El problema del destructor y el submarino (ACTUALIZADO)

Hace unos días, un lector del blog, Manel Amorós, me hizo llegar un problema que había visto en un comentario de un artículo relacionado con matemáticas que se había publicado en un medio de comunicación. Aunque el comentario no tenía mucho que ver con la temática del artículo en sí, el problema suscitó el interés de varios lectores, Manel incluido. Por ello os lo planteo hoy en Gaussianos.

No os voy a dejar el enunciado literal que se propuso en ese artículo, ni el enlace del mismo (lo pondré más adelante, cuando se haya resuelto aquí). Os agradecería que ninguno de vosotros lo ponga en ningún comentario.

Ahí va el enunciado tal cual me lo envió Manel:

Un destructor y un submarino se encuentran separados una distancia D (suponemos distancias horizontales, dado que el problema se desarrolla en el plano). En un momento dado, ambos empiezan a moverse a velocidades constantes, siendo la velocidad del barco superior a la del submarino. El submarino se mueve obligatoriamente en linea recta, pero el barco desconoce la dirección que ha tomado el submarino. ¿Existe alguna trayectoria del barco que garantice que en algún momento se encontrará sobre la vertical del submarino?

Hala, a pensar, que nunca viene mal. Que se os dé bien.

ACTUALIZADO: Como comentaba en el post, os dejo el enlace al artículo en el que aparecía el problema que me envió Manel. Está en los comentarios de este artículo de El País.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

36 Comentarios

  1. Efectivamente este problema se vio en cierto medio de comunicación, y he decir que me alegra que lo pongas en Gaussianos porque la solución mostrada entonces no me “convenció ” al 100% y estoy seguro que en este foro profundizaremos más. No digo más. ¡Ánimo!

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  2. Creo que la respuesta será distinta si se considera un océano plano e infinito que si éste fuera esférico y sin continentes.

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    • Yo creo tener una solución, pero no me basta con los datos dados en el enunciado.

      Creo que el barco podría localizar al submarino siguiendo una trayectoria en espiral, pero para que fuese válida la solución el enunciado necesitaría que variase:
      – la velocidad del submarino debería ser constante Y CONOCIDA, lo cual a priori no es así
      – ambos están separados una distancia D en el instante inicial, pero sin saber hacia qué dirección está el submarino, tampoco he conseguido dar con la solución

      Sigo dándole vueltas al asunto…

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    • ¿Consideramos el submarino y el barco, como un punto, o basta con quehaya algun punto de uno y otro que coincidan?

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    • Una espiral? Esto es, una trayectoria regular y homogénea basada en un ángulo muy agudo, pero que sea constante para avanzar e ir alejándose del centro y/o posición inicial. El problema sería el tiempo en que le llevaría la intercepción…

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  3. A ver si Gaussianos despega de nuevo. Ejercicios como este sin duda ayudan.

    Pero faltan datos. Aqui van: los del destructor, para poder implementar la trayectoria, conocen:
    – no solo la distancia inicial D, sino tambien la direccion de esa distancia (lease vector de posicion del submarino respecto al destructor);
    – el ratio entre las velocidades del submarino y el destructor

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    • En efecto, debe ser conocida tanto la distancia D que separa ambas naves como el cociente entre las velocidades de ambas. Estos dos parámetros son suficientes para determinar la trayectoria del barco, pero si además conocemos cada velocidad, la del barco y la del submarino, conoceremos el tiempo en que se produciría el encuentro entre barco y submarino en función de la trayectoria elegida por el submarino. Resumiendo: tres datos iniciales, D distancia entre las naves, V velocidad del submarino, W velocidad del barco.

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  4. Suponiendo que en el barco conocen exactamente el punto donde estaba el submarino:

    1) Avanza en linea recta hacia dicho punto, hasta el punto intermedio de encuentro en el que se cruzaria con el submarino (se calcularia con el tipico ejemplo de los trenes que salen de Madrid/Barcelona)
    2) Desde ese punto, una ruta en espiral con el ‘centro’ en el punto donde estaba el submarino, y mas o menos abierta en función del ratio de velocidades barco/submarino
    Los puntos de la espiral estarian asi sobre la supuesta vertical del submarino en cada una de las direcciones a partir del punto inicial del submarino
    Para cuando complete una ‘vuelta’ de la espiral, en algún momento habrá estado en la vertical del submarino.

