El TVI y el dado de tres caras

Hace un tiempo Papá Oso, de Sospechosos Habituales, nos mandó una consulta sobre un post suyo de su blog El Hombre de los Dados. El artículo en cuestión relacionaba el teorema de los valores intermedios y los dados, intentando a partir de él construir un dado de 3 caras, es decir, una figura de 3 caras que cumpliera que las 3 caras tienen la misma probabilidad de salir al tirarla tipo dado. Este post va a servir para presentaros el artículo de Papá Oso y para que veáis la respuesta que yo le di.

El TVI y el dado de tres caras

Esta parte del artículo estará dedicada al post de Papá Oso. Concretamente es éste. Reproduzco aquí el grueso del mismo (dicho de otro modo: copio el post; Papá Oso, espero que no te enfades):

El teorema de los valores intermedios en su versión unidimensional dice lo siguiente:

Dada una función real de variable real continua en un intervalo cerrado [a,b] tal que f(a) sea diferente de f(b) siempre cumple que para todo u perteneciente al intervalo (f(a),f(b)) existe al menos un punto c perteneciente al intervalo (a,b) tal que f(c)=u.

Teorema de los valores intermedios

Veamos ahora una sencilla aplicación de este teorema: La construcción de un dado cilíndrico de tres caras.

Cilindro

Un cilindro finito tiene tres caras, las dos bases y la pared lateral. Así pues parece razonable que jugando con la altura (h) y el radio (r) del cilindro se pueda conseguir un Dado de tres caras:

Un Dado de tres caras es cualquier objeto tal que al ser lanzado caiga siempre sobre una de sus caras, siendo igual de probable que caiga sobre cualquiera de ellas.

Usaremos el TVI para demostrar que fijado un radio (r=1) existe alguna altura (h) tal que si se lanza el cilindro es igual de probable que caiga sobre una base, la otra o el lado.

Antes de empezar haremos alguna suposición: Suponemos que existe una función continua f que depende del cociente h/r (en nuestro caso h/r=h) y que expresa la probabilidad de que el cilindro caiga sobre su lateral. así pues: f(h/r)=p. Si conseguimos demostrar que f(h/r)=1/3 para algun valor de h/r habremos encontrado las medidas del cilindro que buscamos, dado que el resto de probabilidad (2/3) se tiene que repartir entre las dos bases y por simetría lo hará a partes iguales.

Ahora bien, todo el mundo verá obvio que fijado r si elejimos un valor de h muy grande (HG) obtendremos un cilindro muy alto que con toda probabilidad caerá siempre sobre su costado. En cambio si escojemos un valor ridículamente pequeño de h (HP) obtenemos algo parecido a una moneda que como todo el mundo sabe rara vez caera de canto. Así pues la probabilidad de que caiga sobre el lado se acerca a 1 en el primer caso y a 0 en el segundo.

Pues bien, ya tenemos todo lo necesario para demostrar que exite el Dado cilíndrico de tres caras: tenemos una función real continua (f) que depende de una variable real (h) y un intervalo (HP,HG) tal que f(HP) es un valor próximo a 0 y f(HG) se acerca a 1. Como 1/3 pertenece al intervalo (0,1) podemos asegurar que para algún valor de h comprendido entre HP y HG la probablidad de que el cilindro caiga sobre su costado será exactamente 1/3.

Aclaración final: a pesar de haber demostrado que existe una solución, no sabemos nada acerca de su estabilidad ni estamos seguros de que la función f sea continua. A pesar de ello es bastante probable que así sea y por lo tanto que se pueda construir.

