El teorema del sandwich de jamón

Hace un tiempo me encontré con este teorema que me gustó por la forma de enunciarlo que tiene. Ahí va:

Supongamos que tenemos una loncha de jamón york, una loncha de queso y dos rebanadas de pan de molde. Entonces existe una manera de dividir todos los ingredientes en dos partes exactamente iguales con sólo un corte de cuchillo, independientemente de dónde coloquemos cada uno de ellos (las rebanadas de pan de molde van juntas).

Matemáticamente esto dice que si tenemos 3 cuerpos con volumen positivo existe un plano que los divide en dos partes exactamente iguales.

Hasta hay generalización a dimensión N: si tenemos N cuerpos con volumen positivo en un espacio N-dimensional existe un hiperplano1 que los divide a todos en dos partes exactamente iguales.

Hay demostraciones de este hecho, pero por desgracia no parece que haya ninguna constructiva, es decir, ninguna nos da la manera de calcular cuál es ese hiperplano. Una pena la verdad.

Fuentes:

1: Un hiperplano de un espacio de dimensión N es un subespacio suyo de dimensión N – 1

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

13 Comentarios

  1. Lástima, ya estaba yo pensando en mis hiperbocadillos perfectamente cortados por la mitad… :(

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  2. ¿Ehhhh? Una pregunta, ¿los cuerpos deben estar tocandose?

    Es decir, el sandwich debería estar bien formado, con sus lonchas de queso y jamón “dentro” de las rebanadas de pan.

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  3. Yo conocía como teorema del sandwich a el que dice que si una función esta acotada superiormente por una función, e inferiormente por otra, y que ambas funciones-cota poseen el mismo límite, entonces la función acotada también tiene ese límite…

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  4. Mmm, ahora mismo se me ocurre que, si las lonchas de jamón y queso y las rebanadas de pan son perfectamente simétricas (es decir, que son cuadrados o rectángulos, en 3D serían cubos o “cajas planas”), todos los planos que cortan a cada cuerpo en 2 partes iguales pasan por centro exacto del cuerpo.

    Así, para saber el plano que corta a los tres, simplemente debemos calcular el plano que pasa por los tres puntos. Como sabéis, en función de la distribución de los puntos podemos tener una solución (los 3 vectores que los definen son linealmente independientes) o infitas (son linealmente dependientes).

    Así que, para el caso concreto de los sandwiches “perfectos”, se puede encontrar una solución fácil y rápida :D

    PD: Me cago en el Anti-Spam

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  5. neok: Como se lee en mi anterior comentario, no hace falta. Aunque al leerlo me he quedado pensando en que no son 3 cuerpos, sino 4, ya que las rebanadas son dobles… De cualquier forma, asumo que son 3 :D

    PD: ¿No existe una opción de quitar el antispam para los que ya hayan comentado?

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  6. No sé, o no lo entiendo bien o sigo pensando que los cuerpos deben estar en unas posiciones específicas, ya que si uno está en (x,y,z), otro en (x,y,z+2) y el tercero en (x+2,y,z+1), es decir uno está más alto que los otros y otro está más hacia el “fondo” y un poco más arriba que el primero, entonces ¿qué plano corta a dichos cuerpos?

    cumic lo del antispam es una mierda en blogsome, y sale cuando le apetece, creo que cuando llevas unos cuantos comentarios desde un ordenador ya no te sale en dicho ordenador, y tambien creo que desde IPs de redes como la de la universidad siempre sale.

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  7. A ver, contesto las dudas:

    neok: Los cuerpos no tienen por qué estar tocándose, pueden estar totalmente separados.

    homero: El teorema que comentas efectivamente es el teorema del sandwich. Este que yo comento en el post es otro teorema, no tienen nada que ver

    cumic: Interesante razonamiento el de los ingredientes simétricos, pero no creo que sirva para el caso general, ya que aunque en teoría los ingredientes deben ser perfectamente simétricos como tú comentas no tienen por qué estar colocados de manera simétrica. Es decir, la loncha de jamón tiene la forma perfectamente simétrica pero puede estar doblada de una cierta forma. Por cierto, son 3 cuerpos, si te fijas en el post he puesto que las dos rebanadas de pan deben ir juntas, por tanto forman un sólo cuerpo.

    neok: Lo hay, te lo aseguro. Piensa que podemos cortar los cuerpos perpendicularmente a ellos, en paralelo y en diagonal.

    Para todo el mundo: Sentimos mucho el tema del antispam, pero es que en blogsome es bastante penoso. Generalmente va bien pero a veces se le va la olla y hace cosas raras. Sólo os podemos pedir paciencia, buscaremos alguna solución.

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  8. Joer, me acabo de dar cuenta de que soy idiota, ya he comprendido el teorema, mi fallo radicaba en que pensaba en un plano como si fuera otro cuerpo finito y no en algo que se alarga hasta el infinito. :S

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  9. A ver si lo he pillado: la versión simple del teorema este, es cuando me hago un sandwich (cuerpos apilados uno encima de otro), y lo corto en diagonal. Cada ingrediente se divide en dos triangulitos iguales.

    Si en cambio, pues cojo uno, lo pongo en el plano XY , otro en el YZ, otro en el XZ, y el cuarto inclinado entre estos tres planos, formando un tetraedro…umm…ese plano que los corta tiene mucha tela; y no digamos los cachos que se deben obtener.

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  10. Lo vuelvo a decir: no son 4 cuerpos los que coloco, las dos rebanadas de pan van juntas, es decir, forman un cuerpo entre las dos. Es decir, tengo tres cuerpos: el jamón, el queso y el pan.

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  11. Sí, tienes razón, me salté a la torera la definción. Pues me imagino el tetraedro alimenticio, pero sin una de sus caras….ummm….aún tiene miga la cosa.

    Con esta movida, fijo que pillo a la noche xD

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  12. Pues la verdad es que sería una forma original de comenzar una conversación con una chica :P .

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  13. Acabo de tropezar con este blog (felicidades) y estoy repasando ávidamente los posts antiguos. Creo que he dado con una forma fácil (¿?) de demostrar esto del sandwich a partir de la palabreja “centro de gravedad” que aparece en wikipedia. Es más fácil verlo primero en 2D: serían dos polígonos cortados por una línea que los dividiría en dos mitades
    ¿es posible? Un polígono (cóncavo, convexo o inconexo, da igual, pero es más fácil si lo pensamos con círculos por ejemplo) tiene un centro de gravedad que precisamente lo es porque cualquier línea recta que pasa por él lo divide en dos áreas iguales. Una recta que pase por ambos centros y ¡voila! divide a ambos en dos mitades iguales.
    Ahora viene el 3D: 3 objetos que también tienen centro de gravedad cada uno. Siempre hay un plano que pase por los tres puntos (o más de uno, da igual) y ese plano (o planos) los cortará en dos mitades iguales a cada uno.
    Es más fácil pensando primero en 2 objetos: los unimos con una línea y elegimos cualquier plano: los cortará en dos mitades. Luego rotamos el plano hasta cortar el tercer objeto y en algún momento (cuando pase por el centro de gravedad) lo cortará en dos mitades iguales.

    Lo que no entiendo es la nota que aparece en wikipedia:
    “Byrnes, Cairns y Jessup (2001) han demostrado que no siempre es posible posicionar el hiperplano correctamente tan solo cortando a través del centro de gravedad.”
    Seguramente se tratará de alguna complicación al generalizar a N, pero lo que recuerdo de memoria de primero de físicas es que el cálculo del centro de gravedad de cualquier cuerpo (físico) tenía esas propiedades. Al menos en 3D, claro.

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