tiempo que le lleve al perro llegar al otro extremo del cuadrado (todo esto para resolver un triángulo rectángulo formado por un cateto que son los 20m, y otro que es el espacio recorrido, para tener la hipotenusa con lo que verdareramente recorre el perro). Así, los soldados avanzan v*t/4 (de lo que escribí en el otro mensaje te queda 5), así los soldados avanzan 5m.

    Esto ocurre en dos lados del culo (opuestos) y en los dos restantes como el perro sube a la par que suben los soldados, la distancia que recorre es 20+5, y en el otro como baja mientras los soldados suben lo que recorre son 15m.

    Si sumamos todo te queda aproximádamente 81,23m, y eso es lo que recorre el perro.

    Saludos.

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  109. Pepealej: Efectivamente, “soluciones? variopintas” han abundado y lo que tu planteas “sencillo” no es inedito aquí, como tampoco lo es “del punto de vista de los soldados, del perro… y otros”
    Te sugiero que hagas una lectura completa de los distintos comentarios.
    Estoy de acuerdo contigo con lo de “problema sencillo” (pero no con la solución) si lo comparo con otros que se lidian por esto ruedos.
    Saludos

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  110. Con todo respeto creo que TODOS están equivocados, el perro no puede cruzarse por entre los soldados para su marcha, de los 5 trayectos el perro debe recorrer tres tramos curvos, veamos: 1) del centro hacia adelante a la derecha (curvo) hasta llegar a la primera esquina 2) hacia atras recto hasta llegar a la segunda esquina, 3) hacia adelante a la izquierda (curvo) hasta llegar a tercera esquina 4) hacia adelante recto hasta llegar a la cuarta esquina y 5) hacia adelante a la derecha (curvo) hasta llegar al centro, si el perro marcha recto se estrellaria con los soldados, principalmente en las esquinas (no cumpliendo la exigencia que solo puede ir por el perímetro), para resolver esta situación, el perro debe en estos tres trayectos curvos coordinar su marcha en curvas denominadas Tractrices (http://es.wikipedia.org/wiki/Tractriz). Ya es solo plantear las ecuaciones de distancia para estos 5 trayectos igualando los tiempos en las ecuaciones de velocidad y listo. Como no permiten dar la respuesta me la reservo, pero definitivamente es más que 80 metros.

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  111. Exorcista: Es posible que muchas veces vaya equivocado, como otros. Antes de seguir te sugiero que vuelvas a leer la definición del enlace que adjuntas y el enunciado del problema, y compara. Lo que si estoy de acuerdo es que son mas de 80 m.
    Saludos

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  112. Estimado Sebas, No me gusta dar el pescado sino enseñar a pescar, por favor lee el enlace en la parte final respecto a: Curva de Persecución, exactamente: http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_de_persecuci%C3%B3n donde: Se denomina curva de persecución a la curva que describe un objeto que se desplaza a velocidad w constante, y que persigue de manera óptima a otro que se desplaza en línea recta a velocidad v también constante. Hay está la clave y lo que quería exponer de plantear las ecuaciones del desplazamiento del perro en función de los soldados de acuerdo a este análisis, tal vez este equivocado, por favor corrijanme!. De lo que sí estoy seguro es que el perro no puede desplazarse en línea recta (hipotenuza óptima) en los puntos 1,3 y 5 expuestos porque se estrella con los soldados y sí se desplaza sobre hipotenuzas más amplias ya no es óptimo el recorrido, ya que el perro no es tonto y tratara de recorrer la menor distancia posible, es decir, ir casi pegado al pelotón pero sin tocarlo. Salu2 y quedo atento a sus respuestas ! estos debates son muy interesantes. Felicitaciones a gaussianos.

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  113. Amigos, revisando su planteamiento (jicnacho) creo que la respuesta dada por Ustedes de 83.6226418 metros puede ser aceptable suponiendo que en el tiempo infinitesimal de la arrancada, el soldado que se encuentra pegadito a la derecha del perro (deberían ser 20 soldados por fila) empieza con el pie derecho y no alcanza a patear al perro ya que arrancan al mismo tiempo. Bueno, pero digamos que los puse a pensar con lo de las curvas cierto? Salu2 !

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  114. Exorcista: Te agradezco tus lecciones de pesca, veré si puedo aprovecharlas.
    En tu primera intervención citas la Tractriz… un punto es arrastrado…, no creo que los soldados arrastren al perro.
    En tu segunda citas la Persecución, no entiendo que el perro persiga a nadie, no es el caso de “las 4 mariquitas en el cuadrado”. En todo caso “persigue” el que tiene inmediato a su lado y asi secesivamente, mis artes de pesca me indican que sigue una línea recta. El enunciado dice “siguiendo el perimetro del cuadrado”
    Veo que consideras aceptable (7 cifras decimales) la solución que aporto (la última que aparece).. gracias, la saqué de un triangulo rectángulo con ayuda del señor Pitagoras
    Saludos

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  115. Divertido el cariz que ha tomado el problema con la intervención de Exorsista.
    Estamos acostumbrados, tanto en matemáticas como en física, a convertir a perros y soldados (virtuales) en puntos sin dimensiones.
    Creo que, en general los problemas se plantean con la intención de que se haga esa suposición.

