El único es el 26

Introducción

Hace ya bastante tiempo comentamos una curiosa propiedad del número 26. Concretamente es ésta:

El número 26 es el único número natural que está situado entre un cuadrado (25=5^2) y un cubo (27=3^3).

Al parecer fue Fermat quien demostró dicho resultado, pero en el post donde dábamos cuenta de esta característica del 26 no se daba ninguna prueba de este hecho. Fue Juanbuffer quien aportaba en un comentario un pdf con una demostración del mismo (que si no recuerdo mal no estaba en español). Por desgracia parece que ya no se puede acceder a dicho documento (al menos yo no puedo). Por este motivo me puse a buscar…y la he encontrado. Mi admirado Carlos Ivorra es quien me ha proporcionado dicha prueba. Bueno, en realidad no sé si es suya, pero aparece en uno de los libros en formato pdf que tiene disponibles en su web: Teoría de Números.

En este artículo vais a poder ver esta demostración.

La unicidad del 26

En realidad la demostración que os voy a presentar del hecho de que el 26 sea el único número natural con la propiedad mencionada anteriormente es relativamente elemental. Lo interesante de la prueba es que se sale del conjunto de los números naturales \mathbb{N} para demostrar una característica en \mathbb{N}. El hecho apoyarse en un conjunto mayor que \mathbb{N} para demostrar algo en él es un argumento bastante útil, hecho del que se aprovecharon muchos matemáticos cuando se convencieron de la potencia de dicho argumento.

Centrémonos en el tema. Vamos a hacer la demostración en \mathbb{Z} (los números enteros). Entonces el enunciado del resultado a demostrar el el siguiente:

Teorema:

Las únicas soluciones enteras de la ecuación

y^2+2=x^3

son y=\pm 5, \; x=3.

Demostración:

Un simple vistazo a la ecuación nos dice que y no puede ser un número par. Si lo fuera tendríamos que x también sería par. La contradicción se encontraría en el hecho de que la parte derecha de la igualdad sería divisible entre 8, pero la parte izquierda no sería ni siquiera divisible entre 4. Por tanto y ha de ser un número impar.

Nos salimos ahora de \mathbb{Z} para adentrarnos en el anillo \mathbb{Z} \lbrack \sqrt{-2} \rbrack = \lbrace a+b \sqrt{-2} / a,b \in \mathbb{Z} \rbrace. Consideramos la ecuación anterior en este anillo su expresión puede darse factorizada de la siguiente manera:

(y+ \sqrt{-2})(y- \sqrt{-2})=x^3

Consideramos en este anillo la norma N: \; \mathbb{Z} \lbrack \sqrt{-2} \rbrack \rightarrow \mathbb{N} siguiente:

N(a+b \sqrt{-2})=(a+b \sqrt{-2})(a-b \sqrt{-2})=a^2+2b^2

Es sencillo comprobar que dicha norma es multiplicativa, esto es, que es positiva para todo elemento distinto de cero de \mathbb{Z} \lbrack \sqrt{-2} \rbrack, que es cero para el elemento cero y que la norma de un producto de dos elementos de \mathbb{Z} \lbrack \sqrt{-2} \rbrack es el producto de las normas de dicho elementos.

Supongamos ahora que x,y cumplen la ecuación inicial y tomemos los elementos y+ \sqrt{-2} y y-\sqrt{-2} de \mathbb{Z} \lbrack \sqrt{-2} \rbrack. Cualquier elemento c+d \sqrt{-2} que sea un divisor común de ellos dos debe dividir también a su suma, 2y, y a su diferencia, 2 \sqrt{-2}. Tomando normas en esta situación tendríamos lo siguiente:

c^2+2d^2 | 4y^2, \; c^2+2d^2 | 8

Por tanto c^2+2d^2 | 4. Los únicos pares de valores (c,d) que cumplen esto son los siguiente:

(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1),(2,0),(-2,0)

Con las dos primeras posibilidades obtenemos los elementos 1 y -1$ de \mathbb{Z} \lbrack \sqrt{-2} \rbrack, que son unidades de este anillo. En los demás casos obtenemos los elementos \sqrt{-2}, -\sqrt{-2},2 y -2, todos ellos con norma par (2 ó 4), por lo que no pueden dividir a y+\sqrt{-2}, cuya norma (y^2+2) es impar.