Respuesta: posible construcción de la función f

Al tiempo de publicar su post Papá Oso nos manda un mail comentándonos el tema y pidiéndonos opinión. Esta fue mi respuesta (he corregido un error y he metido las imágenes en LaTeX para que queden mejor):

Hombre, en principio no tiene mala pinta. Pero hay cosillas que quedan un poco en el alero. Por ejemplo, la existencia de esa f es, como dices en el post, una suposición. Una posibilidad podría ser que esa función fuera el área lateral del cilindro partido del área total (suma del área lateral más el área de las caras superior e inferior), es decir:

Función que da la probabilidad

Simplificando y teniendo en cuenta que r=1 quedaría:

Función que da la probabilidad simplificada

Esta función es evidentemente continua en [0,Infinito), que es su dominio. Y si esta función fuera la que da la probabilidad, para calcular el h que nos da valor de la función 1/3 tendríamos que igualarla a 1/3, obteniendo:

Cálculo de h

De todas formas ya te digo, esta por ver que esa sea la función que nos da la probabilidad que tú quieres encontrar.

Conclusión y comienzo del debate

Por lo que hemos visto, para un cilindro de radio 1 debemos tener una altura de 1/2 para que las tres caras sean equiprobables. Eso, evidentemente, si la elección de la función f está bien hecha. ¿Qué pensáis? ¿Véis correcta mi elección de f? ¿Tenéis alguna otra idea? Espero vuestros comentarios.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

34 Comentarios

  1. Hombre, yo creo que esa sería la probabilidad de que caiga de ese lado, pero no tiene por que ser la probabilidad de que se “quede” en ese lado. A lo que me refiero es que tirar un cilindro (y que se quede tirado) que está sobre una de sus bases es más fácil que levantarlo y que se quede levantado. Eso sí, no tengo ni idea de como introducir la estabilidad en la función.

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  2. Cambiando de tema…
    Que tal un dado de 6 caras en las que asignamos un
    1 a dos caras, un 2 a otras dos, y un 3 a las dos restantes?
    Si se consiguiese construir ese dado cilíndrico, las probabilidades serian las mismas, no?

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  3. Pues, si, tiempo después me mandaste un mail preguntando en qué había quedado la cosa y al final no pude responderlo. La verdad es que la existencia de dicha función queda en el aire, pero parece bastante razonable que exista una, por rara que sea.

    En todo caso, hay otros problemas que pueden surgir en la construcción de dicho dado aún teniendo una función continua. Si el punto de “equilibrio” que nos asegura el TVI es inestable no servirá mucho encontrarlo ni que exista pues al construir el dado cometeremos imperfecciones que nos llevarán a un desvío significativo de los resultados.

    #glog: obviamente la gracia es hacerlo cilíndrico con sólo 3 caras 😉

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  4. No lo he pensado demasiado pero creo que habría que tener en consideración la forma del objeto y no sólo sus áreas laterales. Como posible contraejemplo, no creo que un dado construido de la misma manera pero con bases elípticas tuviese a misma posibilidad de ladear si cae sobre una arista, si un eje de la elipse es mucho mayor que el otro.

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  5. Desde un punto de vista físico no me convence nada el valor de 1/2 para la altura. La condición de equilibrio de un objeto es que la proyección del centro de gravedad caiga dentro de la superficie de apoyo del objeto, si h es la mitad del radio, el diametro de las bases es cuatro veces mayor. Claramente resultará más facil que quede estable sobre una base, ya que apoyado sobre la cara lateral el centro de gravedad queda bastante más alto y cualquier pequeño bamboleo debido al lanzamiento hará que caiga sobre una base, y no se levante.

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  6. Si el cilindro esta de pie tenemos una base de d (diametro) y una altura del centro de gravedad de h/2. Si el cilindro esta tumbado tenemos una base de h y una altura del c.g. de d/2. Para que sea igual de estable (suposición) la relacion de la base/altura del c.g. debería ser la misma para los dos, es decir:

    d/(h/2) = h/(d/2) —> d^2/2 = h^2/2 —> d=h

    Creo yo…

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  7. Miguel, esa fué mi primera suposición, pero después vi que no. Efectivamente, con la relación que tu das, el centro de gravedad estaría a la misma altura tanto sobre las bases como sobre la cara lateral… pero no es solo eso lo que decide: como dije antes, la proyección al suelo del centro de gravedad tiene que caer dentro de la superficie de sustentación. En el caso de que se apoye en la cara lateral la superfiecie de sustentación es un rectángulo muy fino, lo que hace que sea poco estable, por eso “rueda” hasta que alcanza el equilibrio poco a poco … o se tumba: depende de la altura del cilindro. Y no parece que la solución sea sencilla.

