El porqué de la “universalidad cuadrática” del 15 y del 290

Muchos son los números reales que podrían considerarse “universales” por múltiples razones. ¿Quién no diría que el número Pi, el número e o el propio 0 no son universales? Ahora, que el 15 o el 290 lo sean…como que no parece tan claro. Pero la realidad es que estos dos números enteros positivos, 15 y 290, sí que podrían llamarse “universales” con todas las de la ley. En este artículo vamos a hablar de por qué estos números son tan especiales.

Antes de continuar, es interesante destacar que no son estos números en sí los que son “universales”, sino que están relacionados con la universalidad de unos objetos matemáticos llamados formas cuadráticas. Sin entrar en demasiados formalismos, podemos decir que una forma cuadrática es un polinomio homogéneo de grado 2 en varias variables, esto es, una suma de términos que son siempre el producto de una constante por un término cuadrático (que puede ser una variable al cuadrado o un producto de dos variables distintas). Aquí tenéis un par de ejemplos:

\begin{matrix} Q_1(x,y,z)=x^2-y^2+z^2-4xy+2yz \\ \\ Q_2(x,y,z,t)=x^2+y^2+z^2+t^2 \end{matrix}

En general, una forma cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:

Q(x_1, \ldots , x_n)=\displaystyle{\sum_{i,j} Q_{ij} \cdot x_i \cdot x_j}

Esos coeficientes Q_{ij} son las entradas de una matriz simétrica, que llamaremos A_Q, que es la matriz asociada a la forma cuadrática Q.

Cuando una forma cuadrática Q cumple que Q(\overline{x}) > 0 para todo \overline{x} \ne 0, dicha forma cuadrática se denomina definida positiva (lo que equivale a que la matriz A_Q sea definida positiva). Si analizamos los dos ejemplos anteriores, tenemos que Q_1 no es definida positiva (por ejemplo, Q_1(1,1,0)=-4), pero Q_2 lo es (ya que Q_2(\overline{x}) es suma de términos mayores o iguales que 0 con al menos uno de ellos es distinto de cero).

Para el caso que nos ocupa nos quedaremos solamente con los vectores \overline{x}=(x_1, \dots , x_n) cuyas coordenadas sean números enteros. En esta situación, una forma cuadrática entera es una forma cuadrática definida positiva que cumple que Q(\overline{x}) es siempre un número entero (que será siempre positivo). A partir de este momento, cuando hablemos de “forma cuadrática” implícitamente consideraremos que es definida positiva y que la estamos aplicando a vectores con todas sus coordenadas números enteros.

Es evidente que si todas las entradas de la matriz definida positiva A_Q son números enteros, entonces la forma cuadrática Q es una forma cuadrática entera. Pero también hay matrices cuyas entradas no son todas números enteros que definen formas cuadráticas enteras. Por ejemplo, la matriz

A_Q=\left ( \begin{array}{cc} 1 & 1/2 \\ 1/2 & 1 \end{array} \right )

está asociada a la forma cuadrática Q(x,y)=x^2+xy+y^2, que es definida positiva y, evidentemente, entera.

Para diferenciarlas, a las primeras las llamaremos formas cuadráticas de matriz entera y a las segundas formas cuadráticas de valores enteros.

Después de esta pequeña introducción, vamos a adentrarnos en el tema central del artículo. Una forma cuadrática se denomina universal si representa a todos los números enteros positivos. Es decir, una forma cuadrática es universal si al aplicarla a todos los vectores cuyas coordenadas sean números enteros es capaz de dar como resultado todos los enteros positivos.

John Horton ConwayLa primera pregunta que podríamos hacernos es la siguiente: ¿existen formas cuadráticas universales? Y la respuesta es . Una de las que usamos anteriormente como ejemplo,  Q_2(x,y,z,t)=x^2+y^2+z^2+t^2, es universal (hecho que está garantizado por el teorema de los cuatro cuadrados). Y, evidentemente, la segunda pregunta sería ésta: ¿qué condiciones debe cumplir una forma cuadrática para ser universal? La respuesta a esta cuestión es tan bella como curiosa.

Antes hemos dividido estas formas cuadráticas en dos grupos: las de matriz entera y las de valores enteros. Para las de matriz entera, John Horton Conway y William Schneeberger demostraron en 1993 el sorprendente resultado siguiente:

Si una forma cuadrática definida positiva con matriz entera toma todos los valores enteros positivos hasta el 15, entonces toma todos los valores enteros positivos.

De hecho, este resultado se puede mejorar, quedando el denominado 15-Theorem:

Teorema: (15-Theorem)

Si una forma cuadrática definida positiva con matriz entera toma los valores

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15

entonces toma todos los valores enteros positivos.

