El quinto postulado

Euclides de Alejandría

Euclides de Alejandría fue un matemático griego que vivió sobre el 300 a.C. (se cree que desde el 325 a.C. al 265 a.C.). Se conoce poco de su vida y de hecho una de las hipótesis que se barajan es que ni siquiera existió como se le conoce actualmente.

Su libro Los Elementos es uno de los libros más importantes e influyentes de la historia de las Matemáticas (sino el que más). La obra se divide en XIII libros o capítulos que incluyen 132 definiciones, 5 axiomas, 5 postulados y cerca de 500 proposiciones y trata temas de álgebra, geometría elemental del plano y del espacio y teoría de números.

Postulados de Euclides

Según la RAE un postulado es una proposición cuya verdad se admite sin pruebas y que es necesaria para servir de base en ulteriores razonamientos. Vamos a deternernos en los cinco postulados de la teoría de Euclides:

1. Desde cualquier punto se puede trazar una recta a cualquier otro punto.
2. Toda recta se puede prolongar indefinidamente.
3. Con cualquier centro y cualquier distancia se puede trazar un círculo.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si una recta, cortando a otras dos, forma los ángulos internos a una misma parte menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán de la parte en que los dos ángulos son menores que dos rectos.

Entre otras muchas cosas de estos postulados podemos deducir que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º.

En principio los 5 postulados de Euclides son bastante evidentes en la geometría que conocemos, en la vida real. Fijándonos un poco más vemos que los 4 primeros tienen una formulación bastante clara y sencilla pero el quinto es algo más complejo. Existen muchos enunciados equivalentes a este quinto postulado, pero quizá el más conocido sea el siguiente (de hecho hay muchos libros en los que se dice que éste es el quinto postulado de Euclides):

Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a dicha recta (John Playfair)

Esta reformulación es más clara que la anterior y es consistente con la geometría que conocemos. Pero desde el principio este quinto postulado produjo bastante escepticismo por parte de la comunidad matemática. De hecho el mismo Euclides intentaba evitar su uso para la demostración de sus teoremas y proposiciones. Estos intentos de eludir su uso crearon corrientes cuya creencia era que este quinto postulado era independiente del resto (es decir, que se podía deducir como teorema de los otros cuatro). Los intentos de demostración a partir de los cuatro primeros postulados sólo condujeron a nuevos enunciados equivalentes pero sin conclusiones significativas. Esto motivó que el problema del quinto postulado se orientara en otra dirección: su negación.

Negación del quinto postulado

Parece ser que el matemático pionero de este razonamiento fue Saccheri y que nuestro admirado Gauss fue el primero que realmente compredió el problema. De hecho de parte de su correspondencia se deduce que llegó a resultados verdaderamente interesantes, pero nunca los publicó.

Vamos al meollo del asunto: ¿cómo podemos negar el quinto postulado de Euclides? Pues tomando como referencia la reformulación hecha por Playfair (no, no tiene nada que ver con el cifrado Playfair) podemos negarlo de dos maneras:

  • Por un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna recta paralela a la dada
  • Por un punto exterior a una recta se pueden trazar más de una recta paralelas a la dada

Estos dos enunciados parecen no tener mucho sentido si atendemos a la geometría que conocemos, la que hemos estudiado y la que vivimos a diario (geometría euclidiana). Pero se da la circunstancia de que considerando cada uno de ellos como postulado nos encontramos ante dos nuevas geometrías perfectamente válidas y sin contradicciones lógicas: la geometría elíptica y la geometría hiperbólica.

La geometría hiperbólica

La geometría hiperbólica es la geometría que toma como postulado la siguiente negación del quinto postulado de Euclides:

Por un punto exterior a una recta se pueden trazar más de una recta paralelas a la dada (de hecho se pueden trazar infinitas paralelas)

Como hemos dicho parece ser que el pionero de este pensamiento fue Saccheri, pero no la consideró consistente (es decir, libre de contradicciones). Y como también hemos comentado Gauss fue el primero que obtuvo resultados interesantes con este nuevo enfoque de la geometría, pero no publicó sus resultados. Los primeros matemáticos que publicaron trabajos y estudios sobre esta nueva geometría fueron Nikolai Lobachevsky y Janos Bolyai de forma independiente a principios del siglo XIX, aunque los de Lobachevski tuvieron más trascendencia. De todas formas su imposibilidad de aplicación al mundo físico los redujo a un simple juego de deducción matemática si trascendencia en el mundo real.