Con esto llegamos a lo siguiente: y+\sqrt{-2} y y-\sqrt{-2} son primos entre sí.

Ahora, teníamos la ecuación inicial factorizada de la siguiente forma:

(y+ \sqrt{-2})(y- \sqrt{-2})=x^3

Uniendo estos dos hechos tenemos que el producto de dos elementos de \mathbb{Z} \lbrack \sqrt{-2} \rbrack que son primos entre sí es igual a un cubo. Ello obliga a que cada uno de estos elementos sea él mismo un cubo. En particular:

y+\sqrt{-2}=(a+b\sqrt{-2})^3

Desarrollemos ahora la parte derecha de esta última igualdad:

y+\sqrt{-2}=(a+b\sqrt{-2})^3=a^3+3a^2b \sqrt{-2} +3 ab^2 (-2)+b^3 (\sqrt{-2})^3=a^3-6ab^2+(3a^2b-2b^3) \sqrt{-2}

Igualando coeficientes de \sqrt{-2} de las expresiones inicial y final llegamos a la siguiente igualdad:

1=3a^2b-2b^3

Un sencillo análisis de los valores de a y b nos lleva a que los únicos valores posibles son b=1 y a= \pm 1 (recordemos que a y b son números enteros). Para (a,b)=(-1,1) obtenemos que y=-5 y de ahí que x=3. Y para (a,b)=(1,1) obtenemos y=5 y por tanto x=3, que es el resultado buscado.


¿Conocéis alguna otra demostración de este hecho? Los comentarios son vuestros.

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32 comentarios

  1. Trackback | 1 mar, 2010

    Bitacoras.com

  2. Profe Demente | 1 de marzo de 2010 | 13:06

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    Quizás deberías añadir lo que dice Ivorra al final: la demostración funciona porque el anillo \mathbb Z[\sqrt 2] es de factorización única. Ignorar detalles como éste llevó a algún famoso matemático a dar demostraciones incorrectas de último teorema de Fermat.

    En cualquier caso, ¡muy buen blog!

  3. Américo Tavares | 1 de marzo de 2010 | 15:31

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    Excelente!

    Já sei qual é dia em que faço anos!! :)

  4. Osukaru | 1 de marzo de 2010 | 16:24

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    Una pregunta. Es que la afirmación “el 26 es el único número situado entre un cuadrado y un cubo” es un tanto ambigua, porque dicho así a mi me parece que hay que demostrar tanto que es el único que se encuentra entre un cuadrado y un cubo como que es el único que se encuentra entre un cubo y un cuadrado, y me ha dado la impresión de que sólo se demuestra una de las afirmaciones. ¿Es el único en ambas afirmaciones o sólo en la primera?

  5. Osukaru | 1 de marzo de 2010 | 16:28

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    Por cierto, googleando un poco he encontrado esto, que no sé si es el mismo artículo al que os referíais:

    http://www.normalesup.org/~baglio/maths/26number.pdf

  6. Américo Tavares | 1 de marzo de 2010 | 16:34

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    Osukaru | 1 de Marzo de 2010 | 16:24

    Bem visto!, Osukaru.

  7. JuanPablo | 1 de marzo de 2010 | 17:01

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    quiero agregar un link que demuestra que el 26 es único:
    http://26veintiseis.blogspot.com/ :-)

    (muy en la línea de acertijos y más cosas y de pequeños enigmas, los primeros links a la derecha de su pantalla, pero con un estilo propio poco frecuente dentro de los problemas de ingenio)

  8. 26 | 1 de marzo de 2010 | 18:14

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    Gracias Juan Pablo.
    Mi 26 es una cosa menor, un divertimento personal y para unos pocos, queridos y pacientes lectores, que creo que aquí nunca ha encajado, pero si recuerdo que en cierta ocasión alla por 2006, planteé lo que en este post se resuelve, tal vez tu o nuestro amigo Merfat (Fuerza CHILE¡¡¡)os acordéis.
    http://blogs.ya.com/veintiseis/200608.htm#157
    en el 26 anterior
    Me alegra mucho encontrar en este magnifico blog una respuesta.

