El teorema de tamreF

Hace unos días escribí un post sobre el último teorema de Fermat. En él os contaba, entre otras cosas, que el teorema estuvo sin demostración durante más de 300 años y que ésta es muy complicada y utiliza herramientas matemáticas avanzadísimas.

Pues hoy os traigo un teorema parecido: el teorema de tamreF. Y su nombre está perfectamente elegido porque su formulación es la siguiente:

La ecuación

Nx + Ny = Nz

no tiene soluciones para enteros positivos x, y y z y N > 2

Es decir, más o menos nos plantea el problema contrario al que nos planteó Fermat.

La gran diferencia que existe entre este resultado y el de Fermat es que éste es muchísimo más sencillo de probar. En dos o tres líneas podemos demostrar que no puede existir tal solución. A ver si entre todos conseguimos encontrarlas. Yo os echaré una mano.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

5 Comentarios

  1. Vamos a ver si se me entiende:

    n^x + n^y = n^z

    Sin pérdida de la generalidad suponemos que y>x

    Podemos expresar la ecuación así:

    n^x + n^x*n^(y-x) = n^z

    Es decir:

    n^x * (n^(y-x) + 1) = n^z

    Con lo que la única solución que deja la parte derecha con factores únicamente de n es x = y, con lo que quedaría:

    2(n^x)= n^z

    Que solo tiene solución sí n=2, con z=x+1

    ¿La damos por buena?

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  2. Perdón, recitifico:

    n^x * (n^(y-x) + 1) = n^z

    Solo tiene solución si x=y o si n=1

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  3. No es exactamente la demostración en la que había pensado yo pero sigue más o menos la misma idea. Muy bien deibyz.

    Por cierto, si n = 1 queda:

    1*(1 + 1) = 1

    y por tanto no valdría. De todas formas una de las condiciones era n > 2.

    Muy bien sí señor.

    Por cierto, habéis dejado algo de lado el problema de los cuatro cuatros. A ver si os seguís animando como hace unos días y lo acabamos :) .

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  4. pues a mi se me ha ocurrido también la demostración que ha propuesto deibyz… sólo que también “descomponiendo” la parte derecha de la igualdad:

    n^x (1 + n^(y-x)) = n^x (n^(z-x))

    1 + n^(y-x) = n^(z-x)

    ahora tomando r = y-x , s = z-x queda:

    1 + n^r = n^s

    Donde se ve más claramente que la parte izquierda de la igualdad no puede descomponerse únicamente como potencias de n.

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  5. Esa es la demostración que se me había ocurrido a mí. Suponiendo que x es más pequeño que y y que z y dividiendo por n^x.

    Muy bien chicos, buen trabajo :).

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