Fue a mediados de este siglo cuando Beltrami publicó un trabajo que proporcionó un modelo para la geometría no euclidiana de Lobachevski dentro de la geometría tridimensional:

Consideró una curva denominada tractriz (aquí podéis ver su representación). Girando esta curva respecto al eje Y obtenemos una superficie denominada pseudoesfera:

El trabajo de Beltrami demostró que la geometría hiperbólica de Lobachevski no era más que la geometría intrínseca de la pseudoesfera, dotando entonces a esta geometría de significado físico.

Las contribuciones posteriores a esta geometría por parte de matemáticos como Weierstrass, Klein y sobre todo Poincaré consiguieron que la geometría hiperbólica de Lobachevski terminara siendo aceptada.

En la geometría hiperbólica la suma de los ángulos de un triángulo es menor de 180º.

La geometría elíptica

La geometría elíptica es la que toma como postulado la siguiente negación del quinto postulado de Euclides:

Por un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna recta paralela a la dada

Su precursor fue Riemann. Consideró una esfera y la geometría intrínseca a ella, es decir, tomó la esfera como plano. Las rectas del plano pasan a llamarse geodésicas y son círculos máximos, es decir, circunferencias que dividen a la esfera en dos hemisferios iguales (en inglés great circles):

Por tanto por un punto exterior a una geodésica no pasa ninguna paralela a ella.

Su principal aplicación fue su uso en la teoría de la Relatividad Especial de Albert Einstein, aunque también se ha aplicado a investigaciones sobre fenómenos ópticos y propagación de ondas.

En esta geometría elíptica (también llamada esférica) la suma de los ángulos de un triángulo es mayor de 180º.

Fuentes:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

11 Comentarios

  1. Hola, estupendo blog el vuestro ;).
    Tengo una duda bastante seria. Por qué por un punto exterior a una geodésica no puede pasar una paralela. ¿Acaso una geodésica no es paralela de las demás tomando la esfera como plano? Y si lo miró así, desde mi geometría euclidiana y que sí entiendo (xD), una geodésica sería paralela de la otra que divide a la esfera en un hermisferio igual :S.
    (no, no tengo ni idea)
    En fin, un saludo, y enhorabuena de nuevo por el blog xD.

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  2. Brais imagina un punto cualquiera de una esfera y una geodésica (recordemos: circunferencia que divide a la esfera en dos hemisferios iguales) que pasa por él. Ahora coge otro punto que no pertenezca a la geodésica e intenta dibujar una geodésica que pase por él. No vale dibujar una circunferencia paralela a la geodésica que dibujamos al principio, ya que esa circunferencia no sería una geodésica (no dividiría a la esfera en dos hemisferios iguales). Para dibujar una geodésica que pase por el segundo punto gira un poco la esfera hasta que el segundo punto esté en el ecuador y ahora dibuja la geodésica. Fíjate que entonces esta segunda geodésica corta a la primera.

    Espero haberme explicado.

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  3. El problema estaba en no haber entendido que en esa geometría sólo “existen” geodésicas. Los small circles me confundieron. Gracias :).

    Un saludo.

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  4. Hola. Fantástico artículo. Al igual que Brais no se aclaraba con el tema de las geodésicas, yo estoy un poco confundido con la pseudoesfera. ¿como se pueden “imaginar” las paralelas en ese caso? Gracias y un saludo.

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  5. ¿Alguien conoce (o mejor, tiene) el artículo (o documento, cualquiera sea su naturaleza) en el que Playfair demuestra la equivalencia de su axioma con el quinto postuladdo de Euclides?

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      • Me parece excelente su blog.

        Sobre este articulo, estoy más familiarizado con los trabajos de Lovachesky. Muy interesante el tema.

        Desde el punto de vista histórico los descubrimientos matemáticos de los siglos XVIII y XIX se efectuaban en el centro de Europa.
        Lo que mas me sorprendió de Lovachesky es que era profesor de Kazán en Rusia. Un lugar un poco alejado del centro matemático de esos años.
        Quitar un postulado de Euclides, fue el origen de una revolución en la Geometría.

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  6. el quinto postulado de euclides fue demostrado como un sencillo teorema por mi persona. lo pueden leer en monografias.com con el titulo de FIN DE LAS GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS. tambien está demostrado allí el postulado de unicidad de la recta que pasa por dos puntos.

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