El problema 59, o cómo cuadrar un cuadrado

El Cuaderno Escocés es un documento en el que se recopilaron 197 problemas propuestos entre 1935 y 1941 por un grupo de genios matemáticos que se reunían en el Café Escocés de Lwów. Entre los integrantes de ese grupo se encontraban auténticos monstruos de las matemáticas como Stefan Banach, Stanislaw Ulam, Stanislaw Mazur o Juliusz Schauder. En el enlace anterior aparecen más datos sobre la historia del cuaderno, las reuniones, los integrantes de las mismas y el terrible final de la vida de muchos de ellos.

Como decíamos, en este documento, de gran importancia e influencia en las matemáticas posteriores, aparecen 197 problemas. En este enlace podéis ver el manuscrito original y en este otro enlace se puede consultar una traducción al inglés del mismo. Pero en este post no nos vamos a dedicar al cuaderno completo, sino que vamos a comentar uno de los problemas del mismo, concretamente el problema 59, o, por ponerle un nombre, Cómo cuadrar un cuadrado.

El problema fue propuesto por Stanislaw Ruziewicz y en el manuscrito original aparecía así:

En la traducción al inglés que he enlazado antes aparece de esta forma:

Vamos, que el enunciado del problema sería algo así:

¿Puede descomponerse un cuadrado en un número finito de cuadrados más pequeños todos diferentes?

Stanislaw RuziewiczSe entiende que tanto el cuadrado inicial como los cuadrados en los que quedaría descompuesto cumplen que la longitud de sus lados son siempre números enteros positivos.

La cuestión es que ya se habían estudiado variantes de este problema antes de que Ruziewicz lo propusiera. Dos de los creadores de problemas más importantes de la historia, Henry Dudeney y Sam Loyd, ya habían publicado problemas parecidos años antes de que éste apareciera en el Cuaderno Escocés, y el propio Ruziewicz ya había tratado antes este problema, además de estudiar años antes disecciones de rectángulos en cuadrados diferentes. Ruziewicz había comunicado a Zbigniew Moroń la existencia de dichos problemas, quien a la postre resultó ser el primero en publicar disecciones de rectángulos en cuadrados en 1925 (vamos en cuadrar un rectángulo, pero no como ya habíamos visto por aquí, sino en el sentido explicado antes).

Pero la disección de un cuadrado en un número finito de cuadrados todos diferentes se hizo esperar hasta 1938. Fue Roland Percival Sprague el primero que encontró una forma de dividir un cuadrado en cuadrados de la forma descrita. Concretamente, la división propuesta por Sprague consistía en 55 cuadrados, y para conseguirla utilizó algunos de los resultados sobre rectángulos encontrados por Moroń. El cuadrado de Sprague resultó ser tal que así:

División en 55 cuadrados distintos

Y aquí se terminó el problema…

…¿O no? Pues más bien no. Quedaba un detalle importante en el aire: ¿cuál es el mínimo número de cuadrados diferentes en los que se puede dividir un cuadrado?. Esta pregunta se mantuvo sin respuesta durante más tiempo, en concreto hasta 1978, cuando el alemán Adrianus Johannes Wilhelmus Duijvestijn demostró en su tesis Electronic Computation of Squared Rectangles que el número mínimo de cuadrados distintos en los que se puede dividir un cuadrado es 21 cuadrados. Aquí tenéis un cuadrado de 112×112 dividido en 21 cuadrados distintos:

División en 21 cuadrados distintos

Y parece que en los últimos tiempos este problema de cuadrar un cuadrado se ha puesto de moda. Por poner algunos ejemplos:

  • Hace poco más de un mes apareció en The Math Kid:

  • Y hace no demasiado tiempo nuestra querida ClaraGrima tuiteaba el siguiente enlace donde aparece un mueble con cajones que forman la disección mínima de 21 cuadrados:

    Cerrados:

    Con algunos abiertos:

    Por cierto, esta maravilla es obra de Bob Mackay, cuya web recomiendo que exploréis.

  • Y además, la disección mínima de 21 cuadrados es el logo de la Trinity Mathematical Society.

Por ello he querido escribir una entrada sobre este tema proporcionando información para que podáis conocer todos los entresijos del mismo.


  • En Squaring.net podéis encontrar una gran cantidad de información sobre este tema. Por ejemplo, en esta sección podéis encontrar los distintos tipos de figuras relacionadas con este problema que son dignas de estudio.
  • En Squaring the Square, en la Wikipedia inglesa, aparecen al final varios enlaces sobre este interesante problema que os recomiendo que veáis.
  • En Mathematics in Europe también hablan sobre la historia de este tema.
  • Y aquí tenéis algunas respuesta a un problema relacionado con éste que aparece en la web de Erich Friedman.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

8 Comentarios

  1. Saludos.

    Como prometí, me di la vuelta hasta acá. Excelente entrada y gracias por tener el Cuaderno Escocés para poder leerlo detenidamente.

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  2. .
    Muy bonito el mueble, me encantaría verlo de verdad.

    Martin Gardner trata de este problema en uno de sus amenos libros, con mucha historia, anécdotas, y una interesante conexión con teoría básica de circuitos eléctricos.

    Por cierto, es imposible extender el problema a 3 dimensiones, no se puede construir un cubo formado por un número finito de otros cubos más pequeños y todos distintos. Y por supuesto eso corta de raiz el camino a dimensiones superiores a 3. La demostración es totalmente elemental.

    Saludos.
    .

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  3. Mmm me ha quedado una duda, el hecho de que el máximo número de cuadrados diferentes en los que se puede dividir un cuadrado sea 21, ¿quiere decir que el cuadrado de Sprague está mal?

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