El seno y el coseno de la suma de ángulos

Este artículo es una colaboración enviada por fede

Introducción

Haciendo uso del hecho de que a cada punto del plano le corresponde un vector y de que los vectores se suman según la regla del paralelogramo, vamos a demostrar las fórmulas para el seno y el coseno de la suma de dos ángulos en función de los senos y cosenos de cada uno de ellos. Concretamente vamos a demostrar las siguientes igualdades:

sen(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b)

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)

Demostración

La recta por el origen que hace un ángulo a con el eje X corta al círculo con centro en el origen y radio unidad en un punto de coordenadas (\cos(a), \mathrm{sen}(a) ) = \cos(a)(1,0) + \mathrm{sen}(a)(0,1), por definición de seno y coseno.

Si rotamos los puntos del plano alrededor del origen un ángulo b, el punto (1,0) se mueve a la posición (\cos(b), \mathrm{sen}(b) ), y el punto (0,1) se mueve a la posición (-\mathrm{sen}(b) , \cos(b)) (ver figura).

Por lo tanto un punto cualquiera (x,y) = x \cdot (1,0) + y \cdot (0,1) se mueve a la posición x \cdot (\cos(b), \mathrm{sen}(b) ) + y \cdot (-\mathrm{sen}(b) , \cos(b)).

En particular el punto (\cos(a), \mathrm{sen}(a)) se mueve a la posición cos(a) \cdot (cos(b), sen(b)) + sen(a) \cdot (-sen(b),cos(b))

que al multiplicar nos queda:

(cos(a) cos(b) - sen(a)sen(b) , cos(a) sen(b) + sen(a)cos(b)).

Pero el punto (\cos(a), \mathrm{sen}(a) ) se mueve claramente con la rotación a la posición (\cos(a+b), \mathrm{sen}(a+b) ). De donde, igualando coordenadas, resultan las dos fórmulas:

\begin{matrix} \cos(a+b) = \cos(a) \cos(b) -  \mathrm{sen}(a)\mathrm{sen}(b) \\ \mathrm{sen}(a+b) = \mathrm{sen}(a)\cos(b) + \cos(a) \mathrm{sen}(b) \end{matrix}

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6 comentarios

  1. Tito Eliatron | 17 de diciembre de 2007 | 10:04

    Vótalo Thumb up 1

    Una de las demostraciones que más me gusta de este hecho consiste en darse cuenta que la composición de 2 giros en el plano es un giro de ángulo la suma, y que algebraicamente esto se corresponde con el producto de matrices:

    \begin{pmatrix}cos(a)\ \  \ sen(a)\\-sen(a)\ \ cos(a) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}cos(b)\ \ \ sen(b)\\-sen(b)\ \ cos(b) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}cos(a+b)\ \ \   sen(a+b)\\-sen(a+b)\ \ cos(a+b) \end{pmatrix}

  2. Domingo H.A. | 17 de diciembre de 2007 | 10:24

    Vótalo Thumb up 2

    Como dice Tito Eliatron, y haciendo referencia a la célebre frase de Hadamard, ambas identidades se resumen en: e^{ia}\cdot e^{ib}=e^{i(a+b)}

  3. Tito Eliatron | 17 de diciembre de 2007 | 11:58

    Vótalo Thumb up 1

    Como decíais que queríais demostraciones que no entraran en el campo complejo…. ;-)

  4. Domingo H.A. | 17 de diciembre de 2007 | 17:15

    Vótalo Thumb up 1

    Aunque aquí vemos el enorme poder de simplificación que suponen los avances matemáticos, debemos apreciar el enorme poder formativo de la demostración puramente geométrica (a base exclusivamente de triángulos y relaciones entre ellos) que se enseña (o se enseñaba) en la educación secundaria.

  5. Ignacio Larrosa Cañestro | 30 de agosto de 2013 | 20:14

    Vótalo Thumb up 1

    Está muy bien ese enfoque, similar al que tradicionalmente se explica en 1º de Bachillerato:

    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/seno_coseno_suma.html

    pero mejor motivado y con la ventaja añadida de que vale para ángulos cualesquiera. El tradicional, sin razonamientoas suplementarios, solo es válido cuando los sumansos y la suma son menores que pi/2. Una alternativa realmete simple, que solo requiere el conocimiento previo del teorema del seno, es esta otra:

    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/seno_suma.html

    y que es válida siempre que la suma sea menor que pi.

  6. Trackback | 6 nov, 2013

    Demostrando "pitagóricamente" la validez de la fórmula del seno de la suma - Gaussianos | Gaussianos

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