El último teorema de Fermat

Pierre de Fermat, jurista francés del siglo XVII y apasionado de las Matemáticas, es conocido como el padre de la teoría de números. Sus contribuciones matemáticas se pueden encontrar en varios campos, como Estadística y Análisis, pero fue la teoría de números la rama que más le cautivó. Sus contribuciones abarcan los números perfectos, los números amigos, los números de Fermat (su gran batacazo), el pequeño teorema de Fermat (generalizado más tarde por Euler)…

Gran parte de culpa de este interés de Fermat por la teoría de números la tuvo un ejemplar de la Arithmetica de Diofanto de Alejandría que llegó a sus manos. A través de ese libro Fermat comenzó a estudiar propiedades de los números, y en este libro nos dejó su afirmación más enigmática y a la vez la que más quebraderos de cabeza ha provocado en toda la comunidad matemática desde su época hasta nuestros días. Por ser la afirmación de Fermat que más se ha tardado en demostrar se denomina último teorema de Fermat.

Concretando: al ver un apartado en el que se hablaba del teorema de Pitágoras escribió Fermat lo siguiente:

Es imposible dividir un cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados, o en general, cualquier potencia superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado angosto para contenerla

Es decir, Fermat afirmó que mientras que la ecuación x2 + y2 = z2 sí tienes soluciones enteras positivas, para n más grande no existen tres enteros positivos x, y, z tal que

xn + yn = zn

Esto es, esa ecuación no tiene soluciones enteras positivas si n > 2. Y nos dice que tiene una demostración maravillosa para este hecho…¡¡pero que no le cabe en el margen del libro!!. ¡¡Por dios!!. ¡¡Qué maldita manía la del amigo Pierre de no publicar casi ninguno de los resultados a los que llegaba!!. Y aún así: ¿no tenía un papel a mano en el que escribirla, aunque sólo fuera para su propio disfrute personal?.

Bueno, tranquilicémonos. Si a mediados del siglo XVII Fermat tenía una demostración de este resultado, y teniendo en cuenta los genios de las Matemáticas que aparecieron después (Euler, Cauchy, Gauss, Lagrange…) no debería ser demasiado complicado encontrarla…¿o sí?. Pues sí. Nada menos que 350 años tuvieron que pasar hasta que Andrew Wiles consiguiera demostrar este resultado deduciéndolo como corolario de otro resultado mucho más complicado (conjetura de Shimura-Taniyama-Weil) y que, en principio, no tenía nada que ver con el resultado propuesto por Fermat. Teniendo en cuenta que Fermat no disponía de todas las herramientas que usó Wiles, que la demostración ocupa más de 100 páginas y que en 350 años ningún matemático fue capaz ni tan siquiera de acercarse a una demostración del caso general del problema (sólo se consiguió demostrar casos particulares del mismo) lo más lógico es pensar que aunque Fermat pensaba que poseía esa demostración maravillosa en realidad estaba equivocado, ya que cuesta entender que en tanto tiempo y con tantos matemáticos brillantes dedicados en mayor o menor medida al tema ninguno llegara a la demostración de este hecho.

Y claro, 350 años dan para mucho. Muchas anécdotas e historias en torno a esta afirmación: miles (sí, miles) de demostraciones falsas propuestas para su estudio, piques entre matemáticos para ver quién llegaba antes a la prueba definitiva, desesperación de genios como Euler o la participación de una de las (por desgracia) pocas mujeres con contribuciones importantes en Matemáticas a lo largo de la historia. Su nombre era Sophie Germain, y para evitar que los matemáticos varones de la época la ignoraran tuvo que adoptar un seudónimo: monsieur Leblanc.

Pero bueno, al fin en 1993 Andrew Wiles presenta su demostración del teorema y se acaba la historia, final feliz y todos contentos…pues no. Parece que este resultado perseguía de una u otra forma a quien intentaba abordarlo. Wiles presenta su demostración en edad para recibir la medalla Fields (sólo se entrega a matemáticos hasta 40 años). Pero en el correspondiente período de revisión se encuentra un error que Wiles, junto a Richard Taylor, tarda en resolver cerca de 2 años…pasando en ese tiempo la edad máxima para recibir el premio. Aún encontrando la demostración la maldición del último teorema de Fermat continuaba de cierta manera, aunque más tarde se reconoció la labor de Wiles con el premio Wolfskehl, consistente en una cantidad en metálico dejada por el matemático del mismo nombre en su testamento y la evidente admiración de toda la comunidad matemática.

Por cierto, fue tal la trascendencia de la demostración que el señor Wiles apareció en portada del New York Times por este hecho. Encontrar la demostración de un resultado que ha permanecido abierto durante 350 años no se consigue todos los días.

Seguiremos hablando del (para mí) genio Pierre de Fermat en próximos posts.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

31 Comentarios

  1. ¿El mayor farol de la historia de las matemáticas?

    🙂

    Yo también creo que el creía tener una demostración válida pero que se equivocó.

