El problema de Basilea

El problema de Basilea consiste en determinar cuál es el valor exacto de la suma de los cuadrados de los inversos de todos los números naturales, es decir, calcular la suma de la siguiente serie:

sumatorio

Este problema fue propuesto por primera vez por el matemático Pietro Mengoli en 1644 y fue popularizado por Jakob Bernoulli en 1689, pero ninguno de los dos lo resolvieron. Otros grandes matemáticos de la época, como Johann Bernoulli, Leibnitz y Wallis tampoco pudieron encontrar la solución (aunque este último calculó su valor con 3 decimales). Este hecho le dio al problema aún más importancia. Al final fue el genial Leonhard Euler quien le puso el cascabel al gato, como en muchas otras ocasiones. De hecho este problema se acabó denominando así porque tanto Euler como los Bernoulli residían allí. Veamos cómo lo hizo.

Demostración del problema de Basilea

Ya vimos en este post sobre la identidad de Euler la expresión de sin(x) como suma infinita:

imagen 2

Sabemos que sin(x) = 0 cuando x = 0, π (Pi), -π (Pi), 2π (2Pi), -2π (-2Pi),…, es decir, en 0 y los múltiplos enteros de π (Pi). Por tanto podemos expresar la función sin(x) como producto de una constante por (x – cada una de las raíces). Queda algo así:

imagen 3

Multiplicamos los dos factores asociados a π (Pi), los dos asociados a 2π (Pi), etc.:

imagen 4

Como para cada n tenemos que x2 – nπ2 = 0 (x2 – nPi2 = 0) podemos escribirlos de la siguiente forma:

imagen 5

Dividimos por x:

imagen 6

Ahora, como sin(x) partido por x tiende a 1 cuando x tiende a 0 tenemos que C = 1:

imagen 7

Tenemos una igualdad entre polinomios. Eso implica que los términos de cada uno de los grados deben ser iguales a ambos lados de la igualdad. Quedémonos con los términos de x2:

imagen 8

Multipliquemos por -π2 (-Pi2) y dividamos por x2:

imagen 9

Como vemos hemos obtenido el resultado buscado:

imagen 10

En esta demostración Euler asume ciertos resultados como ciertos que demostraría más adelante. Pero la demostración es perfectamente válida. Aquí podéis ver otra demostración de este resultado.

Y como véis seguimos comprobando que π (Pi) puede aparecer en los sitios más insospechados.

Fuente de la demostración: Fermat’s Last Theorem

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13 comentarios

  1. Gina | 16 de noviembre de 2006 | 16:46

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    por esto hago videoblog… porque si dios fuera justo yo seria rubia y tonta.

  2. neok | 16 de noviembre de 2006 | 17:59

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    Joer, Gina cada vez que comentas es para decirnos que no entiendes nada, a ver si por lo menos conseguimos hacer que aprendas algo y después nos lo comentes. :P

  3. medyr | 17 de noviembre de 2006 | 04:50

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    Joins, descanso de un examen de estadistica y entro aqui, no se si eso es lo malo, o que me guste la demostracion.

  4. Asier | 18 de noviembre de 2006 | 02:19

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    Lo conocía y me parece una demostración genial.

    Ahora bien, alguien sabe cómo se calcula esa misma suma para cubos inversos y demás potencias de n?

  5. ^DiAmOnD^ | 18 de noviembre de 2006 | 18:25

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    Pues ahora mismo ,me pillas en fuera de juego. No recuerdo haber visto nada del cálculo de las sumas de estas series para exponentes de n mayores que 2.

    Si en algún momento me topo con algo sobre ese tema no dudes que lo publicaré.

    Saludos :)

  6. Asier | 19 de noviembre de 2006 | 20:19

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    Aquí teneis la función evaluada para otros exponentes distintos de 2 y su relación con los números de Bernoulli:

    http://en.wikipedia.org/wiki/Zeta_constant

    Por cierto, alguien sabe por qué para el caso de exponente cero el resultado dicen que da -1/2? Debería de ser infinito, no?

  7. ^DiAmOnD^ | 19 de noviembre de 2006 | 23:38

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    Asier el valor de la función zeta en 0 lo calculan a partir de los números de Bernoulli:

    Función Zeta de Riemann

    Números de Bernoulli

  8. Asier | 20 de noviembre de 2006 | 09:29

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    Ya, pero si pones un 0 en el exponente de n, no te queda 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + …. = infinio?

    Además cómo es posible que sea un número negativo?

  9. egavilan | 15 de febrero de 2007 | 22:29

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    Aquí http://www2.udec.cl/~egavilan/pdb.pdf hay otra demostración del problema de Basilea usando integrales. Si mal no recuerdo, esto lo leí en Stewart (hay un “detalle” pues la integral es en realidad impropia y hay que tratarla más cuidadosamente, con recubrimientos y todo).

    Para exponentes pares la suma de la serie está calculada (Euler), no así para impares.

  10. Trackback | 26 mar, 2013

    La Conjectura de Goldbach | Pol Ruiz Vouillamoz

  11. Trackback | 7 abr, 2013

    π² Irracional implica infinitos primos | Lo fascinante de la teoría de números

  12. MarcoAurelio | 19 de mayo de 2013 | 00:39

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    Es cierto que la serie de 1/2^p dode p recorre todos los primos, converge a un numero irracional

  13. Trackback | 8 oct, 2013

    Cosas raras provocadas por el infinito - Gaussianos | Gaussianos

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