El teorema de la curva de Jordan

Motivación: pregunta

Comenzamos este artículo con una pregunta:

¿Dónde está el punto A, en el interior o en el exterior de la curva?

¿Punto interior o exterior?

Posiblemente no os sea demasiado difícil acertar con un simple vistazo al dibujo. Pero imaginad ahora que la curva cubre la extensión de un campo de fútbol. ¿Sería la cosa tan sencilla? Creo que no. Entonces:

¿Qué procedimiento general utilizarías para determinar la situación del punto?

Seguro que muchos ya sabéis la respuesta. Para quien no la sepa responderemos a lo largo de este texto.

Notas históricas

El teorema de la curva de Jordan fue enunciado por Camille Jordan, matemático frances, a finales del siglo XIX en una serie de libros denomiada Cours d’Analyse. El mismo Jordan publicó en dicha serie una demostración del resultado que más tarde resultó ser incorrecta. La primera demostración correcta del resultado apareció en 1905 y se debe a Oswald Veblen.

Más adelante Brouwer propuso una generalización n-dimensional que fue probada por Alexander en 1992 y que se conoce en la actualidad como teorema de separación de Jordan-Brouwer.

Definiciones previas

Curva en \mathbb{R}^2: Una curva (diferenciable) en \mathbb{R}^2 es una aplicación \alpha : \left[ a,b \right ] \rightarrow \mathbb{R}^2 de clase C^{\infty} (es decir, sus dos componentes son infinitas veces derivables) tal que a cada t\in \left [ a,b \right ] le asigna el valor \alpha (t) \in \mathbb{R}^2. Vamos, lo que entendemos intuitivamente como curva (como curiosidad para los no iniciados, una recta es una curva, es decir, cumple esta definición de curva).

Curva cerrada: Una curva diferenciable en \mathbb{R}^2 es cerrada si \alpha (a)=\alpha (b), es decir, si el origen y el extremo de la curva coinciden.

Curva simple: Una curva diferenciable en \mathbb{R}^2 es simple si no tiene autointersecciones, esto es, si no se corta a si misma.

Curva de Jordan: Una curva diferenciable en \mathbb{R}^2 es una curva de Jordan si puede deformarse (sin romperse) hasta convertirla en una circunferencia (es decir, si es cerrada y simple). Por ejemplo ésta:

Curva de Jordan

Una última definición:

Corte transversal: Se dice que una recta corta transversalmente a una curva en un punto cuando la recta no es tangente a la curva en dicho punto de corte.

El teorema de la curva de Jordan

El teorema de la curva de Jordan es un resultado la mar de curioso, ya que aúna sencillez en su enunciado y complicada demostración contando además con una enorme aceptación mediante intuición por parte de cualquiera que lo lea. Hay resultado con un enunciado simple pero con complicada demostración (posiblemente el último teorema de Fermat sea el más claro ejemplo visto en Gaussianos), pero generalmente ello no va acompañado del último punto, es decir, generalmente no somos capaces de visualizar tan bien el resultado por muy sencilla que sea su formulación.

Para aclarar todo esto vamos a presentar el enunciado del problema, ya que ya estamos preparados para ello:

Teorema: (de la curva de Jordan)

Toda curva cerrada y simple C de \mathbb{R}^2 divide al propio \mathbb{R}^2 en dos conjuntos disjuntos \Omega y \Omega ^\prime cuya frontera común es la curva C. Además \Omega es acotada (se denomina interior de C) y \Omega ^\prime es no acotada (se llama exterior de C).

Demostración:

Sobre la prueba de este resultado sólo voy a comentar el desarrollo de la demostración que me hicieron a mí en clase, ya que es demasiado compleja para incluirla aquí.

Se definen los dos conjuntos \Omega y \Omega ^\prime de la siguiente forma:

\Omega={puntos del plano que cumplen que toda semirrecta trazada desde él corta transversalmente a la curva en un número impar de puntos}

\Omega ^\prime={puntos del plano que cumplen que toda semirrecta trazada desde él corta transversalmente a la curva en un número par de puntos}

Después se demuestra que no tienen puntos comunes (es decir, que son disjuntos), que existen puntos de los dos tipos, que son abiertos de \mathbb{R}^2 y que su unión es \mathbb{R}^2-C. Con ello concluye la demostración.

Al final del artículo os dejo también un artículo en el que se incluye una demostración reciente más sencilla que la comentada anteriormente.