    Cuenta la leyenda que algún valiente alumno de mi facultad alguna vez ha puesto aquello de “tengo una solución maravillosa para este problema pero el margen de este exámen es demasiado angosto como para contenerla. (Aunque tiene pinta de ser una leyenda urbana)

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  2. No creo que fuera un farol. Pienso como tú, que efectivamente Fermat creía tener esa maravillosa demostración pero o estaba equivocado y no se dio cuenta o se dio cuenta pero no quiso decirlo.

    Por cierto, muy ocurrente la leyenda urbana esa :P .

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  3. Yo no conocía el nombre de este teorema hasta hace poco, o se me había olvidado, pero lo que más me gusta es la afirmación chulesca de una persona que sabe una demostración y fanfarronea un poco diciendo que no le cabe, eso es de elogio, fuera cierto o falso, jejeje :P

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  4. A mí Fermat me empezó a sonar por el Ascendancy, videojuego de hace unos cuantos años que contaba con un arma llamada “lente de Fermat”.

    Sobre el teorema, Fermat probablemente tuviera un flashazo de la demostración… inspiración divina le llaman ;)

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  5. Pues la verdad es que yo lo conocía (alguna vez lo había visto en la carrera o me habían hablado de este maravilloso Teorema).

    Sería un putadón poner la demostración como único ejercicio en un examen. Son muchas páginas creo yo :P

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  6. Por cierto, he visto en Ciencia.cl una interesante demostración (aunque no soy matemático, pero el que lo sea que dé su opinión).

    En el mismo artículo, hay una que también sería interesante saber vuestra opinión.

    ¡Saludos!

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  7. Esto….o te has olvidado de algo o no he entendido el comentario: ¿dónde dices que has visto esa demostración?. No das ningún enlace cachondo :P .

    Edito: Vale, ya sé cuál era el problema. No estaba bien puesto el html y por eso no salían los enlaces. Ya te lo he editado. Un día de estos que hablemos te comento cómo tienes que poner los enlaces para que salgan bien.

    Saludos :)

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  8. Ya, luego iba a poner los enlaces, pero me saltaba que no podía postear. Lo intenté un buen rato y luego desistí.

    Sabía que lo ibas a arreglar :P , así que estaba todo controlado ;) . Voy a tener que aprender html no vale con eso de ver el código fuente y copiar y pegar :P .

    Gracias y saludos :D

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  9. Es que el maldito control anti-spam que tienen en blogsome es penoso, y salta mucho.

    Intentad no repetir comentarios cuando no os deje y esperar un poco, lo siento pero es la única opción.

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  10. No te preocupes neok, si hay que esperar se espera, yo también estoy experimentando con blogsome y he tenido algunos problemillas, pero de momento todo va bien.

    Voy puliendo un blog, espero tenerlo pronto listo.

    Saludines :D

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  11. ¡Anda! Eso no lo sabía yo. Que calladito te lo tenías :P .

    Da alguna pista anda. Y, evidentemente, avísame por mail cuando esté listo.

    Saludos y suerte :) .

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  12. Maravilloso y recomendable libro de Simon Singh al respecto: “El Enigma de Fermat”. Seguro que lo conocéis.
    El autor hace buena labor divulgativa y creo que está más especializado en Criptografía.
    Enhorabuena por el blog. Siempre lleno de retos.

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  13. Mi profesora de matematicas esta loca!
    ingreso a 3er año del polimodal, y cierta vez en un trabajo practico hace unos meses, coloco un ejercicio:

    2^4+3^4=x^4

    obviamente nadie en el curso pudo resolver este problema, ni siquiera yo a pesar de las expectativas de mis compañeros a los que siempre les pase las respuestas :), cuando pedimos a la profe la respuesta solo dijo que se equivoco, el ejercicio debia ser

    2^2+3^2=x^2

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    • te parece que el resultado es entero? es x^2 = 13, luego x no es entero?

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  14. El resultado de la 2da = 32 y el de la primera simplificando queda con:

    (2^7)^4=x^2
    128^4=x^2

    ahora calculamos 128^4=268.435.456

    128×128
    01024
    02560
    +12800
    16384 ahora para ahorrar tiempo
    elevamos 16384 al cuadrado, y nos da
    268.435.456 luego le sacamos raiz,

    Es muy facil 16384 es el resultado ya que la raiz de a^4 = a^2 porque la raiz de “a^4” es cuadrada y por lo tanto raiz de a^4 = a^4/2 = a^2 ,es muy simple jeje yo hize todo eso para demostrar que estaba bien.
    Salu2

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  15. hahahaha tiene q ser mayor q 2 no mayo e igual ajajajjaa
    aweonao!!

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  16. YA HIJOS MIOS ACA LES TENGO LA SOLUCION Y SON 2 MAS ENCIMA

    1782^12 + 1841^12 = 1922^12

    3987^12 + 4365^12 = 4472^12

    CUALQUIER COSA LE DICEN A PAPA LO RESOLVI HACE VARIOS AÑOS PERO NADIE ME CREIA

    CUIDENSE

    ADIOS!!

