El seno y el coseno de la suma de ángulos

Este artículo es una colaboración enviada por fede

Introducción

Haciendo uso del hecho de que a cada punto del plano le corresponde un vector y de que los vectores se suman según la regla del paralelogramo, vamos a demostrar las fórmulas para el seno y el coseno de la suma de dos ángulos en función de los senos y cosenos de cada uno de ellos. Concretamente vamos a demostrar las siguientes igualdades:

$sen(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b)$

$cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)$

Demostración

Seno y coseno de la suma de ángulos

La recta por el origen que hace un ángulo $a$ con el eje $X$ corta al círculo con centro en el origen y radio unidad en un punto de coordenadas $(\cos(a), \mathrm{sen}(a) ) = \cos(a)(1,0) + \mathrm{sen}(a)(0,1)$ , por definición de seno y coseno.

Si rotamos los puntos del plano alrededor del origen un ángulo $b$ , el punto $(1,0)$ se mueve a la posición $(\cos(b), \mathrm{sen}(b) )$ , y el punto $(0,1)$ se mueve a la posición $(-\mathrm{sen}(b) , \cos(b))$ (ver figura).

Por lo tanto un punto cualquiera $(x,y) = x \cdot (1,0) + y \cdot (0,1)$ se mueve a la posición $x \cdot (\cos(b), \mathrm{sen}(b) ) + y \cdot (-\mathrm{sen}(b) , \cos(b))$ .

En particular el punto $(\cos(a), \mathrm{sen}(a))$ se mueve a la posición $cos(a) \cdot (cos(b), sen(b)) + sen(a) \cdot (-sen(b),cos(b))$

que al multiplicar nos queda:

$(cos(a) cos(b) - sen(a)sen(b) , cos(a) sen(b) + sen(a)cos(b))$ .

Pero el punto $(\cos(a), \mathrm{sen}(a) )$ se mueve claramente con la rotación a la posición $(\cos(a+b), \mathrm{sen}(a+b) )$ . De donde, igualando coordenadas, resultan las dos fórmulas:

$\begin{matrix} \cos(a+b) = \cos(a) \cos(b) - \mathrm{sen}(a)\mathrm{sen}(b) \\ \mathrm{sen}(a+b) = \mathrm{sen}(a)\cos(b) + \cos(a) \mathrm{sen}(b) \end{matrix}$

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 17 de Diciembre de 2007
Categorías: Colaboraciones, Demostraciones, Geometría

4 comentarios

Tito Eliatron | 17 de Diciembre de 2007 | 10:04

Una de las demostraciones que más me gusta de este hecho consiste en darse cuenta que la composición de 2 giros en el plano es un giro de ángulo la suma, y que algebraicamente esto se corresponde con el producto de matrices:

$\begin{pmatrix}cos(a)\ \ \ sen(a)\\-sen(a)\ \ cos(a) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}cos(b)\ \ \ sen(b)\\-sen(b)\ \ cos(b) \end{pmatrix} =<br /> \begin{pmatrix}cos(a+b)\ \ \ sen(a+b)\\-sen(a+b)\ \ cos(a+b) \end{pmatrix}<br />$
Domingo H.A. | 17 de Diciembre de 2007 | 10:24

Como dice Tito Eliatron, y haciendo referencia a la célebre frase de Hadamard, ambas identidades se resumen en: $e^{ia}\cdot e^{ib}=e^{i(a+b)}$
Tito Eliatron | 17 de Diciembre de 2007 | 11:58

Como decíais que queríais demostraciones que no entraran en el campo complejo….
Domingo H.A. | 17 de Diciembre de 2007 | 17:15

Aunque aquí vemos el enorme poder de simplificación que suponen los avances matemáticos, debemos apreciar el enorme poder formativo de la demostración puramente geométrica (a base exclusivamente de triángulos y relaciones entre ellos) que se enseña (o se enseñaba) en la educación secundaria.

Comentarios cerrados.