El porqué de la forma de las antenas parabólicas

¿Quién no se ha preguntado alguna vez por qué las antenas parabólicas tienen exactamente esa forma y no otra? ¿Será por razones estéticas, o tal vez habrá alguna razón científica para ello? Pues, como ya habréis adivinado, la razón es científica, matemática concretamente.

Pero antes recordemos cómo se define la cónica denominada parábola:

Una parábola es una curva formada por los puntos que están a la misma distancia de un punto concreto, denominado foco, y de una recta concreta, llamada directriz.

Por tanto, para tener determinada una parábola simplemente necesitamos saber cuál es el foco y cuál es la directriz de la misma. En el siguiente applet de GeoGebra tenéis una párabola y podéis jugar con su forma moviendo su foco, el punto F, y su directriz, la recta d. Además podéis ver que si movemos el punto P a lo largo de la misma, la distancia de él a F y a d es siempre la misma:

También se aprecia que una parábola tiene un eje de simetría, que es la recta que pasa por su foco y por el punto más bajo (o más alto, según la posición de la directriz respecto del foco) de la misma, que es el vértice de la parábola.

Bien, ¿qué figura representa una antena parabólica? Pues un paraboloide de sección circular (a partir de ahora simplemente paraboloide), como el que podéis ver en esta imagen:

aunque posiblemente lo veáis mejor algo inclinado. Seguro que en la siguiente imagen reconocéis mejor esa antena parabólica a la que estamos haciendo referencia:

Y no solamente antenas parabólicas, sino radiotelescopios, micrófonos parabólicos o algunas cocinas solares.

Como se puede ver en las gráficas anteriores, un paraboloide es una figura tridimensional obtenida al hacer girar una parábola respecto a una cierta recta, que es el eje del paraboloide. Si hacemos un corte en esta figura con un plano que contenga a este eje obtenemos una parábola. Todos los cortes que podamos hacer así tienen el mismo vértice y el mismo foco, por lo que esos puntos son el vértice y el foco del paraboloide.

Vamos al tema. La razón por la que estos instrumentos nombrados anteriormente (antenas, radiotelescopios, etc.) tienen forma de paraboloide es una interesante propiedad de la parábola que enunciamos a continuación:

Los rayos paralelos al eje de simetría de la parábola son reflejados por la misma hacia su foco.

Es decir, que si yo envío un rayo hacia la parábola que sea paralelo a su eje, entonces ésta lo refleja hacia su foco. Vamos, que el reflejo de los rayos paralelos al eje de la parábola pasa por el foco de la misma.

¿Y para qué puede servir esto? Pues muy sencillo. Si nosotros construimos un paraboloide y colocamos un receptor de señal en el foco del mismo, podremos enviar señales paralelas al eje del paraboloide con la total seguridad de que todas ellas serán recibidas por dicho receptor. O podemos orientar un paraboloide con un receptor en su foco hacia el Sol para acumular así energía solar, que a pequeña escala puede aplicarse a la cocina y a gran escala en centrales de captación de energía solar.

Pasemos ahora a la parte más matemática del asunto. Vamos a demostrar matemáticamente este hecho, pero vamos a hacerlo en dos partes. Primero un resultado previo y después el que queremos demostrar, que los rayos paralelos al eje se reflejan hacia el foco. Vamos con el previo:

Dado un punto P de una parábola con directriz d y foco F, representamos la proyección del mismo en la directriz, punto al que llamamos D, y dibujamos los segmentos que unen a P con el foco, PF, y con su proyección sobre d, PD. Entonces la recta tangente a la parábola en el punto P divide al ángulo FPD en dos ángulos iguales.

Representemos gráficamente esta situación:

El enunciado anterior dice que el ángulo formado por los segmentos PF y PD, \alpha, es bisecado (dividido en dos ángulos iguales), los dos \beta que aparece en la imagen, por la tangente a la parábola en el punto P. Vamos a demostrar este resultado:

Los segmentos PF y PD son iguales, por ser P un punto de la parábola (recordemos, los puntos que están a igual distancia de un punto llamado foco y una recta llamada directriz). Entonces el triángulo PFD es isósceles.

Tomemos ahora el punto medio del segmento FD, que llamamos M. Al ser isósceles nuestro triángulo, se cumple que la recta que pasa por M y P divide al ángulo FPD en dos ángulos iguales. Ahora solamente falta demostrar que dicha recta es la tangente a la parábola en P.

Para ello vamos a suponer que nuestra parábola es la de ecuación y=x^2 (no perdemos nada con esta suposición, ya que todas las parábolas son esencialmente iguales). El punto P tendrá por tanto coordenadas (a, a^2), y las coordenadas y de F y de D serán opuestas (iguales pero con signos contrarios), por lo que el punto M, punto medio del segmento FD, tiene coordenada y igual a 0.