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  17. Respecto al ultimo comentario de CHRISTIAN FREIRE
    Efectivamente al hacer con la calculadora 1782^12 + 1841^12 por un lado y 1922^12 por otro sale el mismo resultado pero eso no quiene decir que sean iguales, pues solo aparecen las 11 primeras cifras de su escritura decimal; ahora bien, si escribimos 1922^12 – (1782^12 + 1841^12 ) sale como resultado 7E29 lo que indica que no son iguales, y , probando con la calculadora de windows ( que opera con mas cifras a la vez ) dice que esa diferencia vale 700212234530608691501223040959 ; por lo tanto, 1782^12+1841^12 y 1922^12 son diferentes

    Con el otro ejemplo sucede lo mismo;

    Un saludo

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  18. mas claro aun; en el primer caso, 1782^12 es par porque 1872 es par; 1841^12 es impar porque 1841 es impar; asi pues, la suma de estos 2 numeros esforzosamente un numero impar; ahora bien, 1922^12 es par, por lo que no puede ser igual a 1782^12+1841^12.
    En el 2º caso un razonamiento parecido no puede utilizarse porque da la casualidad quela ultima cifra de )3987^12 + 4365^12)y de 4472^12 es la misma;
    [ en efecto, 3987 es congru a 7 modulo 10; por lo que 3987^12 es congru a 7^12 modulo 10, y sabemos que 7^2 es congru a -1 modulo 10 por lo que 7^4 es congru a 1 modulo 10 y entonces 7^12 es congtu a 1 modulo 10, por lo que 3987^12 es tambien congru a 1 modulo 10; por oitro lado, 4365^12es congru a 5 modulo 10, por lo que 3987^12 + 4365^12 es congru a 6 modulo 10; por otro lado, 4472 es congru a 2 modulo 10 y 2^12 es congru a 6 modulo 10 por lo que 4472^12 acaba pro la cifra 6 ]

    Sin embargo haciendo la diferencia se ve claramente que no son iguales;

    Por último, no es por contradeciros pero en mi libro de mates hablando del ultimo teorema de fermat, dice que “la demostracion hace un millar de paginas”

    un saludo 😀

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  19. era para burlarme eso salio en 2 capitulos de los simpsons ANDREW WILES demostro que nos posible…son como 200 paginas y lo hizo el año 1995 busca en el gogle esos numeros y saldra en los simpsons

    un saludo

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  20. Parece ser un contraejemplo el siguiente:

    1782^12 + 1841^12 = 1922^12

    escribiendo en la calculadora científica, lo siguiente:

    ( 1782^12 + 1841^12 ) ^(1/12) = obtenemos 1922

    Pero sabemos que es falso, ya que par + impar = impar
    y en la igualdad se lee que par + impar = par
    Saludos

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  21. Que el amigo Pierre pudo estar equivocado cuando dijo “tener una demostración maravillosa” es posible, no sólo para él sino para cualquiera. Y es una explicación simple.

    Sin embargo, no es la única plausible. Muchos de “los grandes” pertenecieron a alguna sociedad secreta o tuvieron inclinación hacia los temas del ocultismo. Descartes, por ejemplo, fue rosacruz; Newton fue alquimista; hay una lista extensa aunque incompleta (dadas las persecuciones) de personalidades que abrazaron disciplinas ajenas a la ciencia racional aceptada.

    En las sociedades secretas iniciáticas se comparten ritos secretos iniciáticos y doctrinas secretas. Estas últimas son conocimientos que no se divulgan fuera de esas sociedades, entre los profanos.

    La inexplicable costumbre que tenía monsieur Fermat de no publicar sus trabajos y el hecho de tener una actitud desafiante que incomodaba a muchos, puede hallar otra explicación, si es cierto que este abogado formó parte de alguna sociedad secreta. En ese supuesto, quizás sus superiores le encargaron desafiar a la comunidad matemática con el fin de medir el grado de evolución de la ciencia en cuestión.

    Pese a las mentes brillantes que encontró Fermat en su tiempo, algunos teoremas fueron demostrados cien años después. El último que quedaba, más de trescientos años pasada su época, como sabemos.

    Que mentes superiores no hayan encontrado una demostración elemental no significa que no exista una. Todos intentaron por un mismo camino, usando argumentos de divisibilidad, y esto los condujo a casos realmente complicados. Sin embargo, el problema inicial podría ser reformulado en una forma equivalente, pero formalmente distinta, que hiciera más accesible una solución. Esa “reformulación” es lo que la habría hecho “maravillosa”.

    Sólo conjeturas. Eso es lo que tengo y lo que tenemos. Equivocado o no, lo que Fermat creía tener se lo llevó a la tumba.

    Cordiales saludos.

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    • observad mi facebook y encontrareis la verdadera solucion la que fermat afirmaba tener

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