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    • No se si me he columpiado poniendo mi respuesta, u os referiais a no poner respuestas en el articulo ‘original’, el caso es que no habia leido esa parte y ya no puedo editar el comentario.

      Perdon 🙁

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      • Me refería a no poner aquí el enlace al artículo donde apareció el problema. No por nada (lo pondré yo en los próximos días), sino para que la gente piense el problema sin mirar lo que se comentó allí :-).

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  5. ¿El barco conoce la posición inicial del submarino o solo la distancia a la que se encontraba? ¿Y la velocidad del submarino? ¿O ninguna de las dos?

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    • El enunciado no dice nada sobre si el barco conoce esos datos, por lo que en principio creo que deberíamos considerar que NO conoce ni la posición inicial del submarino ni la velocidad a la que viaja.

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      • Según creo, deberían conocerse ambas velocidades. Obviamente parece un poco extraño que el barco conozca la velocidad del submarino, pero no lo es menos que sepa que viaja en linea recta. Es lo que pasa con los enunciados de problemas matemáticos, que por querer ser “realistas” se cometen estas incongruencias. Lo que entiendo es que el problema “físico” encierra un problema de orden geométrico, un problema de puro análisis matemático.

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  6. Este es de esos problemas que uno dice es imposible y lo puedo demostrar… pero, claro sabemos que en Gaussianos estas cosas no ocurren.
    Creo que es facil demostrar que existen infinitas trayectorias en las que el barco se acerca una distancia tan pequenya como queramos al submarino. Estas trayectorias serian (sx,sy) en funcion del tiempo:

    alpha(t)=2*pi*Qa*t
    theta(t)=2*pi*Qz*t
    v(t)=-V*cos(2*pi*t*Qv)+1
    sx(t)=D*cos(theta(t))+t*v(t)*cos(alpha(t))
    sy(t)=D*sin(theta(t))+t*v(t)*sin(alpha(t))

    Donde t es el tiempo entre 0 y infinito. t=0 corresponde cuando el barco ha recorrido una distancia D en x.
    V es la velocidad del barco. Qa, Qz y Qv son numeros irracionales diferentes para asegurarnos que cos(t*Q*2*pi) es denso en [0,1].
    Asi pues v(t) es denso en [0,V] que es el rango de velocidades que podria tener el submarino.
    D*cos(theta(t)) es denso en [-D,D] que es el rango de posibles coordenadas iniciales del submarino.
    v(t)*cos(alpha(t)) es denso en [-V,V] que es el rango de posibles velocidades en el eje x del submarino y asi igual
    con las componentes verticales.
    La curva no puede ser periodica pues Qa,Qz y Qv son irracionales diferentes asi que las posiciones del barco
    se acerca tanto como queramos a la del submarino.

    No se si me explico bien. En cualquier caso tal vez no sea esta la solucion pues no garantiza que se superpongan.

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    • error, v(t) deberia ser:
      v(t)=-V*(cos(2*pi*t*Qv)+1)/2

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      • Es imposible porque para que el destructor tenga velocidad constante necesita que su trayectoria sea recta y nunca puedes asegurar (dado que no conoces la dirección del submarino) que el submarino y el destructor no se estén alejando inicialmente, en cuyo caso nunca pasarán por la vertical. Habría que cambiar en el enunciado y poner una ligadura, por ejemplo una línea horizontal de costa y que la velocidad del destructor es solo constante en módulo.

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  7. El problema parece más difícil de lo que luego realmente es. Comenzamos simplificándolo: ya que solo se pregunta por un encuentro de ambas naves en la vertical, resulta irrelevante la posición horizontal. Así pues, para nuestro problema, podemos proyectar todo al eje OY y trabajar en una recta en vez de sobre un plano.

