El volumen de la esfera

Como todo el mundo sabe (o debería saber ya que se estudia en el colegio) el volumen de una esfera de radio R es:

Volumen de una esfera de radio R

Esta fórmula se debe al genial Arquímedes, y fue uno de sus grandes descubrimientos y del cual estaba muy orgulloso. Vamos a ver cómo lo consiguió.

Arquímedes partió de una semiesfera de radio R y colocó a su lado un cono recto y un cilindro circular recto, ambos con base de radrio también R:

Esfera-Cono-Cilindro

Cortó las tres figuras con un plano paralelo a la base del cilindro (que quedara a distancia d de la parte superior de las tres figuras) y estudió cómo serían las secciones que este plano crearía en cada una de las figuras:

  • Cilindro: circunferencia de radio R.
  • Semiesfera: también una circunferencia pero de distinto radio, digamos r. Mirando la siguiente figura

    Semiesfera

    y usando el teorema de Pitágoras tenemos que r2+d2=R2.

  • Cono: también una circunferencia, pero ahora, como podemos se ve aquí

    Cono

    el radio es d.

Por tanto tenemos:

Sección cilindro=πR2=π(r2+d2)=πr2+πd2=Sección semiesfera+Sección cono

Las secciones de cada figura son como rebanadas de las figuras:

Rebanadas

Si para cada rebanada se tiene la relación anterior parace bastante claro que los volúmenes siguen la misma relación. Es decir:

Volumen cilindro=Volumen semiesfera+Volumen cono

Pero Arquímedes conocía los volúmenes del cilindro y del cono:

Volumen cilindro y cono

Por tanto:

Volumen semiesfera

De donde multiplicando por 2 obtenemos el volumen de una esfera de radio R:

Volumen de una esfera de radio R

Tanto admiraba Arquímedes este descubrimiento que mandó inscribir en su tumba la siguiente imagen:

Tumba Arquímedes

Fuente: Ciencia Fácil

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33 comentarios

  1. Juanjo | 26 de diciembre de 2006 | 10:58

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    Simplemente genial cómo lo calculó. Una maravilla.

  2. omalaled | 26 de diciembre de 2006 | 12:35

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    Impresionante post e impresionante deducción.

    Dicen que un genio no es una persona que encuentra algo que ha estado oculto, sino una persona que encuentra lo evidente, que todos hemos tenido delante, pero no nos hemos sabido dar cuenta.

    Encaja aquí perfectamente.

    Salud!

  3. hoemro | 26 de diciembre de 2006 | 14:14

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    Notable demostración, elegantísima.

    Saludos!

  4. Mithohtar | 26 de diciembre de 2006 | 16:54

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    Todo un maestro el señor Arquimedes, nada mas que decir

  5. Asier | 26 de diciembre de 2006 | 17:54

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    ¿cómo conocía el volumen del cono?

    No parece evidente que sea justo la tercera parte del volumen del cilindro.

    ¿alguien puede darme una demostración elemental?

  6. mimetist | 26 de diciembre de 2006 | 18:23

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    Joer con Arquímedes, aquí nos parece elegante, bonito y simple… pero pensad que él no usaba esa notación, las variables no existían y la mejor aproximación de PI que se conocía (aportada por él) sólo tenía 2 decimales exactos.

    Todo un genio, sin duda… ¿dónde habría llegado con todas las herramientas que poseemos ahora?

  7. Capitán Haddock | 27 de diciembre de 2006 | 09:32

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    La verdad que la demostración es preciosa.
    Mimetist por eso mismo creo que la demostración es tan elegante.

  8. Omar | 27 de diciembre de 2006 | 21:43

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    Una vez escuche que Dios se expresa con las matemáticas, si esto es cierto, entonces Arquimides es uno de sus apostoles…..

  9. ^DiAmOnD^ | 27 de diciembre de 2006 | 23:02

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    Asier el caso es que yo también lo pensé, pero después de publicar el post. En esta página le atribuyen el descubrimiento de esa fórmula a Demócrito, pero no he podido encontrar más información acerca de este hecho.

    Y es cierto, no parece muy intuitivo el tema. Con las herramientas que tenemos ahora es sencillo calcularla (por ejemplo mediante integrales) pero con lo que ellos tenían en aquellos tiempos no parece fácil. Si alguien sabe algo sobre el tema que lo comente.

  10. fede | 28 de diciembre de 2006 | 17:30

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    Arquímedes dice en el prólogo de “El Método” que Demócrito descubrió que el volumen de la pirámide y del cono es un tercio de la base por la altura y que Eudoxo lo demostró por primera vez. Las demostraciónes de Eudoxo son quizá las que aparecen en las proposiciones XII.7 y XII.10 de los “Elementos” de Euclides. Deberían ser elementales :)
    Felices fiestas.

