El teorema de la bola peluda

Dos horas buceando entre mis apuntes de la carrera (ese es el tiempo que he tardado en encontrar este teorema) bien valen un artículo. Sí, sé que en internet hay información, pero para mí mis apuntes son enormemente valiosos y no quería dejar escapar la oportunidad de consultarlo en ellos.


Introducción

Suena el despertador. Son las 6:30 de la mañana. Víctor se revuelve entre las sábanas, no quiere levantarse, el sueño le supera…pero no puede permitirlo. A las 8:30 tiene una entrevista de trabajo muy importante, puede que determinante para su futuro profesional.

– ¡¡Arriba chaval!!

Víctor se levanta de la cama de un salto y va directo al baño. Una ducha rápida complementada con un afeitado apurado le dejan nuevo. Desodorante, colonia y a arreglar esa cabeza. Ayer fue día (bueno, más bien noche) de salida informal con los amigos y el peinado fue más bien alocado, pero hoy toca seriedad y hay que bajarlo como sea. Secador por aquí, peine por allá. Y listo, su peinado hacia un lado presenta una completa armonía…¿completa?

– ¡¡Aghh!! Este maldito remolino…¿va a poder conmigo?…¡¡No!!

¿Podrá conseguir nuestro amigo Víctor que su pelo esté complemente perfecto?

El teorema de la bola peluda

Pues no, no podrá. Y la razón no es genética, sino matemática. Sí, sí, matemática. Y, cómo no, os voy a explicar por qué.

Campo tangente a una esferaUn campo de vectores tangente sobre una superficie de \mathbb{R}^3 es una aplicación de esa superficie en \mathbb{R}^3 que asocia a cada punto de la superficie un vector tangente a la misma en ese punto. Tomando \mathbb{S}^2 (la esfera conocida por todos, da igual su centro y su radio) como la superficie, un campo tangente a \mathbb{S}^2 será una aplicación continua W : \mathbb{S}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3 tal que para cada punto p de \mathbb{S}^2 se tiene que W(p) es un vector tangente a la misma en ese punto p (ver figura de la derecha). Pues bien, el teorema de la bola peluda dice lo siguiente:

Teorema: (de la bola peluda)

Sea W : \mathbb{S}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3 campo de vectores tangente. Entonces W tiene al menos un cero, es decir, existe al menos un punto p_0 \in \mathbb{S}^2 tal que W(p_0)=0.

¿Y qué tiene que ver ésto con el caso de nuestro amigo Víctor? Muy sencillo: suponiendo que su cabeza sea la esfera \mathbb{S}^2 (no tiene una cabeza totalmente esférica pero es perfectamente válido suponerla así), que tiene un pelo en cada punto (tampoco es exacto, pero nos sirve) y que cada pelo es el vector tangente a la superficie de la cabeza en el punto de la misma donde nace dicho pelo, por mucho tiempo que le dedique a peinarla siempre habrá algún punto donde se deje una coronilla, un remolino, algún pelo tieso o algo parecido. Vamos, que no podrá alcanzar la perfección que desea.

Este resultado es topológico y podemos enmarcarlo dentro de la teoría del punto fijo. Su demostración (que no incluyo al necesitar demasiados conocimientos previos) tiene que ver con la teoría de homotopía. En concreto, para quien esté interesado, se basa en el teorema de la invarianza homotópica del grado. El resultado fue propuesto por Poincaré (¡qué grande!) y demostrado posteriormente por Brouwer.

Otras aplicaciones

Un teorema tan curioso como éste no podía quedarse ahí, debía tener más aplicaciones. Y las tiene. La más interesante tiene que ver con la climatología, concretamente con el viento. Tomemos la esfera terrestre y el campo tangente que a cada punto de nuestro planeta le asocia el viento que hay en ese punto (tomando este viento como vector definido en cada punto de forma continua). El teorema de la bola peluda nos dice que en todo momento debe existir algún punto de la Tierra en la que no hay viento (el viento tangente en ese punto es cero).

En sentido físico, este punto de viento cero será el ojo de un ciclón o anticiclón. Resumiendo, el teorema de la bola peluda nos asegura que debe haber en todo momento un ciclón en algún sitio (este dato está sacado de la Wikipedia inglesa).

