El problema 1, 2, 3…π

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Hace un tiempo publicábamos en este post la siguiente igualdad:

$\arctan{(1)}+\arctan{(2)}+\arctan{(3)}= \pi$

Pero no se demostró. Ahora os propongo a vosotros que la demostréis. A ver quién es capaz.

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 11 de September de 2007
Categorías: Juegos | Imprime este post

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Tito Eliatron | 11 de September de 2007 | 22:02

Partamos de que $arctan(1)=\frac{\pi}{4}$ , por lo tanto basta demostrar que $arctan(2)+arctan(3)=\frac{3\pi}{4}$ . Pero tomando TANGENTE, basta ver que $tan[arctan(2)+arctan(3)]=-1$ .

Pero ésto último es evidente, pues usando la fórmula de la tangente de la suma, $tan(\alpha+\beta)=\displaystyle\frac{tan(\alpha)+tan(\beta)}{1-tan(\alpha)tan(\beta)}$
resulta:

$tan[arctan(2)+arctan(3)] = \displaystyle \frac{tan(arctan(2))+tan(arctan(3))}{1-tan(arctan(2))tan(arctan(3))}= \frac{2+3}{1-2\cdot3}=~-~1$
Asier | 11 de September de 2007 | 23:30

Se me ha ocurrido esta visualización geométrica:

http://docs.google.com/Doc?id=dgh7fkb7_13df36km
Domingo HA | 12 de September de 2007 | 00:00

A pesar de que Tito ya ha demostrado el asunto por la vía analítica, creo que Asier está bien encaminado en dar una demostración geométrica. Lo que ocurre es que el dibujo no es muy “riguroso” jejeje
pablo_cg | 12 de September de 2007 | 05:15

jeje no creo que la demostración geométrica tenga el mismo valor que la otra, pero aun así, ambas son muy interesantes!
CS | 12 de September de 2007 | 06:46

El hecho es que no entiendo ni pija jjeejee sorry si hago enojar a alguien.
Asier | 12 de September de 2007 | 09:38

Como ya he dicho, mi dibujo no es una demostración sino una visualización geométrica. La demostración ya la había hecho Tito Eliatron. Además, qué esperais de un dibujo hecho con el Paint en 15 minutos?
Domingo HA | 12 de September de 2007 | 10:04

pues yo rompo una lanza en favor de la prueba geométrica…me parece que tiene más valor formativo que la analítica. Otra cosa es que lo que ha hecho Asier haya que pulirlo algo más para que se considere correcto. Pero la idea es buena.
Tito Eliatron | 12 de September de 2007 | 10:14

Cualquier demostración es buena dentro de su contexto. Y por supuesto un dibujo siempre es más “visual” que algo analítico, pero ambos tipos de pruebas se deben complementar.
Tras | 12 de September de 2007 | 14:12

Pues a mí me ha gustado la visualización geométrica, pienso que con unas palabras más, bien puestas, sería toda una demostración, e incluso podría incluirse, qué sé yo, en el libro VII de Euclides, jeje.
Un saludo
Asier | 12 de September de 2007 | 15:01

Ya tengo la demostración geométrica, a ver si a la noche saco un rato para hacer el dibujo, que ahora estoy trabajando
Asier | 12 de September de 2007 | 19:05

Aquí lo teneis, más claro el agua:

http://docs.google.com/Doc?id=dgh7fkb7_16fd6628
Tito Eliatron | 12 de September de 2007 | 20:27

Un mínimo apunte, ASIER, el resultado es $\pi$ y no $180^\circ$ pues se tiene que expresar en RADIANES y no en GRADOS SEXAGESIMALES.
Asier | 12 de September de 2007 | 20:48

Eso es absolutamente irrelevante, Tito, cuestión de notación. Lo he puesto así a propósito para ver que se trata de un ángulo, para verlo más claro si cabe.
castroman | 12 de September de 2007 | 21:28

En este caso la notación es irrelevante, pero hay que tener en cuenta que no siempre lo es. Por ejemplo $\cos ^\prime (x)=-\sin (x)$ en radianes, en cambio $\cos ^\prime (x)=-\sin (x) \frac{\pi}{180}$ en grados sexagésimales.
Tito Eliatron | 12 de September de 2007 | 21:31