Motivación: respuesta

Vamos a responder a las preguntas iniciales. Evidentemente, el punto A está fuera de la curva, en el exterior de la misma. Lo vemos fácilmente coloreando el interior de la curva:

Curva con interior coloreado

Pero además de esto pedíamos un procedimiento para determinar si el punto está dentro o fuera de la curva para cualquier curva. El procedimiento lo da la propia demostración:

Trazamos una semirrecta desde nuestro punto hasta que estemos seguros de que ya estamos en el exterior de la curva. Esta semirrecta cortará a la curva en varios puntos. Contamos el número de puntos donde la semirrecta corta transversalmente a la curta (los puntos de corte donde la semirrecta sea tangente a la curva no se cuenta). Entonces:

  • Si ese número de puntos de corte es par, el punto está en el exterior de la curva.
  • Si ese número de puntos de corte es impar; el punto está en el interior de la curva.

Da igual qué semirrecta dibujemos. Lo vemos con la imagen del comienzo del artículo:

Curva con semirrectas con número par de puntos de corte

Como se puede ver no importa la semirrecta, siempre hay un número par de puntos de corte transversales (los marcados con cuadros negros son los cortes tangentes, los que hemos dicho que no se cuentan).

Para finalizar os dejo este vídeo sobre el tema:

Fuentes:

  • Libro Curvas y Superficies, de Sebastián Montiel (profesor mío durante la carrera) y Antonio Ros.
  • Mis propios apuntes de la carrera.
  • El teorema de la curva de Jordan: Artículo de Francisco García Arenas y María Luz Puertas, de la Universidad de Almería, sobre el teorema de la curva de Jordan donde nos muestran una reciente demostración en la que sólo se utilizan los conocimientos de un primer curso de Topología.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

21 Comentarios

  1. Primero define “interior de la curva” y “exterior de la curva”

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  2. Jones, Francisco, están definidos más adelante (\Omega y \Omega ^\prime). No veo necesario definirlos al principio ya que coinciden con la idea intuitiva que todo el mundo tiene de interior y exterior de una curva.

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  3. A mi me lo demostraron por homologia.

    Pero lo que iba a proponer era otro metodo de ver en que lado se encuentra: tener la imagen en algun programa de tratado de imagen (por cutre que sea) y usar la herramienta rellenar.

    Lo digo medio en broma, pero creo que aunque no un metodo eficiente de comprobarlo, si que seria una buena (y original) manera de explicarlo a alumnos o asi…

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  4. La verdad es que es un artículo muy interesante e intuitivo. Curioso y sencillo también.
    Me ha gustado, sinceramente.
    ¡Saludos!

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  5. Enhorabuena ^DiAmOnD^, el mejor artículo de las últimas semanas.

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  6. Yo creo que el hecho de que la recta sea tangente o no en algún punto, es irrelevante a la hora de contar.

    Lo importante es si la recta “corta” a la curva o no. Puede ser tangente y no “cortar” a la curva (en este caso no se debe contar el punto), pero también la recta puede ser tangente y a la vez cortar a la curva en un mismo punto, y en este caso sí se debe contar.

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  7. El teorema de la curva de Jordan es un resultado bastante curioso que se puede extender de muchas formas.

    Una de tales extensiones indica que para toda curva cerrada y simple \mathbf{C} de \mathbb{R}^{2} se puede encontrar un homeomorfismo de \mathbb{R}^{2} en \mathbb{R}^{2} que transforme a \mathbf{C} en \mathbb{S}^{1}. Esto indica a su vez que las curvas cerradas y simples del plano no separan a éste en cualesquiera dos componentes disjuntas. De hecho, se esta asegurando que la componente no acotada que resulte de la separación debe ser homeomorfa al complemento en \mathbb{R}^{2} del círculo unitario y algo análogo ocurre con la otra componente.

    La anotación previa origina a su vez toda una míriada de nuevas interrogantes. Una de mis favoritas es:

    ¿Es el exterior de toda superficie homeomorfa a \mathbb{S}^{2} homeomorfo al exterior de la cerradura de \mathrm{D}^{3}?

    ¿Conoce usted la respuesta a dicha cuestión? En caso afirmativo, no se apresure a revelarla. De otro modo considere las siguientes sugerencias antes de presentar su respuesta:

    – El teorema de separación de Jordan es válido en dimensión 3 y de hecho es válido en todas las dimensiones mayores.

    – No base su respuesta en la información presente en el párrafo 2 de esta entrada.

    Saludos a todos.

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  8. HOLA,

    La verdad es que intuitivamente lo lógico es trazar una semirecta desde el exterior hasta el punto para contar las veces que se entra y se sale.