(En esta imagen puede verse una representación de esta situación con la parábola que hemos usado en el resto del post. La recta en color negro representa al eje X)

Ahora, la coordenada x de M es la mitad que la de P, a/2. Por otra parte, si llamamos H al corte con el eje X de la perpendicular a él que pasa por P, la pendiente del segmento MP es la longitud de PH entre la longitud de MH, es decir, {a^2 \over (a/2)}=2a.

Pero sabemos que la pendiente de la tangente a y=x^2 en el punto (a, a^2) es la derivada de x^2 en el punto a, esto es, 2a. Al ser igual a la anterior se concluye que la recta que pasa por M y P es la tangente a la parábola en el punto P.

¿Todo esto que significa? Pues que cualquier línea paralela al eje de la parábola, que tocará en un punto P de la misma, es reflejada por la tangente en P hacia adentro con el mismo ángulo que forma dicha tangente con el segmento proyectado desde P a la directriz, por lo que el reflejo de la misma va directamente hacia el foco de la parábola:

Interesante, ¿verdad?


Fuente y enlaces relacionados:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

18 Comentarios

  1. Wew! Muy interesante… la de veces que habré resuelto problemas con antenas parabólicas, pero sin recordar la demostración matemática de la confluencia de rayos reflejados hacia el foco. Pero bueno, ya que tocas un tema “telequil”, aprovecho para hacerte una pequeña puntualización 🙂

    Dices en tu post: “Si nosotros construimos un paraboloide y colocamos un receptor de señal en el foco del mismo, podremos enviar señales paralelas al eje del paraboloide con la total seguridad de que todas ellas serán recibidas por dicho receptor.” Bueno, pues desde el punto de vista de las radiocomunicaciones, esto no es del todo exacto. Cualquier antena puede utilizarse como transmisora o como receptora. Si usamos una antena parabólica como transmisora, lo que ocurre es lo siguiente: en el foco ponemos una antena pequeñita que “ilumine” de la forma más uniforme posible el paraboloide (por ejemplo, una antena de bocina, un dipolo con un reflector detrás, etc). De esta forma, toda la radiación electromagnética sale del foco, llega a todos los puntos de la parábola y sale reflejada EN UNA ÚNICA DIRECCIÓN. Es decir, hemos conseguido una antena transmisora muchísimo más precisa que la que estaba en el foco, lo cual permite apuntar con precisión hacia el receptor, o alcanzar mayores distancias, etc.
    En el caso de usar la parabólica como receptora (lo que hacemos con las que tenemos en casa) es el caso contrario: a la antena pequeña del foco llega concentrada toda la radiación electromagnética captada por el paraboloide DESDE UNA ÚNICA DIRECCIÓN y no de otras (por eso hay que apuntar con cuidado las parabólicas para captar el satélite que queramos, y se nos puede ir la recepción en días de mucho viento, por ejemplo).

    Espero haber aclarado un poco el tema 😉 Un saludo!

    Publica una respuesta
  2. Muy muy interesante. Y perfectamente explicado. Gran post, Miguel Ángel. Me ha encantado.

    Salud!

    Publica una respuesta
  3. Muchas gracias por la aclaración ÓsQar, seguro que a los lectores le ha quedado todo mucho más claro :).

    Gracias por el applet Pablo. Muy bueno, como siempre.

    Y gracias por tu comentario Dani, me alegro mucho de que te haya gustado el post 🙂

    Publica una respuesta
  4. Decididamente es una de las formas que se aplican a numerosos objetos y aparatos tecnológicos no solo para ondas de radio o televisión sino también para enviar señales digitales, ondas infrarrojas de calor (estufas y calentadores) y, sobre todo luminosas: faros de coches y todo tipo de vehículos, reflectores antiaéreos, etc. ¿Como podría Gotham pedir ayuda a Batman si no tuviera el instrumento adecuado?

    Publica una respuesta
  5. Se me ha olvidado decir que, sin la ayuda de los telescopios reflectores, los progresos de la astronomía habrían sido más lentos o más caros. Y gracias a los espejos parabólicos.