    Traigamos nuestro problema a nuestra recta real y coloquemos, sin perder generalidad, al submarino en el origen. Teníamos, como datos, las velocidades del submarino v_s y del destructor v_d (en módulo) y la distancia $d$ entre ambas embarcaciones. Como solo tenemos estos datos, desconocemos la componente vertical de v_s, que es la que nos interesa. Tampoco conocemos la distancia en el eje OY, pero sabemos que esta no puede ser mayor que la distancia en el plano, d.

    El punto clave de este problema está en que el barco va más rápido que el submarino y solo tiene que alcanzarlo en una línea recta. No solo va más rápido, sino que la velocidad por la que le gana es fija, constante. Esto nos garantizará el alcance si diseñamos bien la ruta. Vamos a ponernos en el peor caso para el barco, que es que el submarino se mueve en vertical, a la velocidad v_s. Si hubiera escogido una trayectoria distinta, esta sería una recta con componentes horizontal y vertical no nulas, y la componente vertical de v_s sería menor: el barco lo alcanzaría antes.

    Nuestro destructor comenzará moviéndose al sur. ¿Cuánto tiempo? El tiempo suficiente para asegurar un alcance en caso de que el submarino se haya dirigido hacia el sur. ¿Cuánto es? Fácil, la distancia es, como mucho, d, y la velocidad que le sacamos al submarino es v_d-v_s. Así pues, el destructor deberá circular a toda máquina hacia el sur desde el instante t_0=0 hasta t_1 = \frac{d}{v_d-v_s}. Cualquier caso en el que el submarino se mueve hacia el sur tiene un alcance garantizado, como tarde en t_1 por el barco que empieza a navegar así.

    La pregunta obvia es: ¿qué hacemos si no hemos cazado al submarino? Si no lo hemos cazado, o ha ido hacia el norte, o hacia el este o el oeste. Si su rumbo es este u oeste, entonces su vertical es la misma de antes y no cambiará: dando media vuelta en el instante t_1 lo alcanzamos. Si ha ido hacia el norte, también lo alcanzaremos dando esa media vuelta. ¿Cuánto tardaríamos en alcanzarlo? Pues la distancia que nos separaba al principio era, como mucho, d. Pero ha pasado un tiempo, en el que cada uno ha ido por su lado. Nos hemos alejado \delta = (v_d+v_s)t_1 = (v_s+v_d)\frac{d}{v_d-v_s}, así que nuestra distancia ahora es, como mucho, d+ \delta . Pero no hay de qué preocuparse, ya que, desde que damos la media vuelta en t_1 hasta que lo alcancemos pasarán, habrá pasado, como mucho, un tiempo \frac{d+\delta}{v_d-v_s}.

    Así, como hemos visto, haga lo que haga el submarino, nuestro destructor le dará caza siguiendo la ruta descrita. ¡Levad anclas!

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  8. Sam, con tu sistema solo alcanzas al submarino si éste se mueve en dirección horizontal o vertical, puesto que tu trayectoria solo te lleva por los ejes.
    Es fácil diseñar trayectorias para el destructor que obligatoriamente pasen por encima de un punto de la trayectoria del submarino. Sin considerar tiempo infinito es imposible poder asegurar la coincidencia en tiempo del paso de ambos.
    Aun así parece intuitivamente imposible. La solución depende de si hay tantos puntos en una recta (submarino) como en un plano (destructor)

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    • Trataré de probar que la tarea es imposible (siempre y cuando el submarino y el destructor sólo tengan una recta como vertical y su movimiento sea continuo), no soy matemático así que espero me perdonen y corrijan cualquier error conceptual o lógico.

      Hechos:
      La posición inicial del submarino (pis) es desconocida, pero debe ser uno de los infinitos puntos de la circunferencia de radio d que tiene como centro la posición inicial del destructor (pid).

      La dirección angular del submarino, (das), es desconocida, pero debe ser uno de los infinitos valores en el intervalo 0<= das < 2*pi.

      La velocidad del submarino, (vs), ¿rapidez? es desconocida pero debes ser uno de los infinitos valores en el intervalo 0 <=|vs|< |vd| (vd=velocidad destructor)

      Análisis:
      Si un caso particular del problema es imposible de resolver entonces el problema en general también lo es:

      Probaré que un sencillo caso particular es imposible.
      Supongamos que pis y das son conocidas por el destructor, sólo vs es desconocida.

      Entonces el destructor debe dirigirse hasta "pis" y de ahí seguir en línea recta con rumbo "das"…
      Pero ¿Cuando debe detenerse? Nunca… porque no existe un límite que garantice que ya ha alcanzado al submarino…
      Es decir podríamos siempre elegir un valor delta arbitrariamente pequeño que cumpla que vt = vs + delta y haga que no exista un límite de tiempo en el cual el destructor alcance al submarino.

      Si en este caso particular no existe límite de tiempo para que el destructor alcance al submarino entonces tampoco podrá hacerlo para los casos más generales.

      ¿Es correcto o he cometido algún error?

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      • Debe ser conocida tanto la distancia D que separa ambas naves como el cociente entre las velocidades de ambas. Estos dos parámetros son suficientes para determinar la trayectoria del barco, pero si además conocemos cada velocidad, la del barco y la del submarino, conoceremos el tiempo en que se produciría el encuentro entre barco y submarino en función de la trayectoria elegida por el submarino. Resumiendo: tres datos iniciales, D distancia entre las naves, V velocidad del submarino, W velocidad del barco.

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      • creo que solo demuestras que la trayectoria que propones solo te sirve el 50% de las veces, vamos si vas en la buena direccion. Ya que te vas a una direccion te doy una solucion en la linea recta:
        -Vas hacia la derecha una distancia 2D (Si vas al doble de velocidad en la buena direccion o mas lo pillas)
        -Si no, vas hacia la derecha una distancia 10D (si vas al doble de velocidad o mas ya lo has pillado para las 2 direcciones)
        -Si no es que va mas rapido. Prueba un factor 2/3. La distancia maxima que los separa es ahora 16D, asi que recorre 48D hacia la derecha y si el ratio de la velocidad es menor de 2/3 y la direccion fue la buena os encuentras
        -si no cambia de direccion y sigue con la logica

        Esto garantiza que en un tiempo finito os encontrais con vs < vd.

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  9. La trayectoria que yo me imagino es la siguiente: primero pensemos en coordenadas polares. Entonces si tomamos como origen la posición inicial del destructor haré que el destructor tome como velocidad radial una velocidad ligeramente superior a la del submarino y como velocidad angular lo que le sobre sin afectar la susodicha velocidad radial. Esto hasta que que haya recorrido una distancia radial igual a V_s*t + D. De algo puedo estar seguro cuando haya ocurrido esto: el submarino va a estar dentro de la circunferencia de radio V_s*t + D tomando como centro el origen. Ahora lo que hago es poner al barco a una velocidad ligeramente inferior hasta alcanzar la distancia radial 2V_s*t y luego repito el proceso de aumentar la velocidad radial ligeramente hasta alcanzar 3V_s*t + D. Creo que en esa trayectoria espiral(ya me gustaría poder demostrarlo pero ahora no se me ocurre como formalizarlo) en algún momento lo pilla.

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    • Por supuesto el proceso que digo se repite(de quitar D a la distancia radial y de sumar D a la misma) las veces que sea necesario hasta que lo pille. La idea es que con esa velocidad radial variada, se recorren todas las posibles variaciones del lado que nos interesa del triángulo que forman la posición inicial del destructor, la posición inicial del submarino y la posición actual del submarino. O sea del lado posición inicial del destructor, posición actual del submarino(más exactamente la variación que ocasiona D y el ángulo de salida del submarino). Bueno, no puedo demostrarlo completamente pero yo creo que esa es la idea.

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  10. Si conozco la distancia a la que está el submarino y su dirección, pero no su velocidad, basta con ir a ese punto y esperar a que dé la vuelta al mundo 😀

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  11. Puedes encontrar el submarino recorriendo todos los ángulos \theta(t). Obviamente, cuando estés en \theta(t), tienes que estar a distancia v_ot del origen (supuesto en el punto del que arranca el submarino). Por lo tanto, basta con seguir la curva (\theta(t), v_0t).

    Pero hay una restricción más: la velocidad del barco es constante, v_1. El cuadrado del módulo de la velocidad de la trayectoria anterior es v_0^2 + r^2 \theta^\prime(t)^2, que tiene que ser constante e igual a v_1^2. Despejando, tenemos la ecuación diferencial \theta^\prime = c /r = c/t, que tiene solución \theta(t) = c \log(t)+K. Operando, queda una curva del tipo r = a \exp(b\theta).

    Omito la identificación de las condiciones iniciales, la identificación de las constantes, etc.

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    • Bueno, asumes que el barco y el destructor salen ambos del origen, asi que ya esta resuelto en t=0 y no hace falta la curva, no?

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      • En ningún momento he dicho que t comience en 0. El barco avanza hacia el origen hasta una distancia trivial de calcular y ahí comienza a seguir la ruta sugerida. Los detalles, reitero, están omitidos.

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  12. Ahora no veo claro cual es el plano y que es horizontal y vertical.
    Es el plano (x,y) con x horizontal e y vertical?
    Es suficiente que la coordenada x del submarino coincida con la coordenada x del destructor?
    Yo entendi que tanto x como y tenian que coincidir, vertical fuera debajo del mar….
    D = x del submarino menos x del destructor?

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  13. He leído los comentarios anteriores y creo que solamente Carlos J Gil se ha aproximado correctamente a la respuesta. El problema tiene solución partiendo de unas premisas básicas. Los detalles los dejo a continuación, para el lector interesado.

    Para comprender mejor este problema tenemos que plantearlo en los términos correctos. Supongamos un submarino, que se encuentra en el origen de nuestro sistema de referencia cartesiano, y un destructor que lo avista entre la niebla, situado en el punto $(+D,0)$ (por tanto a una distancia inicial $D > 0 $). \par

    Denotemos por $v$ y $V$ las velocidades del submarino y el destructor respectivamente, con $ V > v $, de suerte que la razón entre la velocidades $ \lambda= \frac{V}{v} >1 $. En ese momento el submarino se sumerge y emprende una trayectoria rectilínea con velocidad $v$ y dirección desconocida. De este modo bien podríamos describir la trayectoria del submarino mediante la expresión:
    $$ \vec{r}_{s}(t) = (vt \cdot cos (\theta_{0}), vt \cdot sen(\theta_{0}) ) $$

    siendo $\theta_{0}$ el ángulo constante con respecto al eje OX que determina su dirección. \par

    \vspace{5mm}
    El destructor no conoce la dirección que toma el submarino (ya sumergido bajo el agua). Pero puede obrar del siguiente modo: se dirige hacia el origen en línea recta desde el punto $(D,0)$ y a una velocidad $V$. Lo que resulta claro es que si el submarino se moviera en línea recta hacia el destructor, coincidirían sobre el eje OX, en el instante $t_{0}$ de suerte que

    $$ v \cdot t_{0} = D – V \cdot t_{0} \rightarrow t_{0} = \frac{D}{v+V} $$

    Pero si este no fuera el caso, lo que es cierto es que a partir de este instante, el destructor debe mantenerse siempre a una distancia $vt$ del origen, para que en algún momento coincida con el submarino. Es decir, la trayectoria del destructor deberá ser una expresión de la forma

    $$ \vec{r}_{D}(t) = (vt \cdot cos (\theta(t)), vt \cdot sen(\theta(t)) ) $$

    con $t \geq t_{0} = \frac{D}{v+V} $. A partir de este instante, el destructor debe seguir una trayectoria en espiral, ya que tanto submarino como destructor se encuentran a la misma distancia del origen en todo momento, y al ir variando el ángulo, en algún momento de sus trayectorias coincidirán también sus argumentos. \par

    \vspace{5mm}
    Si determinamos el vector velocidad del destructor derivando sus ecuaciones en coordenadas cartesianas e imponemos la condición de que
    $$ \frac{d\vec{r}_{D}(t)}{dt} = \vec{ V} $$

    tendremos las siguientes relaciones:

    $$ x(t) = vt cos (\theta(t)) \rightarrow \frac{dx}{dt}(t) = v \cdot cos(\theta) -vtsen(\theta)\theta'(t) $$
    $$ y(t) = vt sen (\theta(t)) \rightarrow \frac{dx}{dt}(t) = v \cdot sen(\theta) +vtcos(\theta)\theta'(t) $$

