El seno y el coseno de la suma de ángulos

Este artículo es una colaboración enviada por fede

Introducción

Haciendo uso del hecho de que a cada punto del plano le corresponde un vector y de que los vectores se suman según la regla del paralelogramo, vamos a demostrar las fórmulas para el seno y el coseno de la suma de dos ángulos en función de los senos y cosenos de cada uno de ellos. Concretamente vamos a demostrar las siguientes igualdades:

sen(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b)

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)

Demostración

La recta por el origen que hace un ángulo a con el eje X corta al círculo con centro en el origen y radio unidad en un punto de coordenadas (\cos(a), \mathrm{sen}(a) ) = \cos(a)(1,0) + \mathrm{sen}(a)(0,1), por definición de seno y coseno.

Si rotamos los puntos del plano alrededor del origen un ángulo b, el punto (1,0) se mueve a la posición (\cos(b), \mathrm{sen}(b) ), y el punto (0,1) se mueve a la posición (-\mathrm{sen}(b) , \cos(b)) (ver figura).

Por lo tanto un punto cualquiera (x,y) = x \cdot (1,0) + y \cdot (0,1) se mueve a la posición x \cdot (\cos(b), \mathrm{sen}(b) ) + y \cdot (-\mathrm{sen}(b) , \cos(b)).

En particular el punto (\cos(a), \mathrm{sen}(a)) se mueve a la posición cos(a) \cdot (cos(b), sen(b)) + sen(a) \cdot (-sen(b),cos(b))

que al multiplicar nos queda:

(cos(a) cos(b) - sen(a)sen(b) , cos(a) sen(b) + sen(a)cos(b)).

Pero el punto (\cos(a), \mathrm{sen}(a) ) se mueve claramente con la rotación a la posición (\cos(a+b), \mathrm{sen}(a+b) ). De donde, igualando coordenadas, resultan las dos fórmulas:

\begin{matrix} \cos(a+b) = \cos(a) \cos(b) -  \mathrm{sen}(a)\mathrm{sen}(b) \\ \mathrm{sen}(a+b) = \mathrm{sen}(a)\cos(b) + \cos(a) \mathrm{sen}(b) \end{matrix}

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Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor del blog Gaussianos. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

5 Comentarios

  1. Una de las demostraciones que más me gusta de este hecho consiste en darse cuenta que la composición de 2 giros en el plano es un giro de ángulo la suma, y que algebraicamente esto se corresponde con el producto de matrices:

    $latex \begin{pmatrix}cos(a)\ \ \ sen(a)\\-sen(a)\ \ cos(a) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}cos(b)\ \ \ sen(b)\\-sen(b)\ \ cos(b) \end{pmatrix} =
    \begin{pmatrix}cos(a+b)\ \ \ sen(a+b)\\-sen(a+b)\ \ cos(a+b) \end{pmatrix}
    $

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  2. Como decíais que queríais demostraciones que no entraran en el campo complejo…. 😉

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  3. Aunque aquí vemos el enorme poder de simplificación que suponen los avances matemáticos, debemos apreciar el enorme poder formativo de la demostración puramente geométrica (a base exclusivamente de triángulos y relaciones entre ellos) que se enseña (o se enseñaba) en la educación secundaria.

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  4. Está muy bien ese enfoque, similar al que tradicionalmente se explica en 1º de Bachillerato:

    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/seno_coseno_suma.html

    pero mejor motivado y con la ventaja añadida de que vale para ángulos cualesquiera. El tradicional, sin razonamientoas suplementarios, solo es válido cuando los sumansos y la suma son menores que pi/2. Una alternativa realmete simple, que solo requiere el conocimiento previo del teorema del seno, es esta otra:

    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/seno_suma.html

    y que es válida siempre que la suma sea menor que pi.

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Trackbacks/Pingbacks

  1. Demostrando "pitagóricamente" la validez de la fórmula del seno de la suma - Gaussianos | Gaussianos - […] Gaussianos ya publicamos una demostración de este hecho (una colaboración de Fede) hace un tiempo (¡¡casi seis años!!). Os…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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