Pero volvamos a Víctor, que ha debido quedarse hecho polvo al enterarse de que no podrá tener el pelo perfecto. ¿Podemos darle alguna solución? Yo voy a darle dos opciones que pueden ser válidas aunque igual son algo dástricas:

– Dejarse el pelo tal cual estaba al salir de la ducha.

– Raparse al cero (total, si no va a haber perfección, ¿qué más da?)

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

38 Comentarios

  1. ¿El teorema no sería válido únicamente para el caso en que la cabeza (esfera) fuese totalmente peluda? Muy interesante la entrada, me recuerda a una clase de Geometría Diferencial del año pasado.

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  2. Yo, como buen ignorante matemático (y de lo que haga falta), me hago la siguiente pregunta: ¿por qué se considera que un pelo es tangente a la superficie? ¿Para que sea tangente, no debe tocar sólo en un punto de la cabeza, por mucho que se prolongue (incluso prolongado hacia dentro, claro)?

    Un saludo.

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  3. Una pregunta, ^DiAmOnD^. Si por ejemplo parametrizamos la esfera de radio unidad centrada en el origen por \Phi(\alpha,\beta)=(\cos(\alpha)\sin(\beta),\sin(\alpha)\sin(\beta),\cos(\beta)) \quad 0\leq \beta \leq \pi \quad 0 \leq \alpha \leq 2\pi, entonces los vectores tangentes en las direcciones de alpha y beta respectivamente serán:
    T_{\alpha}(\alpha,\beta)=(-\sin(\alpha)\sin(\beta),\cos(\alpha)\sin(\beta),0) y T_{\beta}(\alpha,\beta)=(\cos(\alpha)\cos(\beta),\sin(\alpha)\cos(\beta),-\sin(\beta)). (y todo vector tangente en un punto \Phi(\alpha,\beta) será combinación lineal de estos). Si ahora formamos el campo de vectores tangente W(\alpha,\beta)=T_{\beta}(\alpha,\beta) entonces para que exista un vector tangente nulo en la esfera necesitamos T_{\beta}(\alpha,\beta)=(\cos(\alpha)\cos(\beta),\sin(\alpha)\cos(\beta),-\sin(\beta)) = (0,0,0) Para empezar -\sin(\beta) = 0 \Rightarrow \beta = 0,\pi, pero entonces \cos(\beta) = 1 o \cos(\beta) = -1. En cualquier caso también necesitaríamos \cos(\alpha)=\sin(\alpha)=0, lo cual es imposible simultaneamente, lo que implica que ese campo de vectores tangentes no tiene ninguno nulo. ¿en qué falla mi razonamiento?
    Dani

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  4. Te olvidas de que dios hizo pocas cabezas perfectas,
    y el resto las cubrió de pelo.

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  5. Dani:

    El campo tangente T_{\beta}(\alpha,\beta) que propones no está definido en los polos de la esfera.

    El problema viene de que la esfera tiene un único punto con \beta=0 en la parametrización que usas, y a ese punto van los (\alpha, 0) para todo \alpha \in [0,2 \pi]. Tu campo tangente sí depende del valor de \alpha, y si escoges uno el campo deja de ser continuo. Ídem para \beta=\pi.

    Trotapets

    (^DiAmOnD^: te edito el comentario para arreglarte las fórmulas.)

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  6. Tengo una pregunta: Este teorema tiene aplicaciones en el mundo de la peluquería (masculino y/o femenina)?
    Por si acaso ire a explicarle a mi peluquero por qué se atranca siempre en el mismo sitio 😛

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  7. De hecho, sólo podría peinarse si fuera un toroide, no es cierto?

    Corrígeme si me equivoco.

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  8. ¿Los pelos no salen perpendiculares a la piel? ¿Porqué se les toma como vectores tangentes?

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  9. Yo no tengo ni un pelo que me nazca tangente a la piel, tampoco son totalmente perpendiculares( digamos que nacen oblicuos). Yo no entiendo mucho de genética, pero a mi me da que el tema de los remolinos en el pelo tiene que ver con el desarrollo del cuero cabelludo durante la formación del feto, si esa información viene en el genoma o no, no lo se, pero de lo que si estoy seguro es de que los remolinos existen desde mucho antes que ese teorema… Por tanto para mí el teorema es una “pseudo-analogía” que bien se podría haber enunciado inspirado en una cabeza pero que para nada explica el por qué del fenomeno.
    Un saludito gente!!