    Este problema se podría acercar a la realidad, para satisfacción de Exorsista del siguiente modo:

    a) Los soldados están confinados por unas paredes rígidas cuyo perímetro
    exterior es un cuadrado de 20 m de lado. Los soldados perimetrales están en contacto con la parte interior de dichas paredes y las arrastran consigo al avanzar.

    b) El perro está contenido en un cilindro rígido cuyo diámetro exterior mide (p), tiene la narz y la cola en contacto con la superficie interior del cilindro y lo arrastra consigo al avanzar.

    c) En el momento inicial el exterior del cilindro es tangente a la parte exterior de la pared frontal de los soldados.

    d) En estas condiciones el perro tiene que recorrer algo más de 20 metros por cada lado para poder girar en los vértices.

    e) Primera opción: el perro se desplaza siempre en línea recta y cambia bruscamente de dirección en cuanto sobrepasa (en sentido horizontal o vertical, según el caso), el perímetro del recinto de los soldados. Es como el caso de debate pero el perro recorre, respecto de los soldados, un cuadrado de 20 + 4*(p) de lado. El cilindro del perro se mantendría tangente al recinto de los soldados salvo un momento en cada esquina en el que quedaría algo separado. La dificultad de este planteamiento es de igual magnitud que la del problema planteado en el post.

    f) Segunda opción: el perro mantiene en las esquinas, sin variar su velocidad lineal, tangente su recinto con el de los soldados. Ahora recorrerá, además de las trayectorias rectas, cuatro curvas (creo que elípticas y de longitudes iguales dos a dos) cuya longitud total debería ser calculada en función de las velocidades y del diámetro (p). Esto complica las cosas un poco más.

    ¿Algún maniático de la precisión se atreve a resolver las cuestiones e) y f)?

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  116. Despues de tantas intervenciones en este hilo en el que he hecho recorrer miles de metros al “punto” y al “cuadrado” me entran remordimientos por si en algún momento el “cuadrado” ha llegado a pisar la cola del “punto”. Espero no recibir ninguna advertencia de la Sociedad Protectora de las Figuras Geométricas

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  117. Sebas: Hay que dejar de lado tanta prepotencia y tener un poco de humildad, los razonamientos y conclusiones haciendo varias “suposiciones” como objetos adimensionales, desplazamientos y cambios de dirección sin inercia, etc, son aceptables para tareas de colegio, sin embargo no todo se soluciona a punta de pitagoras, la sociedad nos exige de análisis que vean más allá del mero y excueto planteamiento de un problema y que se analicen todas las implicaciones posibles (por descabelladas que sean), en la realidad, y sí estamos hablando por ejemplo de un acoplamiento de dos naves en el espacio, tus razonamiento y tus siete cifras decimales serían un fracaso, ahora, si consideramos ejemplos donde las velocidades y distancias sean considerables (una sonda espacial p.e.) tus solución equivaldría a kilometros de ERROR, mejor no digo más.

    Salu2.

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  118. Amigo Exorcista: Siento que el tono de mis notas te hayan molestado, de verdad no era este mi proposito. Tampoco entiendo tu tono al afirma “TODOS (con mayuscula) están equivocados”. Este problema para mi supone un entretenimiento de tarea de colegio y como tal con otros foreros he intentado razonar.
    Se que “mis” (y la de otros) 7 cifras decimales (creo que tu no has aportado ninguna) para una sonda espacial seria un fracaso, pero yo no alcanzo a despegar los pies del suelo, y perdoname, humildemente acepto que mis razonamientos no sean muy correctos (como he dicho en otro hilo) no soy profesonal de las Matemáticas, solo aficionado y se que expuesto a las criticas de los Matemáticos que aqui hay.
    Entiendo que si un problema como este, un Matemático lo puede hacer entender a los chavales de un colegio, para mi es un ESTUPENDO Matemático y posiblemente de estos chavales salga algún Científico
    Saludos y perdona

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    • La respuesta es 20*sqrt(2).
      La velocidad del perro es sqrt(2) veces la de los soldados, ya que tiene que pasar de su posición inicial a la del siguiente soldado (1 m a la izquierda y 1 m hacia adelante) en el mismo tiempo que el soldado avanza un metro.
      Es decir Vp=sqrt(2)*Vs
      Tanto Vp, como Vs, son constantes según el enunciado.
      El tiempo que tardan los soldados en recorrer 20m será: T=20/Vs.
      Como el perro está andando el mismo tiempo en dar la vuelta, su recorrido será Vp*T. Es decir sqrt(2)*Vs*20/Vs=sqrt(2)*20.

      Es muy parecido al problema de la mosca que iba y volvía entre dos trenes que le propusieron a Von Newmann y que, pese a ser fácilmente resoluble por un sistema parecido al de los soldados, Von Newmann resolvió haciendo la suma infinita (de cabeza) como método más evidente para él.

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      • Pensándolo mejor, es posible que el perro alcance al soldado antes (o después) de que recorra 1m, con lo que mi respuesta no vale.
        Me temo que tendré que sumar los cuatro tramos.

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