El problema de Basilea

El problema de Basilea consiste en determinar cuál es el valor exacto de la suma de los cuadrados de los inversos de todos los números naturales, es decir, calcular la suma de la siguiente serie:

sumatorio

Este problema fue propuesto por primera vez por el matemático Pietro Mengoli en 1644 y fue popularizado por Jakob Bernoulli en 1689, pero ninguno de los dos lo resolvieron. Otros grandes matemáticos de la época, como Johann Bernoulli, Leibnitz y Wallis tampoco pudieron encontrar la solución (aunque este último calculó su valor con 3 decimales). Este hecho le dio al problema aún más importancia. Al final fue el genial Leonhard Euler quien le puso el cascabel al gato, como en muchas otras ocasiones. De hecho este problema se acabó denominando así porque tanto Euler como los Bernoulli residían allí. Veamos cómo lo hizo.

Demostración del problema de Basilea

Ya vimos en este post sobre la identidad de Euler la expresión de sin(x) como suma infinita:

imagen 2

Sabemos que sin(x) = 0 cuando x = 0, π (Pi), -π (Pi), 2π (2Pi), -2π (-2Pi),…, es decir, en 0 y los múltiplos enteros de π (Pi). Por tanto podemos expresar la función sin(x) como producto de una constante por (x – cada una de las raíces). Queda algo así:

imagen 3

Multiplicamos los dos factores asociados a π (Pi), los dos asociados a 2π (Pi), etc.:

imagen 4

Como para cada n tenemos que x2 – nπ2 = 0 (x2 – nPi2 = 0) podemos escribirlos de la siguiente forma:

imagen 5

Dividimos por x:

imagen 6

Ahora, como sin(x) partido por x tiende a 1 cuando x tiende a 0 tenemos que C = 1:

imagen 7

Tenemos una igualdad entre polinomios. Eso implica que los términos de cada uno de los grados deben ser iguales a ambos lados de la igualdad. Quedémonos con los términos de x2:

imagen 8

Multipliquemos por -π2 (-Pi2) y dividamos por x2:

imagen 9

Como vemos hemos obtenido el resultado buscado:

imagen 10

En esta demostración Euler asume ciertos resultados como ciertos que demostraría más adelante. Pero la demostración es perfectamente válida. Aquí podéis ver otra demostración de este resultado.

Y como véis seguimos comprobando que π (Pi) puede aparecer en los sitios más insospechados.

Fuente de la demostración: Fermat’s Last Theorem

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Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor del blog Gaussianos. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

14 Comentarios

  1. por esto hago videoblog… porque si dios fuera justo yo seria rubia y tonta.

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  2. Joer, Gina cada vez que comentas es para decirnos que no entiendes nada, a ver si por lo menos conseguimos hacer que aprendas algo y después nos lo comentes. :P

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  3. Joins, descanso de un examen de estadistica y entro aqui, no se si eso es lo malo, o que me guste la demostracion.

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  4. Lo conocía y me parece una demostración genial.

    Ahora bien, alguien sabe cómo se calcula esa misma suma para cubos inversos y demás potencias de n?

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  5. Pues ahora mismo ,me pillas en fuera de juego. No recuerdo haber visto nada del cálculo de las sumas de estas series para exponentes de n mayores que 2.

    Si en algún momento me topo con algo sobre ese tema no dudes que lo publicaré.

    Saludos :)

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  6. Aquí teneis la función evaluada para otros exponentes distintos de 2 y su relación con los números de Bernoulli:

    http://en.wikipedia.org/wiki/Zeta_constant

    Por cierto, alguien sabe por qué para el caso de exponente cero el resultado dicen que da -1/2? Debería de ser infinito, no?

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  7. Ya, pero si pones un 0 en el exponente de n, no te queda 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + …. = infinio?

    Además cómo es posible que sea un número negativo?

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  8. Aquí http://www2.udec.cl/~egavilan/pdb.pdf hay otra demostración del problema de Basilea usando integrales. Si mal no recuerdo, esto lo leí en Stewart (hay un “detalle” pues la integral es en realidad impropia y hay que tratarla más cuidadosamente, con recubrimientos y todo).

    Para exponentes pares la suma de la serie está calculada (Euler), no así para impares.

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  9. Es cierto que la serie de 1/2^p dode p recorre todos los primos, converge a un numero irracional

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  10. Hola. Por favor, explicadme los siguientes pasos de la demostración:

    1. Por qué (x^{2}-\pi^{2})(x^{2}-4\pi^{2})(x^{2}-9\pi^{2}). . . se expresa como
    (1-\frac{x^{2}}{\pi^{2}})(1-\frac{x^{2}}{4\pi^{2}})(1-\frac{x^{2}}{9\pi^{2}}). . .

    2. Cómo se deduce que C = 1 a partir de que el límite de \frac{sen(x)}{x}=1.

    3. Cómo se sabe que los términos en donde aparece x^{2} son precisamente -\frac{x^{2}}{\pi^{2}}, -\frac{x^{2}}{4\pi^{2}}, -\frac{x^{2}}{9\pi^{2}}, . . ..

    No entiendo esos pasos. Gracias.

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  11. Sobre mi duda No. 1, lo que puedo notar es que, cada factor de la forma x^{2}-n^{2}\pi^2 con cada n \in \mathbb{N} lo dividió entre -\pi^2, pero eso así no más, sería inválido, porque alteraría la expresión. No entiendo pues, por qué se expresa así.

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    • Debería decir:

      “cada factor de la forma x^{2}-n^{2}\pi^2 con cada n \in \mathbb{N} lo dividió entre -n^{2}\pi^2“, y no “entre -\pi^{2}“.

      Si no, estaría incorrecta mi observación.

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$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

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Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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