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  10. Un toroide sí, pero es que un toroide no es homeomorfo a una esfera ^^

    Por otra parte (y corregidme si me equivoco) el teorema de la bola peluda no es aplicable a una cabeza con pelo, puesto que hay una superficie distinta de 0 que no está cubierta con pelo en la cabeza. Por tanto los polos (puntos con tangente nula) bien podrían ser las orejas.

    Ergo Víctor puede tener el pelo perfecto 😀

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  11. Me parece una falacia brutal.

    Si te peinas todos los pelos hacia atrás, no hay ningún cero, otro asunto es que en la zona del remolino los pelos crecen con diferentes angulos y direcciones, pero no tiene nada que ver con el teorema que dices. Si tuvieramos pelo también por los laterales (orejas) sí que podría concederte la validez del teorema. De hecho el ejemplo de la esfera terrestre y los vientos lo ilustra mucho mejor.

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  12. pero vamos a ver por favor!!! ya lo dijo einstein en su día: “las proposiciones matemáticas, cuando son ciertas, no describen a la realidad, y cuando sí describen a la realidad entonces no son ciertas.” En ningún momento del post se sugiere que el por qué de los remolinos sea el teorema de la bola peluda! el ejemplo simplemente sirve como “ilustración” de lo que dice el teorema de forma intuitiva…
    abstraer, siempre abstraer…

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  13. No olvidar que el viento puede ir hacia arriba y hacia abajo también. La atmósfera tiene grosor, así que el teorema sólo se aplica a la proyección del viento sobre la esfera terrestre, no al viento real.

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  14. Si los pelos son todos tangentes, y dado que no nos importa su módulo, entonces la función es {S}^2 -> {R}^1 porque no necesitamos más que una dimensión para describir la dirección del vector, contenido en el plano tangente, ¿no?

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  15. Gonzalo, no necesariamente. El término matemático para una superficie que tenga esta propiedad es paralelizable los toros son efectivamente paralelizables, pero no son los únicos ejemplos. El más sencillo es el plano, donde puedes tomar un campo de vectores constante no nulo. Este campo se levanta inmediatamente (usando la proyección estereografica) a una esfera salvo un punto. En general, cualquier abierto de la esfera que no sea la propia esfera es paralelizable.

    Cerdo Justiciero, el módulo sí que importa, o más concretamente es importante saber si es 0 o no. Para el vector 0 no tienes una dirección bien definida.

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  16. Yo creo que la aplicación más interesante del teorema es que demuestra que la forma de los reactores de fusión no puede ser esférica.

    De hecho es la razón por la cual se construyen toroidales.

    Quien sabe… quizá algún día el teorema sea parte fundamental de la energía del futuro.

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  17. y yo me pregunto: y si el punto donde WPo=0, se coloca FUERA de la region donde hay pelo?? porque lo que es el pelo, no ocupa TODA la esfera, luego si situamos ese punto, fuera de donde hay pelo, problema resuelto.
    si alguien tiene una respuesta a mi planteamiento, se lo agradeceria, tengo curiosidad.

    PD: y si se pone gomina?? pero mucha, digo. A mi me funcionaba.

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  18. Leí el post hace un par de dias, y la verdad le he estado dando vueltas porque hay algo que no me cuadra: la aplicacion de un espacio W : \mathbb{S}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3 tendrá no un punto fijo sino dos, es equivalente al campo magnetico de la tierra. Esto en la cabeza humana corresponde con el propio remolino y la cara desprovista de pelo, de hecho otra solución es peinarse hacia atrás en cuyo caso los puntos fijos son las orejas. Sí, hay infinitas soluciones, pero simplemente es precisar que el mínimo de puntos fijos no es uno sino dos. Razonaminetos en contra por favor iluminenme