    Publica una respuesta
  6. Como apunte, para que mi profesor de Dibujo vea que aunque la geometría no es mi materia preferida le atiendo en clase XD, comentar que en realidad esta propiedad es característica de todas las cónicas.
    Cuando queremos trazar una tangente a una elipse por un punto de la misma hay que hacer la bisectriz del ángulo F_1PF_2 y trazar la perpendicular por P. Para el caso del círculo es obvio que el razonamiento es el mismo, sólo que como los focos coinciden la bisectriz es el propio radio. Y finalmente la hipérbola es tres cuartos de lo mismo, pero al haber pasado F_2 por el infinito y haber vuelto no hay que trazar la perpendicular a la bisectriz, sino que ahora la bisectriz resulta directamente tangente en vez de normal.
    Esto, aplicado a la parábola, nos dice que debemos unir P con F y … F_2, que es un punto impropio (en el infinito), por eso se traza una paralela al eje.
    Espero que mi anotación le sea útil a alguien 🙂

    Publica una respuesta
  7. Disculpen, esto no tiene nada que ver con el post, pero ¿es cierta la siguiente igualdad? (2*cos(pi/5)=(1+sqrt(5))/2=phi . En el Wolfram Alpha da que es así. Pero ¿es cierto? ¿pi y phi se relacionan así nada mas?

    Publica una respuesta
  8. Si no me equivoco, esta misma propiedad se usa en ciertos “cacharros” para captar la luz solar y calentar ollas de cocina de manera totalmente natural y sin necesidad de hacer fuegos.

    Todos los rayos solares se reflejan hacia el foco del paraboloide, donde se coloca el artilugio que se pretende calentar. Una vez vi un video en youtube, pero no lo he encontrado.

    Saludos!!

    Publica una respuesta
  9. Creo que es bueno matizar que la sección al paraboloide no tiene por qué hacerse de modo que el foco quede justo en el centro de la antena. De hecho, sobre todo si la antena es pequeña, puede ser buena idea hacer la sección en un costado del paraboloide (ya sé que no tiene mucho sentido hablar de ‘costados’ aquí, pero no sé como expresarlo mejor), de modo que el receptor, colocado en el foco no se interponga en el camino de la radiación electromagnética.

    De hecho, muchas de las antenas pequeñas son así, y son más eficientes, al evitar este efecto de sombra.

    Otra cuestión es que la sección, quede donde quede el foco, tampoco tiene por qué ser circular.

    Publica una respuesta
  10. Hola
    He descubierto hace poco el blog y lo encuentro interesantísisimo… felicidades…
    Hablando de formas quisiera añadir una curiosa carecteristica más a la parábolas, i es que todas son idénticas, quiero decir que su forma es proporcional.
    Saludos!

    Publica una respuesta
  11. Quizás queráis echarle un vistazo a mi telescopio:

    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Telescopio_Cassegrain.html

    Los faros de algunos automóviles se basan en las mismas ideas, los rayos que salen directamente más o menos hacia adelante, y que divergerían demasiado de la dirección deseada, son reflejados en un espejo auxiliar, para dirigirlos mejor hacia adelante.

    Tengo otros cuatro applets relacionados con reflexiones en cónicas:

    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/EspejoParabolico.html
    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/EspejoEliptico.html
    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/EspejoHiperbolico.html
    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Reflexion_E_H_confocales.html

    A todos ellos se puede acceder desde:

    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/index_conicas.html

    Una cuestión interesante es que todos los rayos recorren distancias iguales en cada caso: desde un foco a otro de una elipse, desde un plano perpendicular al eje de la parábola hasta el foco, o desde un foco de una hipérbola hasta una superficie esférica centrada en el otro foco.

    Una cosa de la que me enteré recientemente y me resultó sorprendente es que la óptica de los faros marítimos no se basa en espejos parabólicos, sino en lentes de Fresnel. ¡Yo solía ponerlos como ejemplo de aplicación de las parábolas!

    Publica una respuesta
  12. ¿Y por qué no hablas de las antenas de oreja de gato?
    Son parabólicas también, solo que no se aprovecha una sección central, sino otra desplazada del eje, de forma que el foco no hace sombra sobre la superficie reflectante.

    Saludos.

    Publica una respuesta
  13. Con esta explicación tan clara, objetiva y sencilla, me has aclarado un montón de dudas que raramente lograba entender, muchas gracias

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. El porqué de la forma de las antenas parabólicas - [...] "CRITEO-300x250", 300, 250); 1 meneos  …
  2. Bitacoras.com - Información Bitacoras.com... Valora en Bitacoras.com: No hay resumen disponible para esta anotación...
  3. El porqué de la forma de las antenas parabólicas - [...] el garum, el aceite, las pullae gaditanae… y el jamón serrano…
  4. Gaussianos cumple 7 años de vida - Gaussianos | Gaussianos - [...] noviembre explicamos el porqué de la forma de las antenas parabólicas, hablamos de la hipótesis del continuo y os…
  5. El porqué de la forma de las #antenas pa... - […]   […]

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *