Saludos.

En comparación a la prueba 1 de Newman, no parece nada simple probar esta última equivalencia (ver, por ejemplo, aquí y aquí. En este último enlace, se alude en la sección -1. Equivalences- a un tal Diamond ).

1. Apuesto que se refiere a acotación por arriba y por abajo.
2. Mi opinión es que D. J. Newman era de otro planeta. Su solución a 109 es extraordinaria, por decir poco. ¿Has estudiado la prueba que dió del teorema del número primo? La más simple que se conoce. El punto de vista generalizado en ese rubro es que no puede haber una prueba más sencilla que la de él.

Saludos.

Por otra parte, para el caso bidimensional, imponiendo sólo acotación superior (o inferior), creo que se puede probar que los valores son constantes expresando la relación de armonicidad en forma matricial (al estilo de la fórmula de cinco puntos para discretizar la ecuación de Poisson). Se obtiene una matriz regular simétrica, tridiagonal por bloques, cuya inversa tiene un radio espectral que tiende a infinito si se aumenta la dimensión. Esto debería implicar no acotación de los valores, a menos que sean propiamente constantes. A ver si lo escribo bien con tiempo…

El problema que indicaba J.H.S. en el segundo comentario de esta entrada aparece como problema 109 en el libro de Donald J. Newman, a problem seminar (de hecho, es el último problema del libro). La solución, que es bastante breve, parece ser igualmente válida en cualquier dimensión, pero usa técnicas de análisis funcional poco elementales (teorema de Krein-Milman).

La idea que yo he seguido es muy simple. Pruebo que acotación+armonicidad implican que la sucesión es 2-periódica en las dos variables. De ahí se sigue inmediatamente el resultado.

Conozco una prueba muy breve del caso no acotado (por uno solo de los extremos) general, pero no me parece muy asequible. La que puse arriba para el caso acotado sólo necesitaba el concepto de supremo. A ver si saco tiempo y la comento.

Me ocupa un par de páginas. ¿Cómo os la puedo proporcionar?

Si X = {a:ZxZ -> R acotadas}, podemos definir en X la norma del supremo: |a| = sup {a(i,j):i,j pertenecen a Z}

También podemos definir varias seminormas: norma-N (a) = max {a(i,j) : -N <= i,j X como Ta = b, donde b(i,j) = la media de los 4 vecinos. Es fácil comprobar que, por ejemplo, |Ta| X como Ta = c, donde c(0,0) = a(0,0), y c(i,j) = la media de los 4 vecinos para todo (i,j) (0,0).

El enunciado se puede traducir diciendo que si Ta = a y a(i,j) está entre 0 y 1 para todo (i,j) de ZxZ, entonces a es constante.

Mi idea es la siguiente:

Conjetura 1 (estoy intentando demostrarla, es de carácter técnico): si a:ZxZ -> X cumple que a(i,j) = 0 para todo (i,j) (0,0), si llamamos x = a(0,0), entonces la aplicación reiterada del operador T’ sobre a converge puntualmente a la constante x en cada punto. De otra forma, la norma-N |T’^n(a) – x| -> 0 para cada N.

Conjetura 2 (la demostración sería idéntica a la de la conjetura 1): si a:ZxZ -> cumple que a(i,j) = 1 para todo (i,j) (0,0), si llamamos x = a(0,0), entonces la aplicación reiterada del operador T’ sobre a converge puntualmente a la constante x en cada punto. De otra forma, la norma-N |T’^n(a) – x| -> 0 para cada N.

Lema: la aplicación reiterada de T’ sobre a (a:ZxZ -> [0,1]) converge puntualmente a x = a(0,0) en cada punto. Es decir, la norma-N |T’^n(a) – x| -> 0. La demostración es sencilla, sería una especie de “lema del sandwich” entre las dos aplicaciones de las conjeturas 1 y 2.

Teorema: si a está en las condiciones del enunciado (Ta = a), entonces trivialmente T’(a) = a. Se comprueba por inducción inmediatamente que T’^n(a) = a para todo n.
Como T’^n(a) converge a la constante x = a(0,0) en norma-N para todo, y T’^n(a) es constante (respecto de n), se tiene: |T’^n(a) – x| = 0, por lo que T’^n(a)(i,j) = x para todo i,j entre -N y N, pero como N es arbitrario, T’^n(a)(i,j) = x para todo i,j. Por tanto, a(i,j) = T’^n(a)(i,j) = x, como queríamos demostrar.

¿Alguien que haya trabajado con alguna ecuación de difusión (como la del calor) y me eche una manilla en demostrar la conjetura 1 (o en demostrarme que es falsa y que estoy equivocado, que también puede ser)? Ahora mismo tan sólo se me ocurre acotar “a lo bruto”.

Sea , con acotado (superior e inferiormente), y tal que es armónica, es decir:

,

siendo las -uplas canónicas: .

Fijados y , definimos la función incremento .

1) es armónica: .

2) está acotada superiormente. Sea y supongamos por reducción al absurdo que >0.

3) Por caracterización de supremo: para todo >0, existe tal que . Entonces, para este se tendrá usando la condición de armonicidad (¿estará en el diccionario? ):

.

Del mismo modo,

,

y en general .

4) Sea natural mayor estricto que , donde e son, respectivamente el supremo e ínfimo de la función inicial (si no es constante entonces ). Fijemos menor que , y tomemos tal que . Entonces:

con >. Luego, sigue que

>>. Absurdo.

5) Tenemos entonces que los supremos de las funciones incrementos ’s son no positivos, y en particular:

Esto implica a partir de la condición de armonicidad que debe ser constante.

Veré si logro afinar algo más y eliminar la doble acotación inferior-superior, dejándola en acotación por un único lado como hipótesis. Por otro lado, no sé si J.H.S. (al respecto del link que indicó en su comentario) conoce una prueba más sencilla.