El quattuordecillion

Según la notación estadounidense, un quattuordecillion es un uno seguido de cuarenta y cinco ceros:

1000000000000000000000000000000000000000000000

En el libro Las matemáticas de Oz de Clifford A. Pickover (libro que ya ha aparecido en este blog alguna vez) se plantea un problema que involucra a este número cuyo resultado es bastante sorprendente. Os lo planteo aquí:

Si llamamos \heartsuit al quattuordecillion, calcula el valor de la siguiente expresión:

\sqrt{1+\heartsuit \sqrt{1+(\heartsuit+1) \sqrt{1+(\heartsuit+2) \sqrt{1+(\heartsuit+3) \ldots }}}}

También podemos plantear el problema en su forma más general:

Dado x\in\mathbb{R}, calcular el valor de la siguiente expresión:

\sqrt{1+x \sqrt{1+(x+1) \sqrt{1+(x+2) \sqrt{1+(x+3) \ldots }}}}

El resultado, como he dicho antes, es ciertamente sorprendente. Lo que no conozco es una demostración del mismo. A ver si alguien la encuentra.

J.H.S. ya planteó un caso particular en este post de su blog. En los comentarios dan la respuesta, pero no su demostración.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

6 Comentarios

  1. Además, el dominio de la raíz se puede extender a [latex]-1-\sqrt{2},-2[/latex], para obtener

    \sqrt{1+x \sqrt{1+(x+1) \sqrt{1+(x+2) \sqrt{1+(x+3) \ldots }}}}=\sqrt{1+x|x+2|}=\sqrt{1-2x-x^2}

    siempre que -1-\sqrt{2}\leq x\leq -2.

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  2. Yo llamaría a ese número el “mil septillones”, ya se sabe, estamos en “la parte del mundo que no es Estados Unidos” donde el billón es un millón de millones. Nuestro quattuordecillón sería algo mayor, concretamente 10^{84}.

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  3. Uso la notación R([a_1,b_1][a_2,b_2] \ldots [a_k,b_k]) = \sqrt{a_1 + b_1 \sqrt{a_2 + b_2 \sqrt{ \cdots \sqrt{ a_k+ b_k } }}} .

    Si \displaystyle L_k(x) = R([1,x][1,x+1] \ldots [1,x+k]), \quad y \quad L_{\infty}(x) = \lim_{ k \to \infty} L_k(x) ,
    demostramos que L_{\infty}(x) = x+1 . (Supongo x, las raices y todo positivo. Entonces R es función creciente de cada a_i \ y \ b_i)

    (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 = 1 + + x[(x+1) +1 ] entonces
    si G(x) = x+1, \quad G(x) = \sqrt{1 + x G(x+1)}= \sqrt{1 + x \sqrt{1 + (x+1) G(x+2)}} , etc

    Por tanto si E_k = R([1,x][1,x+1]\ldots [1,x+(k-1)][1,(x+k)(x+k+2)]), \quad E_k=x+1 para todo k y \displaystyle E_{\infty} = \lim_{k \to \infty} E_k = x+1 .

    Como L_{k+1}(x) \char 62 L_k(x) \ y \ L_k \char 60 E_k = x+1, \quad L_{\infty} existe y L_{\infty} \le x+1

    Usando que R(\ldots[a_i, b_i][a_{i+1},b_{i+1}]\ldots) = R(\ldots[a_i, h^{1/2}b_i][\dfrac{a_{i+1}}{h},\dfrac{b_{i+1}}{h}]\ldots) , sacamos fuera el factor s = x+k+2 del último término de E_k  para obtener E_k = P_k \cdot Q_k con
    P_k = s^{1/2^{k+1}}= (x+k+2)^{1/2^{k+1}} \quad y \ \  Q_k = R([1/s^{1/2^{k}},x][1/s^{1/2^{k-1}},x] \ldots [1/s, x+k]) .

    Como \displaystyle  \lim_{k \to \infty} P_k = 1, \ y \ E_k=x+1, \quad \lim_{k \to \infty} Q_k = x+1 .

    Y como \displaystyle s \char 62 1, \quad Q_k \char 60 L_k \char 60 x+1 , y entonces \lim_{k \to \infty} L_k = x+1 , como queríamos demostrar.

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  4. Para x\geq -1-\sqrt{2} podemos proceder del modo siguiente:

    Llamemos f(x)=\sqrt{1+x \sqrt{1+(x+1) \sqrt{1+(x+2) \sqrt{1+(x+3) \ldots }}}}

    para todo x real: |x+1|=\sqrt{1+x(x+2)}

    y ahora si x\geq -2 vemos que podemos escribir:

    $latex |x+1|=\sqrt{1+x(x+2)}=\sqrt{1+x\sqrt{(x+2)^2}}=
    \sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)\cdot\sqrt{(x+3)^2}}}=\ldots=f(x)$

    Por otro lado, se tiene que f(x)^2=1+x\cdot f(x+1), siempre y cuando x y x+1 estén en el dominio. Esto nos permite extender el dominio al intervalo [latex]-1-\sqrt{2},-2[/latex], de modo que f(x)^2=1+x|x+2|=1-x(x+2) en dicho subintervalo.

    En definitiva, para x\geq -1-\sqrt{2}: f(x)=\sqrt{1+x|x+2|}.

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