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  8. Es complicado el problema… me parece que habría que tratar de resolverlo empíricamente… ¿alguien se ofrece? Quien sabe, quizás hasta puede valer un Ignobel una investigación como esta 🙂

    También podríamos pensar en otras formas de dado de tras caras, como la de un gajo de naranja, por ejemplo.

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  9. Hola! se me ocurría lo difícil o imaginario que debía ser un dado de tres caras planas (imposible enla realidad), pero viendo que se sugiere un dado cilíndrico…¡Me tiro al barro! Podría construirse un dado de tres caras curvas como las ruedas triangulares que mantienen siempre el eje a la misma altura desde el suelo (?), o como las caras de la semilla del trigo sarraceno…Lo siento, yo pienso más en imágenes que en números.

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  10. La idea de jose (la semilla de trigo) resuelve el problema, además se puede hacer de cualquier número de caras y por simetría la equiprobabildad está asegurada.
    Pero el problema del cilindro es muy interesante. Yo lo abordaría calculando la función de la energía para pasar de una cara otra, que no es más que la curva que describe el centro de masas cuando lo inclinamos y pasa de estar apoyado en una cara a otra. Según esto, h=d como dice Miguel, pues la proyección del cilindro es un cuadrado que sería simétrico y haría que todas las funciones fueran idénticas.

    Pero claro, el cilindro no tiene por qué “rotar” siempre por el punto más óptimo. Puede tener energía suficiente para seguir otros caminos y ahí perdemos la simetría y habría que hacer una media estadística o algo parecido.

    De todas formas, a falta de una solución mejor, yo creo que sería h=d (o pruebas empíricas, claro)

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  11. Lo he pensado algo más y me parece que h tiene que ser menor que d. Si h=d, cuando está apoyado en la base, lo rotemos por el ángulo que sea, el centro de masas seguirá una curva idéntica: desde el punto de apoyo subirá y bajará para quedar a la misma altura (energía) que estaba.
    Pero desde la cara curva, rotamos sobre un punto y puede seguir varios caminos (creo) aunque todos con la misma altura máxima del centro de masas, algunos son más “planos” (es decir, nos cuesta menos iniciar el movimiento).

    ¿Afecta eso a la probabilidad de cambiar de cara o basta con la altura máxima del centro de masas (en cuyo caso h=d)? Creo que afecta, porque veo más probable “subir por azar” una cuesta poco empinada que hacer lo mismo con una pared casi vertical, aunque ambas lleven a la misma altura.

    Tengo mis dudas porque para rotar el cilindro desde la cara curva hacia una base por un “camino” en el que el centro de masas no llegue tan rápido a su máxima altura me parece que hay que “rodar” por la arista (el camino del centro de masas no estaría en un plano), en cuyo caso también se puede hacer lo contrario desde la base (sería el movimiento inverso al que hace un plato cuando gira sobre la arista y no termina de asentarse)

    De todas formas he hecho algo de trampa: pienso que h es menor que d porque he pegado 12 monedas de 5 céntimos (más o menos h=d) y sale un cilindro que da toda la impresión de preferir la cara curva a las bases.

    Cuando se seque el pegamento os cuento.

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  12. Buenas, le he estado dando vueltas y..oye igual esque no hay medidas para que sea completamente equiprobable por que lo que pense es: cuando el cilidro esta apoyado sobre la cara lateral, como ya dijo alguien en algun comentario, se esta apoyando sobre un rectangulo de dimensiones h·m donde m es una longitod muy pequeña, y si por un momento nos imaginamos que en vez de ser un cilindro apoyado por su cara lateral es un prisma que tiene por base el rectangulo sobre el que se apoya el cilindro y de altura el diametro, se ve claramente que la energia requerida para pasar de la base de ese prisma a lo que seria la base del cilindro es mucho mayor que para que el cilindro siga rodando.