Esto significa que para determinar si una cierta forma cuadrática es universal simplemente hay que ver si podemos obtener como resultado de la misma estos nueve números (llamados enteros críticos para formas de matriz entera). Además, este teorema no se puede mejorar, ya que si eliminamos algunos de esos números existe al menos una forma cuadrática que representa a todos los enteros positivos excepto a ese número. Por ejemplo, la forma cuadrática Q(x,y,z,t)=x^2+2y^2+5z^2+5t^2 representa a todos los enteros positivos excepto al 15.

Magnífico a la par que sorprendente, ¿verdad?

Además de lo ya expuesto, el carácter especial del 15 en esta situación nos lo muestran estos dos interesantes resultados:

  • Si una forma cuadrática con matriz entera representa a todos los enteros positivos menores que 15, entonces representa a todos los enteros positivos mayores que 15.
  • Hay formas cuadráticas con matriz entera que “pierden” infinitos enteros positivos si en vez de 15 tomamos cualquier otro entero crítico.

Como hemos comentado, Conway y Schneeberger demostraron este resultado en 1993, aunque no publicaron dicha demostración. Pero no está todo perdido, ni mucho menos. En el año 2000, Manjul Bhargava dio una demostración del 15-Theorem mucho más simple que la de Conway y Schneeberger. Podéis ver dicha prueba en On the Conway-Schneeberger Fifteen Theorem (pdf), artículo en el que podéis ver también un comentario inicial del propio John Conway.

Manjul Bhargava

Para quien no sepa quién es Manjul Bhargava, es interesante resaltar que es nada más y nada menos que uno de los galardonados con la Medalla Fields en 2014. Ah, y una curiosidad: ¿sabéis quién fue el director de tesis de Manjul Bhargava? Pues nada más y nada menos que Andrew Wiles (aquí podéis verlo en el MGP). Sí, exacto, el del último teorema de Fermat. Casi nada.

Ahora, este especialista en teoría de números no se quedó ahí. ¿Os acordáis de que habíamos dividido nuestras formas cuadráticas en dos tipos? El 15-Theorem resuelve el problema de caracterización de las formas cuadráticas universales para las de matriz entera, pero todavía no sabemos qué ocurre con las de valores enteros.

Bien, pues fue el propio Bhargava quien resolvió esta cuestión. En 2005 demostró, junto a Jonathan Hanke, que para las formas cuadráticas de valores enteros se cumple un resultado del estilo al caso anterior, pero reemplazando el 15 por el 290:

Si una forma cuadrática definida positiva con valores enteros representa a todos los enteros positivos hasta el 290, entonces representa a todos los enteros positivos.

Y, como en el caso anterior, este resultado se puede mejorar hasta llegar al siguiente, denominado 290-Theorem:

Teorema: (290-Theorem)

Si una forma cuadrática definida positiva con valores enteros representa a los enteros

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 37, 42, 58, 93, 110, 145, 203, 290

entonces representa a todos los enteros positivos.

Es decir, para ver si una forma cuadrática de valores enteros es universal solamente hay que ver si es capaz de representar a estos 29 números enteros (llamados enteros críticos para formas de valores enteros). Y además, como en el 15-Theorem, este teorema no se puede mejorar, ya que si eliminamos algunos de esos números existe al menos una forma cuadrática que representa a todos los enteros positivos excepto a dicho número. En el artículo de Bhargava y Hanke, Universal quadratic forms and the 290-Theorem (pdf), se puede encontrar este teorema (del estilo al caso anterior) que le da al 290 un carácter casi tan especial como el del número 15:

Si una forma cuadrática con valores enteros representa a todos los enteros positivos menores que 290, entonces representa a todos los enteros positivos mayores que 290.

Como detalle final en relación con estos dos teoremas, el número mínimo de variables que debe tener una forma cuadrática para poder ser universal es 4 (cuaternarias). Bien, pues Bhargava también demostró que hay exactamente 204 formas cuadráticas cuaternarias de matriz entera que son universales y 6436 formas cuadráticas de valores enteros que son universales. Lo dicho, maravillosos y sorprendentes resultados relacionados con estos objetos matemáticos denominados formas cuadráticas que seguro harán que a partir de ahora veamos al 15 y al 290 como números mucho más especiales de lo que podían ser hasta ahora.