  9. alaspencas | 1 de marzo de 2010 | 18:16

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    Un pequeño detalle. Cuando afirmas que la norma tal y como la defines, es multiplicativa, es algo correcto, pero no implica que sea positiva (en \mathbb{Z}[\sqrt{-2}], tal y como está definida la norma siempre es positiva, pero en \mathbb{Z}[\sqrt{2}] por ejemplo, existen elementos de norma negativa.

  10. alaspencas | 1 de marzo de 2010 | 18:17

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    A lo que iba (que he publicado antes de tiempo), que la multiplicidad de la función norma, no implica que sea positiva, tal y como está definida

  11. ^DiAmOnD^ | 2 de marzo de 2010 | 03:05

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    Profe Demente, es cierto que la demostración es válida porque \mathbb{Z} \lbrack \sqrt{-2} \rbrack es un DFU, estaba esperando que alguien lo comentara :).

    Osuraku, si te digo la verdad no sé responderte en este momento a tu pregunta de si el 26 es único también en el otro sentido que comentas. Por otra parte, no recuerdo si ese es el artículo que comentaba antes, pero me da que sí.

    alaspencas, la norma está definida en \mathbb{Z} \lbrack \sqrt{-2} \rbrack, donde sí es positiva. En \mathbb{Z} \lbrack \sqrt{2} \rbrack se debería definir otra norma, si es que necesitamos que sea positiva.

  12. hernan | 2 de marzo de 2010 | 04:49

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    Según veo, el problema está relacionado con unas “Curvas de Mordell” http://mathworld.wolfram.com/MordellCurve.html, en nuestro caso con n=-2.

    La duda de Osukaru (si habrá un entero que esté entre un cubo y un cuadrado) correspondería al caso n=2, y según tabulan ahí la única solución es (-1,1) (y es claro: 0 está entre un cubo y un cuadrado).

    Para la demostración, caso n=2 y n=-2 remiten al libro “Uspensky & Heaslett, Elementary Number Theory” ( http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0311&L=nmbrthry&D=0&P=1290)

    Acá hay una tabulación gigante para distintos n: http://tnt.math.metro-u.ac.jp/simath/MORDELL/

  13. xhantt | 2 de marzo de 2010 | 07:14

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    Otro detalle, es que si ab = z^3 entonces en general no vale que a y b sean cubos, sino que existe una unidad u tal que ua y u^{-1}b son cubos. Pero en el anillo \mathbb{Z}[-\sqrt{2}] vale que las unicas unidades \{1,-1\} son cubos, luego no hay que hacer ese ajuste.

    PD: Una forma de ver que es DFU es probar que es Euclideo, por ejemplo usando la norma propuesta.

  14. hernan | 2 de marzo de 2010 | 13:41

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    La respuesta a la pregunta de Osuraku (si habrá además un entero que se encuentre entre un cubo y un cuadrado) estaría dada, según veo, en esta página sobre curvas de Mordell
    http://mathworld.wolfram.com/MordellCurve.html
    El problema original corresponde a n=-2, el alternativo de Osuraku a n=2, y que sólo tiene como solución entera el par (-1,1). Y es verdad, aunque un poco trivial: 0 está entre un cubo (-1) y un cuadrado (1).

  15. Dani | 2 de marzo de 2010 | 20:46

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    me gustó mucho! :) tengo muchas ganas de cursar las álgebras (me toca el año que viene) para empezar a entender estas cuestiones en profundidad jejeje

  16. Américo Tavares | 2 de marzo de 2010 | 21:51

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    Dani, gosta mais de Álgebra ou de Análise?

  17. Trackback | 3 mar, 2010

    Todos los números son interesantes | Gaussianos

  18. Trackback | 4 mar, 2010

    El único es el 26

  19. Trackback | 4 mar, 2010

    El único es el 26 | El Noticiero

  20. Dani | 4 de marzo de 2010 | 09:30

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    digamos que como aun no he visto álgebra en serio (y sería discutible si he visto cálculo en serio puesto que ni me he metido en teoría de la medida ni he visto E.D.Ps) creo que voy a esperar un par de años para responder a esa pregunta jejeje. Por ahora lo que más me ha gustado con diferencia es la topología diferencial. Milnor me enamoró :)

  21. Américo Tavares | 4 de marzo de 2010 | 15:16

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    Nem sei o que é a Topologia Diferencial nem quais as ligações com a Geometria Diferencial.