    Se me han ocurrido un par de ideas la primera de ellas consiste en la masa del cilindro. No se si la masa en este problema tiene que estar distribuida uniformemente pero en el caso de que no, se podria jugar con la distribución de la masa para compensar la diferencia de energias del pasa entre un estado y otro.

    Y la otra idea un poco mas controvertida es que, por que tenemos que estar trabajando en tres dimensiones? Si se pudiese crear un modelo informatico en un numero superior de dimensiones (esto descarta un poco la solucion empirica) quiza (y enfatizo el quiza) se pudiera solucionar mejor el problema del dado de tres caras, no se si estoy diciendo una barbaridad por que no me he parado a pensarlo mucho pero igual que hay figuras imposibles de tres dimensiones que serian posibles en un espacio de 4, alomejor se podria elevar el numero de dimensiones para construir otros cuerpos de tres caras que fueran concebibles en un espacio de mas dimensiones y que fuesen equiprobables.

    A ver que os parece.

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  13. Muy interesante la idea de un objeto cilíndrico para hacer de dado de tres caras; el cálculo puede dar mucho juego y ser muy complicado. Yo también creo con casi total certeza que ha de existir una función que relacione altura con radio, pero la búsqueda de la misma no será moco de pavo.

    No obstante, si el objetivo real es crear un dado de 3 caras no veo necesario complicarse tanto, un prisma triangular suficientemente alto como para no caer por las bases —véase un Toblerone— bien podría servir para nuestro propósito.

    ¡Saludos!

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  14. Ender un toblerone tiene 5 caras: las tres de la parte central más las dos bases.
    ¿Suficientemente alto para no caer en las bases? Por muy pequeñas que fueran siempre habría una probabilidad positiva de caer en alguna de ellas. Por tanto no nos valdría.

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  15. Yo tengo otra idea… el crear una figura parecida a una piramide triangular de tal forma que la base sea curva similar a una esfera, de esta forma, no habria forma de que cayera en esa cara y el 100% estaria en las otras 3 caras

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  16. Muy interesante este problema, y mucho mas la forma de resolverlo, usando un cilindro y el Tª de los valores intermedios, aunque queden en duda ciertas cosas.
    Por otra parte, si se trata de buscar un dado de tres caras, la mejor solucion me parece la de la semilla, que imagino que es como un balon de rugby pero hecho con solo 3 piezas de tela. Otra forma seria tomar una esfera, y pintar con tres colores 3 zonas que tengan el mismo area( por ejemplo dividimos la esfera en tres gajos iguales, y pintamos cada parte de un color). Asi ya tendriamos el dado, aunque no seria el tipico dado que se queda quieto al poco de lanzarlo…Ademas, hay que tener en cuenta que la probabilidad de que se parase justo en una de las lineas que delimita dos colores es nula, pues el area de las rectas es 0

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  17. Acerca de lo que dice Diamond sobre el toblerone, estoy de acuerdo en que por muy largo que sea el toblerone la probabilidad va a existir siempre aunque sea muy muy pequeña. Tan pequeña que en un vida de lanzando dados nunca pase por ejemplo.Pero bueno ahí esta.
    Siendo esto asi, no es cierto que los dados con forma de cubo tambien tiene cierta probabilidad de caer sobre una arista o sobre un vertice?En algun lanzamiento del dado, este podria encontrar un estado de equilibrio en uno de estos puntos…y yo diria que esa probabilidad no es 0, osea que es positiva. Aunque hagan falta mil vidas lanzando dados para verlo.
    Bueno, esto solo es algo que se me paso por la cabeza. Pero estoy de acuerdo con que un toblerone largo no es exactamente el dado de 3 caras…pero da que pensar quiza que un cubo no sea exactamente el dado de 6 caras,no?

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  18. #Siaj: Pues no, si el cubo es realmente un cubo la posición de equilibrio de la que hablas tiene probabilidad cero de ser alcanzada.