ASIER, perdona pero NO es irrelevante. Es uno de los principales errores en los estudiantes de matemáticas, pues para hacer cuentas con ángulos hay que usar los radianes.
Sino, dada la función $f(x)=arctan(x)$ , resulta que $f(1)=45$ y por tanto, $1+f(1)=46$
Domingo HA | 12 de September de 2007 | 23:06

Aquí pongo una solución geométrica muy similar a la de Asier (perdón si el sitio al que he subido la imagen no es el más idóneo).

http://img57.imageshack.us/my.php?image=arcotan2jp6.jpg

Por cierto, con el método analítico se ve igualmente fácil que $\arctan(1)+\arctan(3/2)+\arctan(5)=\pi$ . ¿Alguien se anima a dar una prueba geométrica de ésto?
Asier | 12 de September de 2007 | 23:12

Insisto en que es absolutamente irrelevante.

Si todas las matemáticas se hubieran basado en los grados sexagesimales, serían igual de coherentes, dado que la medida para el ángulo es un convenio. Seguro que hay muchas razones prácticas para utilizar los radianes, pero no deja de ser un convenio. Es igual que utilizar los grados Celsius o Fahrenheit en la Física en lugar del Kelvin.

castroman, el ejemplo que pones no tiene sentido, si tomamos grados sexagesimales nos queda por ejemplo: cos’(90º) = -sin(90º) = -1. Es decir, totalmente coherente.

Tito, en el ejemplo que pones tienes que explicar de dónde ha surgido f(x) porque según se haya creado teniendo en cuenta radianes o grados sexagesimales, se podrá utilizar de una manera u otra. Es decir, según esa fórmula el 1 que sumas es un ángulo, que estará expresado de una manera u otra según cómo se haya construido f(x).

Espero haber aclarado el tema y podamos continuar con la ecuación que encabeza el post.
Guayota | 13 de September de 2007 | 01:18

Un ángulo es un número, y un número es sólo eso, un número, así que no está en grados ni radianes ni nada. Sería más correcto hablar de la función arctan (grados) o arctan(radianes).

Asier, si se hubiera usado siempre la función seno (grados), y para nada la función seno (radianes) ¿hubiera podido Euler probar que la suma de los inversos de los cuadrados de los números naturales converge a una expresión que involucra a pi, o que e^(i*pi)-1=0?
Guayota | 13 de September de 2007 | 01:21

Perdón, quería decir e^(i*pi)+1=0
fede | 13 de September de 2007 | 05:53

Asier tiene razón, en mi opinión. En una demostración geométrica es irrelevante. De hecho en Euclides, Arquímedes y Apolonio ni grados ni radianes … y llegaron lejos.
También en cálculo y análisis lo natural son radianes y hay que tener en cuenta las notaciones en determinados contextos.
Hay una demostración elemental de la suma de los inversos de los cuadrados en que es irrelevante el convenio (creo recordar, pi podría aparecer como la razon entre el area de un circulo y el area de un cuadrado sobre su radio), tanto como lo es para la formula del seno de la suma de angulos, por ejemplo, una vez puestos de acuerdo en cual es el convenio.
Tito Eliatron | 13 de September de 2007 | 11:31

La diferencia es que el RADIAN no mide ángulos sino DISTANCIAS en la independiente (véase la definición de RADIAN) mientras el los grado SEXAGESIMALES miden la apertura.

La analogía con la temperatura no es válida.
Domingo HA | 13 de September de 2007 | 16:55

bueno aquí pongo una construcción geométrica que ilustra que $Arctg(1)+Arctg(3/2)+Arctg(5)=\pi$

http://img337.imageshack.us/my.php?image=arctan1ng8.jpg
^DiAmOnD^ | 13 de September de 2007 | 17:27

Muy buena Domingo
Domingo HA | 13 de September de 2007 | 19:52

todo esto no son sino casos particulares de la identidad $Arctg(1)+Arctg(x)+Arctg\left(\displaystyle{\frac{x+1}{x-1}}\right)=\pi$ , para $x\neq 1.$
Asier | 13 de September de 2007 | 23:47

Me da pereza hacer otro dibujo pero si en mi demostración anterior tomamos el triángulo rojo como un triángulo de base 2 y altura 10 y el triángulo verde de base 2 y altura 3, nos queda la demostración para el caso que plantea Domingo.
Tito Eliatron | 14 de September de 2007 | 11:46

Para demostrar la Identidad de DOMINGO de forma analítica, basta ver que

$\displaystyle\frac{x+\frac{x+1}{x-1}}{1-x\frac{x+1}{x-1}}=-1$