El teorema de Holditch, un resultado geométrico inesperado

Me encantan los resultados geométricos. Si os digo la verdad, la geometría nunca fue la rama de las matemáticas que más me llamó la atención, pero no puedo negar que muchos teoremas geométricos tienen “algo” que los hace especiales, no son como los demás. Resultados como el teorema de Van Aubel o los teoremas de Varignon y Thébault, hasta el propio teorema de Pitagoras, están cargados de belleza. Tienen, como he dicho antes, algo especial.

En concreto me apasionan los teoremas en los que se cumple cierta propiedad independientemente de la forma o tamaño que tenga la figura en cuestión. El de Van Aubel que he nombrado antes es un buen ejemplo, y el que nos ocupa hoy también lo es. Vamos a hablar sobre el teorema de Holditch.

Como se puede leer en el título de esta entrada, el teorema de Holditch es un resultado inesperado, y además lo es por varias razones. Dice lo siguiente:

Teorema de Holditch

Dada una curva plana cerrada con interior convexo, trazamos un segmento interior a ella, lo que suele denominarse cuerda, que una dos puntos de la misma, A y B. Tomamos un punto cualquiera de dicha cuerda, digamos P, y deslizamos dicha cuerda a lo largo de toda la curva inicial manteniendo siempre los extremos sobre ella. Realizando este movimiento, el punto P describirá otra curva en el interior de la curva de partida.

El teorema de Holditch dice que si la distancia de A a P es a y la de B a P es b, entonces el área que queda entre las dos curvas, la inicial y la que describe el punto P, vale \pi a b.

¿Ha quedado claro? A ver si esta imagen ayuda. En ella vemos el recorrido del segmento a lo largo de toda la curva. El punto que se ve de varios colores es el punto P:

Es decir, si partimos la cuerda en dos trozos de longitudes a y b y recorremos toda la curva con dicha cuerda apoyado en ella, entonces el punto por el que hemos partido la cuerda describe una nueva curva de forma que el área que queda entre ellas es, exactamente, \pi a b.

¿Esto es inesperado? Bueno, en parte sí. Al menos es sorprendente. ¿Que por qué? Sencillo. Para comenzar, el área de la zona entre las dos curvas vale \pi multiplicado por las longitudes de los dos trozos de cuerda independientemente de la forma y tamaño de la curva inicial. Vaya, esto sí puede considerarse una sorpresa: da igual cómo sea la curva inicial, el área entre ella y la nueva curva siempre se calculará de la misma forma. Y además, casualidades de la vida (¿o no?), dicha área coincide con el área de una elipse de semiejes a y b, pero en el teorema no aparece ninguna elipse. Vaya, otra sorpresa. De una curva cualquiera, una cuerda cualquiera que une dos puntos de esa curva y un punto cualquiera de dicha cuerda obtenemos siempre una figura cuya área coincide con la de una elipse cuyos semiejes son las longitudes de los trozos de nuestra cuerda. No me podéis negar que la cosa es cuanto menos sorprendente.

Bien, ¿a quién debemos este resultado? Pues a Hamnet Holditch, presidente del Caius College de Cambridge a mediados del siglo XIX que publicó este resultado en The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics en 1858. Aquí tenéis una imagen de dicha publicación donde puede verse tanto el enunciado del teorema como su demostración:

Un teorema precioso con un interesante enunciado y una sorprendente e inesperada conclusión. ¿Qué más podemos pedir?


Fuentes y enlaces relacionados:


Esta es mi primera aportación a la Edición 3,1415926 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es Ricardo en su blog Series Divergentes.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

7 Comentarios

  1. Podemos pedir construir algún ejemplo con GeoGebra. Para un círculo y una elipse primero, luego para una curva algebraica cerrada y convexa y después para un lugar geométrico cerrado y convexo estaría bien. Parece que fácil para el primer caso, algo menos para el segundo y para el otro tirando a difícil.

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  2. Muy buena idea Maestrillo. Yo tenía pensado intentarlo, pero no prometo nada. A ver si alguno de los monstruos de GeoGebra que pasan a menudo por aquí, como Ignacio Larrosa o fede se animan.

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  3. Interesantísimo el estudio del ingeniero Hacar en la Revista de Obras Públicas referenciado en el artículo. Magnífica forma extraer utilidad de un teorema que demuestra que podemos esperar algo más que la satisfacción por la belleza y la sorpresa.

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  4. Me ha costado entender de que va, para encontrarme que un problema de examen de hace muchos años era un caso particular de lo mismo.

    Muy bueno, y el artículo de obras públicas también

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  5. El área de un círculo es caso particular del teorema: basta con elegir como cuerda un diámetro y P el centro. Entonces, a=b=r, la curva interior pasa a ser un punto (el centro) y la diferencia (el área del círculo) es \pi r r.

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  6. El enunciado de la demostración no es del todo correcto, ¿verdad?. Donde dice “Let Q be the point in which the chord intersects its consecutive position” no tiene en cuenta que para toda posición inicial de la cuerda siempre existe otra posición donde Q no existe porque las cuerdas son en ese momento paralelas paralelas. ¿Me equivoco? Si estoy en lo cierto, ¿cómo podemos darle rigor a esa prueba?

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  7. Efectivamente, en la demostración se pierde un área infinitesimal cuando theta = pi y la curva no se cierra. En el enunciado principal de la prueba Holditch no menciona esto. La demostración no es cierta para la geometría euclídea por la existencia de paralelas.

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