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  19. Interesante el problema aunque buscar una solución para el cilindro parece complicado debido a la falta de simetría y a que la física está involucrada…

    Como habeis dicho, el problema se soluciona facilmente con un dado normal asignando valores repetidos a las caras o con la ‘semilla’ de 3 lados curbos. La solución del ‘toblerone’ me parece buena y además sería infalible si hacemos que las 2 bases en realidad sean pequeñas pirámides, es decir, que acaben en punta. De esta manera se construye un toblerone con un total de 9 lados: 3 son los alargados centrales en los que siempre reposaría al caer y los otros 6 están 3 a cada lado formando una base en punta. Al ser los lados de esta base en punta muy pequeños comparados con los lados principales, siempre acabaría reposando en una de las 3 caras principales.

    Además este sistema sirve para cualquier ‘dado’ de n posibilidades (n >= 3), construyendo ‘rodillos’ de 3*n lados pero de manera que siempre saldría una de las n caras principales.

    ¿qué os parece?

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  20. Hombre yo creo que un dado debería ser simétrico en los 3 ejes espaciales por aquello de los momentos de inercia y esas cosas.

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  21. La idea del toblerone….
    es decir, un prisma triangular no estaría mal, pero dándole una vuelta de tuerca, se podría deformar la figura de forma que en vez de acaba en 2 triángulos, éstos degeneraran en 1 punto.

    Por tanto sería una figura de 3 caras (curvas, por supuesto).

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  22. carlos, no creo que eso sea necesario, lo que interesa es que la probabilidad de cada lado que puede salir sea 1/3.

    Tito Eliatron, lo que comentas es en realidad la solución de la ‘semilla’ que se ha comentado anteriormente, no?

    Por lo visto hasta ahora, Diamond, creo que la solución que propones en el enunciado no es correcta porque lo único que tiene en cuenta es el area de cada lado, lo cual a todas luces parece insuficiente debido a la falta de simetría y el comportamiento físico conplejo del cilindro al caer. Además está claro que pueden construirse objetos donde cierta superficie nunca se pose (en el toblerone terminado en punta sería la superficie de las puntas)

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  23. Yo no dije que mi solución fuera la correcta. La propuse como una posible solución para que la comentarais vosotros. De hecho probablemente no sea la más lógica físicamente hablando.

    La cosa empezaría por estudiar si la función que yo escojo es efectivamente la adecuada para el caso. Si lo es mi solución debería ser correcta y si no lo es pues no lo sería.

    De todas formas los comentarios están siendo muy enriquecedores. Estáis llenos de ideas. Me encanta 🙂

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  24. Quizás para elegir la función adecuada, en vez de tomar probabilidades tipo “area” sería mejor estudiar cuándo el cilindro inclinado “CAE” y cuando no, es decir, medir el ángulo de inclinación respecto de la vertical.

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  25. Estoy de acuerdo, Tito, es más, propongo hacer el siguiente cálculo: sea F la fuerza necesaria (aplicada horizontalmente en el punto más alto) para hacer girar el cilindro (hacer que caiga) cuando está apoyado en cualquiera de sus dos bases. La altura h se obtendría haciendo que F sea también la fuerza que haga girar el cilindro cuando está apoyado sobre el area circular.

    No digo que sea la manera correcta pero es una propuesta… por si alguien se anima a calcularlo!

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  26. MI SOLUCIÓN:

    es de noche, mañana madrugo y justamente me voy de vacaciones, pero si estais interesados cuando vuelva os detallaré el procediemiento y los cálculos utilizados para la solución que he obtenido:

    2 * arctg(h/(2*r))
    f(h) = ————————–
    pi

    Como veis es continua, para h -> 0 tiende a 0, y para h -> infinito tiende a 1.

    Para conseguir la equiprobabilidad de las 3 caras h tendría que valer (2*r)/sqrt(3), y tomando r = 1 pues nos queda aproximadamente h = 1,1547.