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  19. niky45 tiene razón, cuando tu te peinas como no peinas toda la cabeza puedes peinarte todos los pelos hacia adelante, por ejemplo, tus 2 puntos donde el campo se hace 0 estarían en las orejas, suponiendo que se peina con todos los pelos paralelos y asunto resuelto tiene un peinado perfecto en un solo sentido

    Saludos

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  20. El otro día estaba hablando con amigos míos, precisamente, de este teorema. Y todos, que no eran matemáticos, hacían las mismas preguntas que he leído en el post…

    Estoy de acuerdo con que el tema del remolino es introductorio, para nada es un modelo aplicable del teorema…

    Y con respecto a las aplicaciones al viento en la Tierra, recuerdo que este año en Topología hemos visto otro resultado que mostraba que en la Tierra existen dos puntos ANTIPODALES a la misma temperatura… curioso cuanto menos!

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  21. En particular, me parece interesante lo que han comentado Gonzalo y Vengoroso sobre qué superficies se pueden peinar. Al respecto quería comentar que el concepto de variedad paralelizable es más restrictivo que la condición de existencia de campos de vectores tangentes. Por ejemplo, la existencia de campos de vectores tangentes en una esfera de dimensión n se da en cualquier dimensión impar, mientras que la condición de ser esfera paralelizable solo se verifica en los casos n=1,3,7.

    El hecho de que cualquier toro sea paralelizable, y por tanto se pueda “peinar”, es consecuencia de que es un producto de esferas de dimensión 1. Por otro lado, es muy curioso lo que comenta Sive sobre la aplicación (auténtica) de este hecho a la fusión nuclear.

    En relación a lo que comenta Radekic, comentar que se puede tirar un poco más de la manta, y decir, como consecuencia del Teorema de Borsuk-Ulam, que existen puntos antipodales con la misma presión y temperatura (si f:\; \textbb{S}^2\to \mathbb{R}^2 es continua, entonces existe x tal que f(x)=f(-x)).

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  22. Justo, a eso me refería, el teorema de Borsuk-Ulam… si me llega a pillar ahora mi profesor… qué memoria!

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  23. M, cierto, me refería sólo a superficies y no a variedades de dimensión arbitraria. En superficies razonables (por ejemplo, siempre que admitan una estructura compleja) ser paralelizable es equivalente a admitir un campo de vectores no nulo (basta “rotar” ese campo 90º para obtener otro campo no nulo que forma una base junto con el primero).

    Respecto a las esferas, las de dimensión 1, 3 y 7 son justamente las que admiten una estructura de grupo (los subgrupos multiplicativos de unidades de los complejos, cuaterniones y octoniones precisamente) que es lo que permite “trasladar” la base del espacio tangente en un punto a cualquier otro punto. Pero aquí nos metemos ya en teoría de grupos de Lie 😉

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  24. Hay una demostración sencilla de este hecho en el magnífico libro “Aventuras matemáticas” de Miguel de Guzmán, en el capítulo 8 (A vueltas con las flechas). No sé si es lo rigurosa que este espacio requiere pero por lo menos se entiende muy bien. Por si acaso interesa ahí queda la información.

    Saludos.

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  25. “Dani | 6 de Junio de 2009 | 22:15

    sencillamente lamentable.”

    ¿Alguna razón, o simplemente eres un troll?
    Me parece que la discusión anterior era perfectamente legítima.

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  26. “Dos horas buceando entre mis apuntes de la carrera”

    Disculpa, cuando dices de la carrera, ¿te refieres al postgrado?

    Esto se da en la carrera? por lo menos en Colombia, que yo sepa, solo se da topología general, se da algebraica como electiva en algunas universidades y algo de geometria diferencial (sin usar topología creo)

    En qué curso de carrera diste eso?

    Saludos

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  27. javier, no, no, en la carrera, nada de posgrado. Cuando yo estudiaba (hace unos 15 años) esto se daba en 3º de Licenciatura en Matemáticas. Y si no me equivoco sigue siendo así en los nuevos planes de estudio de, al menos, algunas universidades españolas.

    En mi plan de estudios había topología general y topología algebraica repartidas en 3 asignaturas, y una asignatura de geometría diferencial.

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  28. Ah, gracias por la informanción

    Por acá creo que eso no se da, en fin…

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