    El módulo de dicho vector será:
    $$ V = |\vec{V}| = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}} = \sqrt{v^{2}+v^{2}t^{2} \cdot (\theta'(t))^{2} } = v \cdot \sqrt{ 1 + t^{2} \cdot (\theta'(t))^{2}} $$

    de donde
    $$ \frac{V^{2}}{v^{2}} = \lambda^{2} = 1 + t^{2} \cdot (\theta'(t))^{2} \leftrightarrow \theta'(t)^{2} = \frac{\lambda^{2}-1}{t^{2}}$$

    lo que nos lleva a la ecuación diferencial de primer orden

    $$ \frac{d\theta(t)}{dt} = \pm \frac{\sqrt{\lambda^{2}-1}}{t} $$

    Integrando ambos miembros: $$ \theta(t) = \pm \sqrt{\lambda^{2}-1} \cdot ln(t) + C $$

    Para determinar el valor de la constante $ C $ observamos que $$ \theta(t_{0}) = 0 $$ ya que el destructor se encuentra sobre el eje OX en este instante, justo antes de comenzar su giro. Por consiguiente

    $$ C = – \sqrt{\lambda^{2}-1} \cdot ln\left(\frac{D}{V+v} \right) $$

    El valor del angulo descrito será:

    $$ \theta(t) = \pm \sqrt{\lambda^{2}-1} \cdot ln\left(\frac{v+V}{D} t\right) $$

    para $ t \geq t_{0}$. Si despejamos el valor de $t$ en esta ecuación se tiene

    $$ t= \frac{D}{v+V} \cdot exp \left( \frac{ \pm \theta(t)}{\sqrt{\lambda^{2}-1}} \right) $$

    Por otro lado, si denotamos por $\rho(t)$ la distancia del destructor al origen, y multiplicamos los dos miembros de la ecuación anterior por $v$ resulta claro que
    $$ \rho(t) =vt = \frac{Dv}{v+V} \cdot exp \left( \frac{\pm\theta(t)}{\sqrt{\lambda^{2}-1}} \right) = $$

    $$ = \frac{D}{1+\lambda} \cdot exp \left( \frac{\pm\theta(t)}{\sqrt{\lambda^{2}-1}} \right) $$
    lo que nos proporciona la ecuación en coordenadas polares de la curva que describe el destructor:

    $$ \boxed{\rho(\theta) = \frac{D}{1+\lambda} \cdot exp \left( \frac{\pm\theta}{\sqrt{\lambda^{2}-1}} \right) } $$
    donde el doble signo indica que puede girar tanto en un sentido como en otro. Esta curva es precisamente una espiral logarítmica, solución al problema planteado. Observar que para que tenga sentido dicha expresión $\lambda $ debe ser mayor que uno. \par

    \vspace{5mm}
    Por ejemplo, para los datos $D=6$ y $\lambda=2$, obtendríamos la curva $$ \rho(\theta) = 2 \cdot e^{\frac{\pm\theta}{\sqrt{3}}} $$
    que sería la solución del problema.

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  14. Está claro que la solución existe cuando se conoce la posición inicial del submarino y su velocidad (relativa).
    Lo que no termino de ver, y no he encontrado la demostración, es qué pasa si no se conoce alguno de estos datos, o los dos, tal y como afirma ^Diamond^ en un comentario anterior. En esas circunstancias: ¿sigue existiendo solución? ¿Puede demostrarse que no existe? Creo que alguna de estas dos opciones es la única respuesta válida, ¡especialmente tratándose de un espacio de matemáticas!
    La intuición a mí me dice que no puede existir solución: el submarino puede estar en un punto de una superficie mientras que el barco exclusivamente puede recorrer un espacio unidimiensional (su trayectoria), por lo que no puede garantizarse… pero no puedo asegurarlo, por ahora.

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