El sorprendente poliedro de Császár

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La Fórmula de Euler, maravilla matemática que vimos hace unos días, sólo es válida para poliedros convexos. En este artículo vamos a presentar el poliedro de Császár, una curiosa figura que nos va a servir como ejemplo de por qué los poliedros no convexos no cumplen la igualdad propuesta por Euler.

¿Qué es el poliedro de Császár?

El poliedro de Császár es un poliedro no convexo que no tiene diagonales (comparte esta propiedad con el tetraedro), es decir, cada uno de sus vértices está conectado con todos los demás por una arista. Podemos verlo en la siguiente imagen (tomada de MathWorld):

Poliedro de Császár

En este enlace de la Wikipedia podéis ver una animación de este poliedro junto con la figura que queda al desplegarlo.

El poliedro de Császár tiene 7 vértices, 21 aristas y 14 caras triangulares. Por ello no cumple la fórmula de Euler:

14-21+7=0 \ne 2

Es topológicamente equivalente a un toro (esto es, una rosquilla) y su esqueleto es isomorfo al grafo completo K_7.

Este poliedro fue descubierto por el topólogo húngaro Ákos Császár en 1949 y sirvió para resolver el siguiente problema:

Un toroide es un poliedro cuyas caras son todas polígonos simples (es decir, si fueran de plastilina podríamos deformarlas sin romperlas hasta obtener un disco) que además cumple que el propio poliedro es topológicamente equivalente a una esfera con uno o más agujeros que la atraviesan. ¿Es posible construir un toroide que no posea diagonales?

¿Cómo construir el poliedro de császár?

A la vista de la imagen anterior, el poliedro de Császár tiene una forma muy peculiar, extraña, hasta difícil de imaginar. Lo curioso es que es sencillo construirlo con papel a partir de estas dos plantillas:

Plantillas para construir el poliedro de Császár

Los pasos que debemos seguir para contruir el poliedro, según el gran Martin Gardner, con los siguientes:

Recortamos las plantillas y coloreamos por los dos lados los triángulos sombreados. Después doblamos por las líneas de puntos para formar aristas “montañas” y por las líneas llenas para formar aristas “valle”.

Para formar la base plegamos los dos triángulos más grandes hacia el centro y sujetamos con cinta adhesiva los vértices A uno junto al otro. Le damos la vuelta al papel y plegamos los triángulos más pequeños hacia el centro sujetando después con cinta las aristas B. Ya tenemos la base.

La punta cónica de seis caras se forma pegando entre sí los lados C. Para colocarla sobre la base se unen los triángulos blancos con los triángulos sombreados y después se pegan cada uno de sus seis lados a los seis correspondientes de la base.

Hemos comentado antes que este poliedro no tiene diagonales y que el poliedro de Császár y el tetraedro son los únicos poliedros conocidos (con superficie acotada) que no tienen diagonales. Es sencillo comprobar que si un poliedro tiene v vértices y A agujeros, el hecho de que no posea diagonales obliga a que se cumpla la siguiente relación:

A=\cfrac{(v-3)(v-4)}{12}

Teniendo en cuenta que los dos tienes que ser números enteros positivos y que además v debe ser mayor que 3 (no hay poliedro con 3 o menos vértices), la solución con valores más pequeños es v=4, \; A=0, que corresponde al tetraedro. Y la siguiente es v=7, \; A=1, que es la que corresponde al poliedro de Császar. La siguiente solución posible es v=12, \; A=6, que nos daría un poliedro con 44 caras y 66 lados, pero dicho poliedro no puede construirse. No se conoce ninguna solución más a partir de la cual se obtenga un poliedro que se pueda construir.

El dual de Császár

Dado un poliedro cualquiera, su poliedro dual puede construirse tomando un punto en cada una de las caras del poliedro inicial y uniendo el punto tomado en cada cara con los puntos tomados en las caras adyacentes a ésta. Por ejemplo, el poliedro dual del tetraedro es el propio tetraedro.