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  27. he visto que se ha dibujado mal pero espero que se entienda la fórmula:

    ________ 2 * arctg(h/(2*r))
    f(h) = ————————
    _____________ pi

    EDITADO POR ^DiAmOnD^

    Asier te la pongo en LaTeX:

    Función Asier

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  28. A mi me parece que la idea del toblerone terminado en punta sería la mejor pues sería practicamente imposible que terminara en las caras de las pirámides por lo de el centro de gravedad o que cayera en una arista o en una punta, por lo que habría un 100% de probabilidades de que cayera en las caras principales.

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  29. Pero ¿cuál es la definición de lado en un espacio 3D?
    1. ¿es la intersección de un plano con el objeto lo que define un lado?
    2.¿o lado es una superficie x-y donde su tangente es continua?

    Si la respuesta es 1, entonces una superficie curva tiene infinitos lados, por lo que el planteamiento es errado, ya que un cilindro tendría (2 + infinitos) lados .

    Si la respuesta es 2, ¿una esfera tiene solo dos lados (exterior e interior)?.

    ¿Se quiere dar solución a la completitud de lo que conocemos como dado? me refiero a construir un objeto físico de 3 “lados” que se comporte como un dado?

    si es así, es muy simplista usar solo el TVI para resolver el problema, ya que hay componentes de física que influyen, como la fuerza de roce, la masa, centro de gravedad, etc,etc y la dinámica de tirar el dado.

    Si se quiere dar una solución mas teórica, como diciendo este dado está en gravedad cero, sin roce, etc, ¿como defines cuando está en estado 1, 2 o 3?, ¿haciendo proyección de las superficies? creo que en este caso también está mal planteado el problema, ya que al no existir simetría 3D, las proyecciones sobre una superficies plana no serian equiprobables.

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  30. Hola, es la primera vez que escribo, aunque no la primera que leo. Felicidades a los creadores de la página.

    Desde el principio me interesó este problema. Si me lo permiten, a riesgo de resultar pretencioso, me permito hacer un par de comentarios.

    Planteamiento del problema: Un Dado de tres caras es cualquier objeto tal que al ser lanzado caiga siempre sobre una de sus caras, siendo igual de probable que caiga sobre cualquiera de ellas. Usar el TVI para demostrar que fijado un radio (r=1) existe alguna altura (h) tal que si se lanza el cilindro es igual de probable que caiga sobre una base, la otra o el lado.

    Solución (parcial): se usa el TVI para demostrar que suponiendo que existe una función de h (contínua) que determina la probabilidad de que el cilindro se asiente sobre una de sus caras, entonces existe una altura en la que es equiprobable que el cilindro se asiente sobre cualquiera de sus caras. Se discute la existencia de tal función y Asier aporta una.

    Comentario: prescindiendo de otros factores físicos (rozamiento, velocidad del viento, materiales usados, etc…) tal como se hace con un dado ordinario de seis caras, la probabilidad de que el cilindro se asiente sobre una de sus caras depende del radio de la base y de su altura. Fijado r (r=1), f dependerá sólo de h. La expresión de f debe involucrar algún ángulo (alguna función trigonométrica) que determina el grado de estabilidad del asentamiento sobre esa cara: cuando el cilindro está estable sobre alguna de sus caras y lo inclinamos, este o bien recupera la estabilidad sobre esa cara o bien cae y se asienta sobre otra cara, y eso depende del grado de inclinación. Cuando se sobrepasa cierto ángulo crítico, un cilindro, apoyado digamos sobre una de sus bases, ya no recupera la posición original y cae para quedar estable sobre la cara lateral. Supongo que ese fue el planteamiento de Asier. Cuando el ángulo de inclinación crítico para un cilindro apoyado sobre una de sus bases coincide con el ángulo de inclinación critico para un cilindro apoyado sobre la cara lateral, el cilindro se comporta como un dado de tres caras, en el sentido en que se plantea aquí, pues le es indiferente quedar apoyado sobre cualquiera de sus caras. Al menos eso creo.

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