Para redondear el artículo, un par de detalles más sobre este tema. Bhargava también dio condiciones para que una forma cuadrática de matriz entera represente a todos los números impares y a todos los números primos. Son las siguientes:

  • Si una forma cuadrática de matriz entera toma los valores 1, 3, 5, 7, 11, 15 y 33, entonces toma como valores a todos los números impares.
  • Si una forma cuadrática de matriz entera toma los valores 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 67 y 73, entonces toma como valores a todos los números primos.

Fuentes y más información:

La foto de Manjul Bhargava la he tomado de aquí, y la de John Conway la he tomado de aquí.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

12 Comentarios

  1. Excelente informacion. Gracias. gaussianos. Elizabeth Severo Remy

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  2. muy importante es que se debe saber para entender estos detalles, gracias..

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  3. Sí es verdad que son resultados de teoría de los números que impresionan. Yo, que por otra parte no soy matemático, ni científico, y que no soy ni quiero ser limitadamente cientista; no conocía estos muy bellos hallazgos hasta hoy. Me recuerdan, en cierta forma, a los números de Sierpinski :
    https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Sierpi%C5%84ski
    http://www.seventeenorbust.com/

    “”Si una forma cuadrática de matriz entera toma los valores 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 67 y 73, entonces toma como valores a todos los números primos.””

    Me impresiona este teorema. Pena que se cuelen infinitos números compuestos entre los primos y que no se sepa de antemano cuales son primos y cuales no. Si no generaríamos automáticamente y muy rápidamente números primos de millones de dígitos sin necesidad de tener que comprobar su primalidad (cientos y miles de años de trabajo de ordenadores comprobadores matemáticos de primalidad). Me pregunto porqué sobran 53, 59, 61 y 71 y si con números primos más altos no se reduciría el número de números primos necesarios.

    Vuelvo a la trivialidad sencillita del 2016 :

    http://lit-et-raire.blogspot.com.es/2015/12/las-sorpresas-del-2016-entrante-un.html

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  4. Estudié las formas cuadráticas en mis años de licenciatura. Apenas las entendí. Este artículo me aclaró y amplió mucho esos conocimientos. Gracias por el excelente artículo. Le daré algunas vueltas para hallar, si las hay, conexiones con las secciones cónicas.

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  5. Un error de inatención; de los errores tontos que yo tanto temo, que cometo frecuente pero involuntariamente, porque te hacen perder preciosos y largos minutos de intenso esfuerzo mecánico e infértil para detectar donde está exactamente el error una vez que has comprobado que el resultado final que has obtenido es contradictorio o ilógico o que no concuerda con lo esperado. Al principio de tu texto : Q1(1,1,0) = -4 en vez de Q1(1-1,0) = -4. Buen texto divulgativo por otra parte. A mí me ha servido, que ya no me acordaba casi ni de la teoría básica de las matrices. Una crítica sobre tu texto sobre el nuevo pentágono que tesela el plano: debieras haber sabido perder el tiempo suficiente como para haber hecho el dibujo de la teselación tú mismo con Geogebra o cualquier otro programa. Esa es la clase de tiempos perdidos que terminan siendo casi siempre, al final, tiempos ganados. Yo mismo debiera de hacerlo y nunca encuentro el tiempo. Tiempo que se escurre y nos puede,

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  6. Como hablábamos de errores tontos, he aquí este caso que atañe a la OEIS (Una OEIS que a mí me gusta bastante; me es útil relativamente a menudo para los asuntos de teoría (elemental; soy neófito) de los números.

    https://oeis.org/A063778

    Recuerdo que el autor de esta sucesión, David Wilson; tiene algunas sucesiones, en la OEIS, realmente muy buenas; muy informativas; con muy poca entropía. Creo que es el mismo David Wilson que el que tiene este bonito hallazgo gráfico :

    http://blog.tanyakhovanova.com/2009/08/divisibility-by-7-is-a-walk-on-a-graph-by-david-wilson/

    Pero hay errores tontos en la A063778 : a(8) = 11781 en vez de 11935 y a(11) = 203841 en vez de 220780. Ocurre que en una sucesión que enumera los menores números que son n veces poligonales (n = 1,2,3,4,…); no puede nunca haber un término mayor que su sucesor, porque el sucesor es poligonal de n formas distintas, pero también de n-1 formas distintas, y es menor.
    El error puede deberse a un programa defectuoso escrito en Pari gp que aquí copio :

    lista(nn) = {rec = 0; for (n=3, nn, new = sum(k=3, n, ispolygonal(n, k)); if (new > rec, rec = new; print1(n, “, “)); ); }

    El “if (new > rec,….” no detecta diferencias de más de 1 y justamente a(8) = a(9) = 11781 se diferencia de a(7) = 1225 en que new – rec = 2. Yo utilicé un programilla menos elaborado, que me proporcionaba los términos de la sucesión uno por uno y sin usar la función preconstruida “ispolygonal”; pero que no cometía este error.

