El triángulo de Pascal y la sucesión de Fibonacci

El Triángulo de Pascal (también conocido como triángulo de Tartaglia) es un triángulo formado por números enteros que es bien conocido por gran cantidad de gente al aparecer en los libros de texto desde secundaria en adelante. De todas formas vamos a ver cómo se construye:

Construcción del Triángulo de Pascal

Colocamos un 1 en el vértice superior del triángulo. Despues, en la fila inferior, colocamos un 1 a la derecha y un 1 a la izquierda del 1 de arriba. En la inferior colocamos un 1 a cada extremo y entre los dos unos colocamos un 2 (1 + 1). En la inferior un 1 en cada extremo y en medio un 3 entre el 1 y el 2 (1 + 2) y otro 3 entre el 2 y el 1 (2 + 1). Y así sucesivamente: en los extremos un 1 a cada lado y en las posiciones intermedias colocamos la suma de los números de arriba. Queda una cosa así:

Su aplicación más importante es la siguiente: cada fila del triángulo representa los coeficientes de los monomios que aparecen en el desarrollo del binomio (a + b)n (tomando el 1 de arriba como la potencia n = 0), o lo que es lo mismo, los coeficientes que aparecen en el binomio de Newton coinciden con los elementos que aparecen en cada fila del triángulo de Pascal. Una propiedad realmente interesante. En la Wikipedia podéis ver más información.

Pero en el título del post aparece también la sucesión de Fibonacci, que ya se nombró en este post sobre el número de Oro. Este número y la sucesión de Fibonacci están íntimamente relacionados, ya que es el límite de la sucesión formada por los cocientes de cada elemento de la sucesión y el inmediatamente anterior.

Construcción de la sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci se construye de la siguiente forma:

Es decir, su primer elemento es el 0, el siguiente el 1, y de ahí en adelante cada elemento es la suma de los dos anteriores. Por tanto los primeros elementos son:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…

También en la Wikipedia podéis ampliar información sobre esta sucesión: propiedades de ella misma y del número de Oro, situaciones del arte y la naturaleza donde aparece…

Relación entre ellos

Y bueno, en principio estos dos objetos matemáticos no tienen demasiada relación. Pero en realidad sí la tienen. Tanto la sucesión de Fibonacci como el número de Oro aparecen en multitud de lugares, tanto matemáticos como reales. Y el triángulo de Pascal no iba a ser una excepción. ¿Cómo encontrar los elementos de la sucesión de Fibonacci en el triángulo de Pascal?. Pues de esta forma:

Realmente sorprendente cómo dos cosas que en principio no tienen mucha relación pueden converger de esta manera.

Y para terminar os dejo algunas de las propiedades que tiene el triángulo de Pascal:

  • Si sumamos los elementos de cada fila obtenemos las potencias de 2: 1, 2, 4, 8, 16,…
  • Si tomamos cada fila como un número obtenemos los múltiplos de 11: 1, 11, 121, 1331, 14641,…
  • Si sumamos dos elementos consecutivos de la diagonal 1-3-6-10-15-… obtenemos un cuadrado perfecto: 1, 4, 9, 16, 25,…
  • Si en una fila el primer número después del 1 es un número primo se cumple que todos los demás números son divisibles por ese número primo (excluyendo los 1 claro está). Por ejemplo, en la fila 1-7-21-35-35-21-7-1 el primer número después del 1 es el 7, que es primo. Si nos fijamos en el resto de número, 35, 21 y 7, todos son divisibles por 7.

(La imagen anterior y esta información ha sido sacada de aquí)

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27 comentarios

  1. Ellohir | 18 de octubre de 2006 | 13:45

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    Conocía tanto el triángulo de Tartaglia (para la expansión (correcta xD) del binomio) como la sucesión de Fibonacci (”Tenemos una pareja de conejos…”), pero la relación me ha impresionado… ¡Dos cosas que parecen tan independientes están relacionadas! La matemática nunca dejará de sorprenderme…

  2. Pulpux | 18 de octubre de 2006 | 16:17

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    Muy buenas relaciones… las tendré en cuenta, para algo me servirán!!!, Gracias!

  3. Synbios | 18 de octubre de 2006 | 18:27

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    q fueeerte XD. Me encanta ^_^

  4. discipulodegauss | 18 de octubre de 2006 | 20:14

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    lo finito es poco o nada frente al infinito.
    please alguien sabe donde hallo la demostracion de que esto se cumple siempre,y si es asi pues sorprendente y que cosas mas estaran ocultas tanto en el triangulo de pascasl como en la sucesion de fibonacci, yo apuesto que a infinitas relaciones asi que no os colmeis.

  5. Paco | 18 de octubre de 2006 | 20:19

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    Me suena que me conmentaron otra cosa curiosa del triangulo de Pascal, si no me equivoco todos los numeros de el subtriangulo que tiene como pico el 6 de la cuarta fila, no son primos

  6. tantzor | 18 de octubre de 2006 | 20:55

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    La 2ª diagonal es la sucesión de los números naturales.
    La 3ª diagonal es la sucesión de las sumas de los números naturales.
    La 4ª diagonal es la sucesión de las sumas de las sumas de los números naturales.

    etc.

    Aprovechando que el triángulo se puede transformar en números combinatorios y que m sobre n es m!/n!(n-m)!=m(m-1)…(m-n+1)/n! llegamos a:

    la equivalencia para la sucesión de la 2ª diagonal es x sobre 1 = x/1!

    la equivalencia para la sucesión de la 3ª diagonal es x sobre 2 = x(x-1)/2!

    la equivalencia para la sucesión de la 4ª diagonal es x sobre 3 = x(x-1)(x-2)/3!

    etc.