    Ahora bien, intuitivamente pienso que debe valer cualquier camino desde el exterior hasta el punto aunque no sea en línea recta y pueda ser cualquier tipo de curva.

    ¿Esto se puede demostrar?

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  9. Sólo un par de anotaciones.

    1. La demostración del libro de Montiel-Ros sólo es válida para el caso de curvas diferenciables, para el caso general es necesario usar homología (como sugiere Yrekthelas) o bien demostrar que para cualquier curva continua existe una sucesión de curvas diferenciables que converja uniformemente a ella.

    2. No es cierto que dé igual la semirrecta que se tome. Podemos tener una curva y una semirrecta para la que hay infinitos puntos de corte; por ejemplo, tomamos el gráfico de la función f(x) = \sin(x)/x reescalado al intervalo [-1,1] (podemos hacer esto aplicando la transformación x\mapsto \frac{x}{1+|x|}) y unimos los extremos mediante los segmentos (-1,0)-(-1,2), (-1,2)-(1,2) y (1,2)-(1,0) Si tomamos un punto en el eje x y una semirrecta horizontal, tenemos infinitos puntos de corte. Un dibujo sería apropiado, pero ahora mismo no tengo medios para hacerlo 😉

    Sé que suena muy rebuscado, pero son precisamente este tipo de ejemplos los que hacen el teorema tan difícil de demostrar. En el caso diferenciable, la solución pasa por usar el teorema de Sard para demostrar que el conjunto de “semirrectas malas” tiene medida cero.

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  10. vengoroso dijo: … que el conjunto de “semirrectas malas” tiene medida cero.

    Lo que es equivalente a decir que los únicos cortes que vas a hacer en la vida real son precisamente los transversales. Nada de tangencias ni demás patologías.

    🙂

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  11. De hecho la demostración del libro de Montiel-Ros utiliza el teorema de Sard como resultado intermedio.

    En una de las asignaturas de Topología que cursé en la carrera también me dieron una demostración de este teorema usando homología, pero ahora mismo no recuerdo demasiado bien los detalles. A ver si la busco.

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  12. En informática se usa este teorema con ‘curvas’ cerradas definidas por segmentos, es decir, con polígonos irregulares. Además, la semirrecta elegida es siempre vertical u horizontal, por sencillez, que también son las orientaciones más probables para los lados de los polígonos, en muchas aplicaciones reales.

    En resumen, en la práctica, al menos en informática, las curvas no son diferenciables, y es frecuente que la recta toque ‘tangencialmente’ (bueno, ustedes me entienden) al polígono en un vértice sin cortarlo, o que ‘corte’ a una recta en infinitos puntos, cuando la semirrecta coincide con un lado.

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  13. He hecho un gráfico con una variante de la curva que mencionaba en mi anterior comentario (cambiando los segmentos rectos por una semicircunferencia):

    http://img25.imageshack.us/img25/3692/curve.png

    Este es un ejemplo de una curva diferenciable (salvo en dos puntos, aunque se podría regularizar) para la que en una dirección determinada hay infinitos cortes transversales.

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  14. Lo jodido sería hacer una recta y cortar tangentemente una de las curvas.,

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  15. No conocía nada de la historia ni del teorema, pero al ver la pregunta supe la respuesta porque la gráfica era sencilla, pero cuando se preguntó que pasaría si fuera del tamaño de un campo de fútbol se me ocurrió decir que lo mas fácil seria trazar una recta del punto hacia fuera y luego ver si las intersecciones eran pares o impares, si eran pares el punto estaba fuera de la región.

    Luego al seguir leyendo me decepcione una vez más al ver que una bonita idea llegó a hacer famoso a otro hace muchos años 🙁

    Creo que todos hemos pasado por eso, no?

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  16. muy interesante este teorema gracias a la explicación estoy un más claro en lo voy hacer en la expocisió……….

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  17. no pasaría nada si la recta que trazas es tangente a la curva en algún punto. Al no haber “entrado” o “cortado” la curva no se cuenta como un punto de corte. Si se prefiere es solución doble por lo que se cuenta como que se entra y se sale (añades dos cortes que es irrelevante por que queremos encontrar el número de cortes módulo 2). Muy bueno el post, por cierto.

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  18. Tengo una duda porque no me queda clara la definicion de corte transversal. Consideremos la función f (x) = sen( x), y ahora la recta f (x) = x. Estas dos funciones se cortan en el punto (0,0) pero al mismo tiempo son tanjentes en ese punto, no? Se consideraría eso un corte transversal? Desde luego es un corte que debemos contar ya que atraviesas la curva pero según la definicion de corte transversal no se contaría.

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