Tetraedro y su dual

Si representamos el poliedro dual del poliedro de Császár aparece el denominado poliedro de Szilassi, descubierto por el matemático húngaro Lajos Szilassi en 1977. Este poliedro tiene el mismo número de aristas que el de Császár, 21, pero intercambia el número de caras con el número de vértices, esto es, tiene 14 vértices y 7 caras hexagonales. Aquí lo tenéis:

Poliedro de Szilassi

El poliedro de Szilassi y el tetraedro son los únicos poliedros en los que cada una de sus caras comparte una arista con el resto de caras del poliedro. Esta propiedad es la propiedad dual a la propiedad que comparten el tetraedro y el poliedro de Császár comentada al comienzo de este artículo.


Fuentes y enlaces relacionados:

  • Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas, de Martin Gardner, de donde, entre otras cosas, provienen las plantillas y las instrucciones para construir el poliedro de Császár.
  • Császár polyhedron en la Wikipedia inglesa.
  • Szilassi polyhedron en la Wikipedia inglesa.
  • En esta web podéis encontrar una plantilla del poliedro de Császár que creo que es mejor que las comentadas anteriormente y en esta otra tenéis una plantilla para construir el poliedro de Szilassi.
  • El poliedro de Szilassi en MathCurve.

Este artículo va a ser mi segunda aportación a la cuarta edición del Carnaval de Matemáticas, que organiza Zurditorium.

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Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor del blog Gaussianos. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

8 Comentarios

  1. Se comenta en el artículo que la solución para v=12, A=6, da lugar a un poliedro que no se puede construir. ¿No se puede construir o no se ha construido? ¿Existe una demostración de que no sea construible?

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  2. En tu post dices que este poliedro “no cumple con la fórmula de Euler” y que “solo se cumple para poliedros convexos”. Las dos afirmaciones son falsas.

    La fórmula (general) de Euler es c-v+a=2-2*g donde g es el genus o género del poliedro (o superficie). En términos simples, g cuenta el número de hoyos en la superficie: una esfera no tiene hoyos y por lo tanto g=0, en un toro/toroide, g=1, en un doble toro g=2. Al ser topológicamente equivalente a un toro, el poliedro de Császár cumple con la formula de euler con g=0.

    Cualquier poliedro no convexo cumple la fórmula de Euler. Si el poliedro es isomorfo a la esfera, cumple la fórmula de Euler con g=1.

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  3. Buenas
    La tercera cara mas oscura , situada abajo del todo , tendria que ser bidimensional y eso en un espacio tridimensional no se puede obtener asique yo me pregunto:
    -Si es correcta la figura para demostrar el problema pero no se puede construir.
    -O es erronea porque la cara mencionada tiene un grosor (para que se pudiese construir )lo que le proporcionaria a la figura mas aristas , mas caras y mas vertices.
    Espero que me podais ayudar

    Publica una respuesta
  4. Abubuu, ¿a qué figura te refieres? ¿Al de Császár o al de Szilassi? Y tampoco he entendido bien tu duda, no te voy a engañar. ¿Podrías explicarlo mejor? A ver si así te podemos responder.

    Saludos.

    Publica una respuesta
  5. Me refiero a la figura de Szilassi.En esta figura se ven cuatro caras cada una de ellas coloreada de un tipo de azul.La cara que se situa mas abajo que seria la base seria algo plano sin grosor, con solo 2 dimensiones, por lo que no seria posible obtenerla en la realidad , en la que los objetos tienen 3 dimensiones , lo cual me plantea dos preguntas:
    -¿Es posible que haya una demostracion que no se pueda construir?
    -Suponiendo que la cara mencionada anteriormente no tenga altura entonces no existiria porque la base por el ancho por 0(la altura) = 0 asique esa cara no existiria y la figura ya no seria un poliedro en los que cada una de sus caras comparte una arista con el resto de caras del poliedro.¿Seria incorrecta la figura para demostrar que existe un poliedro que es topológicamente similar a una rosquilla ?
    Espero haberme explicado mejor y gracias por toda la ayuda que me podais proporcionar.

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  6. POR FIN!!!! Lo terminé… hoy me puse, y como me apetecía colorearlo entero, me tiré media tarde xD
    Creo que en lugar de hacer un poliedro de Czászár, acabo de descubrir el esperpento de Ranz… todo depende de según se mire.

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