  7. Fidel | 19 de octubre de 2006 | 01:02

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    Increíble, conocía cada cosa por separado pero jamás había oído hablar de su relación. Asombroso.

    Y ya de paso hay una errata en el texto: Si tomamos cada fila como un número obtenemos los múltiplos de 1

  8. ^DiAmOnD^ | 19 de octubre de 2006 | 01:08

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    Ya está corregido. Gracias Fidel :)

  9. kaizen | 19 de octubre de 2006 | 09:40

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    Esta época de las matemáticas, ya ha pasado, y es una pena. Una construcción sencilla, y multitud de consecuencias “imprevisibles”. Ahora es cálculo numérico puro y duro (ojo!, que no estoy en contra); o desarrollos tan complejos que son imposibles de seguir (p.e. los cientos de hojas del Último Teorema de Fermat).

    Tal vez nos sobren conocimientos y recursos. O nos falte un pelín más de ingenio ;-)

  10. ^DiAmOnD^ | 19 de octubre de 2006 | 20:16

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    kaizen probablemente tener tantas herramientas potentes para afrontar cualquier problema puede hacernos perder algo de ingenio. Imagínate a los antiguos griegos, sin muchísimos de los conocimientos matemáticos que tenemos ahora, y mira hasta dónde llegaron.

  11. discipulodegauss | 21 de octubre de 2006 | 15:59

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    quien tenga mas herramientas , mas conocimientos y abarque todo lo que pueda y mas, estara mejor preparado y no se debe subestimar nada en matematicas asi que crecer en todas las direcciones es mi estilo simple y complejo de la mano juntos.

  12. Ernesto | 22 de octubre de 2006 | 16:34

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    realmente, este triángulo es de esa época o es más antíguo, tengo entendido que dicho triángulo remonta de la época de la antigua China.

  13. Ernesto | 22 de octubre de 2006 | 16:38

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    hay otras propiedades que posee el triángulo como por ejemplo las suceciones de números naturales, números triangulares, numeros tetraédricos, numeros hipertetraédricos…….

    Además, con la ayuda de dicho triángulo se pueden llegar a obtener números perfectos.

  14. ^DiAmOnD^ | 22 de octubre de 2006 | 16:52

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    Cierto, se tienen referencias de este triángulo en China en el siglo XII.

    Respecto a los números poligonales echad un ojo a este enlace, donde además podréis ver más propiedades de este sorprendente triángulo.

  15. Emanuel | 14 de noviembre de 2006 | 04:09

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    Hola. mi nombre es Emanuel y tngo 16 años y estudio en una escuela Industrial en Argentina, me interesa mucho la idea del “TRIANGULO DE TARTAGLIA” y cuando supe de este….me he admirado..pero…con mi profesor he visto “Derivada” y deseo saber q sucederia si el exponente en una fraccion y no un numero natural positivo…¿como lo resuelvo con este triangulo?.

    espero su pronta respueste

  16. ^DiAmOnD^ | 15 de noviembre de 2006 | 04:21

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    Emanuel echa un ojo a este artículo de la Wikipedia:

    Teorema del Binomio

    Mira la sección Teorema generalizado del binomio (Newton). Ahí tienes cómo calcular lo que tú quieres, con exponentes fraccionarios (de hecho sirve para cualquier exponente número complejo). Como los coeficientes no se calculan igual parece ser que no se pueden asociar con el triángulo.

    Por cierto, ten en cuenta que los números x, y deben ser cercanos, es decir, que el valor absoluto de su cociente debe ser menor que 1.

  17. Trackback | 25 nov, 2006

    Gaussianos » ¿Sabía que…

  18. alguein que tiene vida | 1 de febrero de 2007 | 01:52

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    hello gente…!! son unos maniatikos matematikos!! oseaa porfavor hello consiganse una vida…sean alguien !! no sean tan desokupados….enserio dan MIEDO

  19. lara | 7 de febrero de 2007 | 22:43

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    el triangulo es una sucesion de numeros maravillosa.cuanto mas estudio y descubro sobre ella mas me apasiona

  20. Athanatos | 13 de marzo de 2007 | 02:00

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    Todo esto está muy divertido e interesante, la combinatoria es algo ralmente único, asi como el algebra.
    … pero algo no me queda muy claro, y es de donde surge una formula. ¿alguien podria explicarme por favor como se deduce la fórmula para el enésimo término de la sucesión de Fibonacci?.

  21. ^DiAmOnD^ | 13 de marzo de 2007 | 02:17

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    Athanatos esa fórmula no hace falta deducirla, es la propia definición de la sucesión de Fibonacci.

  22. Naka Cristo | 13 de marzo de 2007 | 14:25

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    Creo que se refiere a

    http://epsilones.com/paginas/i-formulas.html#formulas-fibonacciaureo

  23. Santiago | 25 de abril de 2013 | 04:41

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    Esto se me asemeja a la configuración electrónica de un elemento, qué interesante.

  24. Trackback | 6 jun, 2013

    Cómo encontrar el número e en el triángulo de Pascal - Gaussianos | Gaussianos

  25. Jhovany | 3 de septiembre de 2013 | 21:48

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    Buenas tardes.

    Tengo una pegunta, ¿como se podría justificar o demostrar la relación entre el triángulo de Pascal y la sucesión de Fibonacci?

    Gracias

  26. Bonicoman | 9 de octubre de 2013 | 21:35

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    Para la demostración hay que usar la fórmula (3) y la (9) de http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient e inducción.

  27. jose luis brito | 9 de enero de 2014 | 21:31

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    para calcular cualquier numero de fibonacci hay una formula. Es: 1/(√5)*[((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n ]. Me han pedido que la simplifique y me hya quedado que en pascal se tiene que coger uno si , uno no y solo los que eleven el √5 a un numero impar. ¿como puedo pasar eso a ecuacion?

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