    Me gustaría encontrar saltos mayores que 2 en sucesiones de este tipo, de “menores números tal que….., para cada n” e intentar analizar el porqué y el cómo en saltos de 3 o de 4 si los hubiera, que supongo que los habrá.

    Por otra parte Donovan Johnson que aporta los términos del a(22) al a(27) comete el mismo error -aunque yo no llegué tan lejos y no lo he comprobado por mí mismo- probablemente porque a pesar de que disponía obviamente de una gran capacidad de computación (muchos ordenadores y muy potentes), se limitó a usar el mismo programilla defectuoso, en Pari gp, listado en la misma página (Pari gp suele ser muy rápido, más que otros programas similares para matemáticas , está muy bien concebido según dicen los entendidos en computaciones largas): a(22) = a(23) = 118037679760 ; a(22) =181285005825 es incorrecto.

    Y es que lo elemental suele ser lo más difícil de ver. Lo sabía Watson; pero no estoy tan seguro de que lo supiera Holmes.

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  7. Me he dado cuenta que hay una diferencia de interpretación lingüística. El título/definición de la A063778 es :
    “the least integer that is polygonal in exactly n ways.” (1). Y ellos entienden “exactly” como “limitado a estrictamente a las n formas; ni una menos”. Mi corrección sería válida, según ellos, para el título siguiente: “the least integer that is polygonal in at least n ways.” (2). Una cuestión de lingüística, más que de matemática. Y en este caso tendríamos que corregir a(8) = a(9) = 11781 .
    Aquí va una sucesión mía que ya tenía yo semi olvidada, en la cual se aprecian, además, los saltos de 3 y de 4 de los que hablaba en el comentario anterior:

    https://oeis.org/A214771

    Me corrigió el título Jonathan Sondow, que colaboró con Sebastián Ruiz (Un Español de la provincia de Cádiz) en el hallazgo de una fórmula algorítmica muy bonita, de expresión muy corta para hallar p(n) el enésimo número primo; pero de tiempo de computación largo; con buen criterio, puesto que yo había escrito : “a(n) is the smallest number that can be written as the sum of consecutive positive integers in exactly n ways” y fue cambiado a : “a(n) is the smallest number that can be written as the sum of consecutive positive integers in at least n ways”. No obstante yo eligiría más bien esta definición :
    “a(n) is the smallest number that can be written as the sum of consecutive positive integers in n ways” tanto para la A214771 mía como para la A063778 corregida por mí, con los criterios de los comentarios anteriores.
    Y cambiaría la definición de la A063778 no corregida, de “the least integer that is polygonal in exactly n ways.” a :
    “the least integer that is polygonal in at most n ways.” Hay más sucesiones de la OEIS, que utilizan la terminología definitoria “in exactly n ways” que bien pudiera ser cambiada, con más exactitud a “in at most n ways”.

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  8. He estado intentando esta mañana demostrar que en la sucesión a(n) : https://oeis.org/A214771
    los términos se repiten infinitamente cuando n tiende a infinito, pero no consigo encontrar un argumento simplificado que me lo permita. Seguro que alguno de vosotros lo puede conseguir sin demasiado esfuerzo.
    (Por ejemplo a(108) = a(109) = …. = a(127) = 2.297.295 = 3^3*5*7*11*13*17 se repite 20 veces y el siguiente número con más repeticiones que el anterior “record” es el 14.549.535 = 3^2*5*7*11*13* 17*19 que se repite 32 veces. El 43.648.605 se repite 40 veces; siempre aumentando el número de repeticiones. Los cálculos son a mano y espero que sin errores u omisiones tontas.

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  9. Los valores numéricos dados en el comentario anterior son inexactos debido a que no se incluyeron todos los menores números en ese intervalo; pero el fondo sigue siendo el mismo, en espera de la demostración pedida.

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  10. Me ha gustado mucho el artículo. Breve, conciso y chocante.
    Muy interesante, gracias diamond

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  11. A mí la duda que me surge es: se conoce la condición que debe cumplir una forma cuadrática de matriz entera para generar los números primos, pero ¿se conoce alguna en concreto que lo haga?

    Saludos y gracias por el magnífico artículo.

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    • Pues ahora mismo no sabría contestarte, ya que no recuerdo si en algunos de los papers que leí para escribir el artículo venía algún ejemplo. Podrías, si te apetece, echar un vistazo a todos los enlaces que incluyo en el post y buscar ahí algún ejemplo.

      Gracias a ti :).

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