    Mas, quanto ao EDP, pode ver :) EDP = Erdős’s Discrepancy Problem, ao vivo, no blog do Professor Gowers, no WordPress (gowers.wordpress.com, antecedido de http://).

    Já são 15 posts e mais de 1500 comentários no total, na tentativa em curso, por vários matemáticos e teóricos da computação, de provar esta conjectura, formulada há quase 80 anos por Erdős. Além do blog indicado, pode consultar este site

    michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=The_Erdős_discrepancy_problem
    (antecedido de http://)

    ou directamente o ponto 9, do artigo de 1957 Some Unsolved Problems de Paul Erdős, que transcrevo:

    “If f(n)=\pm 1 for n=1,2,\dots, and C is any constant, then there exist inters d and m such that

    |f(d),f(2d),\ldots ,f(md)| >C.”

  22. Aquiles Tarazón | 24 de junio de 2010 | 03:32

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    No me había percatado de eso. Habrá que ver si hay otros números con características similares. Está, para mí, muy bien presentada la teoría. Espero que la gente se entusiasme y busque otras cosas raras como la del 26

  23. Trackback | 1 ene, 2011

    Lo mejor de Gaussianos 2010, según Gaussianos | El Camello, el León y el niño. O la evolución del perro al lobo

  24. Trackback | 13 feb, 2013

    Puzzleclopedia › Entre el cuadrado y el cubo › Enigmas y juegos de ingenio

  25. JJGJJG | 13 de febrero de 2013 | 20:14

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    Encuentro interesante que, con la contribución de los adeptos al blog se cree una colección de NÜMEROS NATURALES DEL TIPO 26. Serían números que gocen de una propiedad única como este 26.
    Como ejemplos valgan los siguientes:
    1 es el único natural que no es primo ni compuesto.
    2 es el único primo par.
    4900 es el único cuadrado que también es piramidal cuadrado.
    Espero contribuciones.

  26. Romeo | 14 de febrero de 2013 | 12:14

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    Los números 0 y 1 son los únicos en los que se verifica que “latex x^2 = x^3$, en todos los demás naturales se tiene que x^3>x^2, entonces no puede existir un número entre un cubo y un cuadrado.

  27. Romeo | 14 de febrero de 2013 | 20:29

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    Interesante también resulta el número 6, ya que 2^2<6<2^3 es decir que si vamos contando de a 2, el 6 parece ser el único número que está entre un cuadrado y un cubo.

    ¿Se podrá resolver en sentido afirmativo y^2+3 = x^3 con x,y in N ? ¿Y en general se podrá tener soluciones enteras para la ecuación y^2+n=x^3? con n>0

  28. JJGJJG | 14 de febrero de 2013 | 21:10

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    Romeo, el 123 está entre 11^2 y 5^3 con diferencias de 2.
    Para cualquier cubo x^3 mayor que un cuadrado y^2 hay un valor entero n que cumple y^2 + n = x^3.

  29. Romeo | 14 de febrero de 2013 | 21:11

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    El caso de 2^2+2=2^3 se puede generalizar para y^2+2n=y^3.

  30. CAMELIA | 19 de octubre de 2013 | 03:43

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  31. Julio Cesar Romeo | 20 de octubre de 2013 | 01:02

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    Y cambiando de tema, habrá algún número que este ubicado entre un cubo y una cuarta? en general, existirán números que esten ubicados entre una potencia n y la n+1?

  32. ricardo tanquilevich | 6 de febrero de 2014 | 08:06

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    26 son las letras del alfabeto actual mundial castellano (21 consonants y 5 vocals),
    26 son los huesos de cada pie que permiten estar parado al ser humano
    26 son el numero de vertebras de la columna vertebral
    206 son el total de huesos terminals del Homo sapiens
    26 son los subcubos giratorios del cubo de Rubick

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