  11. Robin Hood | 29 de diciembre de 2006 | 15:28

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    demostre que el volumen de la piramide es
    1/3abh, solo hay que seccionar la piramide en cuatro, cortando por dos planos verticales paralelos a los lados de la base y altura y que pasen por el vertice ( planos x-z y y-z) se reordenan 3 de las 4 partes seccionadas para formar un prisma de base a/2 y b/2 y altura la de la piramide que es h.si el volumen del prisma asi construido es
    (a/2).(b/2).h, el volumen de cada sección es 1/3.(a/2).(b/2).h= a.b.h/12, como la piramide la forman 4 secciones, entonces Volumen de la piramide es 1/3abh
    saludos ( Ya los ejipcios conocian el volumen de las pramides para la construcción de estas)

  12. Fernando* | 29 de diciembre de 2006 | 23:41

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    a ver esta…
    ¿alguien sabe porque el volumen de la esfera es la integral indefinida de su superficie?

  13. rom steve | 5 de enero de 2007 | 21:40

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    es muy bueno lo que tratan de enseñar mediante esta pajina

  14. CESAR | 17 de marzo de 2007 | 22:16

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    estupefacto por la ingeniosidad del procedimiento con tan pocas herramientas para el trabajo matematico para calcular el VOLUMEN DE LA ESFERA.
    ALGUIEN PODRIA AYUDARME A DETERMINAR SIEN LA LITERATURA SUMERIA, HAY EVIDENCIAS CONSISTENTES DE INVESTIGACIONES MATEMATICAS… QUE SE SEPA ES LA CULTURA MAS ANTIGUA DE TODA LA HUMANIDAD… Y SI HAY ELEMENTOS DE INVWESTIGACION EN TORNO A PI…

    MUCHAS GRACIAS ESTE BLOG ES BERRACO

  15. Nexus7 | 26 de marzo de 2007 | 12:01

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    Cesar: Los sumerios sí tenían matemáticas pero siempre manejaron conceptos prácticos (aplicables a su vida diaria) careciendo de las idealizaciones griegas, por lo que sus “investigaciones matemáticas” carecen de la suficiente rigurosidad. Sus descendientes culturales (caldeos) siempre fueron famosos por sus conocimientos en astrología (astrología antigua = astrología moderna + astronomía), hasta el punto que las palabras “caldeo”, “mago” y “astrónomo” eran sinónimos en las culturas antiguas (reyes magos = reyes caldeos = reyes astrónomos).

    En cuanto a pi, sus descendientes culturales (entre quienes se incluyen los asirios, los babilónicos y los hebreos bíblicos)usaban el 3, por lo que no es lógico suponer que los sumerios emplearan algún valor mejor.

    ^DiAmOnD^, tal vez para nosotros (con nuestro nivel de conocimientos) no nos parezca intuitivo el método de Arquímedes, pero ese mismo método fue el que utilizó Newton en sus principia y a todos los de su época si les pareció intuitivo.

    Newton ideó el cálculo (al igual que Leibniz), pero en los principia para explicar el comportamiento de los cuerpos en órbita aplicando las fuerzas gravitatorias y de inercia no recurrió al cálculo (se acababa de inventar y sus colegas todavía no sabían cálculo, por lo que era una herramienta bastante conflictiva para convencerlos) en vez de ello recurrió a lo que Asimov llama “cálculo geométrico” que es exactamente el mismo procedimiento que empleó Arquímedes para esta cuestión:
    Si llamamos x a la altura, decir en cálculo aritmético que dx tiende a cero es exactamente lo mismo que en geometría decir que cortamos la semiesfera en porciones tan delgadas que obtenemos secciones que parecen cilindros de altura casi 0 donde la superficie superior e inferior son iguales (su diferencia tiende a 0)

    Conceptualmente yo no veo diferencia entre el cálculo matemático que se usa hoy en día y el método geométrico que emplearon Arquímedes (volumen de la esfera) y Newton (órbitas elípticas).

    Saludos.

  16. ^DiAmOnD^ | 26 de marzo de 2007 | 14:18

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    Nexus7 conceptualmente puede que no haya muchas diferencias, pero sí es cierto que en lo que respecta al uso de cada una de ellas sí las hay. Además en estos tiempos nos hemos acostumbrado tanto al cálculo que nos cuesta mucho usar las ideas de la geometría para muchas cosas. Por eso las demostraciones puramente geométricas son mucho más bonitas pero mucho más difíciles de entender para mucha gente.

  17. PuNiShEr | 2 de abril de 2007 | 15:43

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    interesante forma la verdad, ese dia se le prendio el foquito ^^, no pero si notable hombre.

    uhmm aver alguien me podria decir como medir el rapdio de una pelota de tenis sin utilizar instrumentos medibles

  18. MARIO | 8 de abril de 2007 | 23:18

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    Por favor si me pueden ayudar: necesito hacer una varilla de medición de litros de un recipiente cilíndrico que tiene en sus dos extremos casquetes esféricos.Las medidas son: Radio 0,90 metros altura cilindro (sin los casquetes): 1,04 metros y altura de cada casquete (flecha) 0,425 mt. Cual es la fórmula?
    Muchas gracias por su ayuda.

  19. Nexus7 | 9 de abril de 2007 | 01:11

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    ¿Es para un problema real (existe ese recipiente) o teórico (un problema de clase que te ha puesto el profesor)? Es que si mal no recuerdo, no existe tal fórmula para el volumen del casquete porque no se puede despejar la altura, y eso es precisamente lo que tú pides.

    Si es para un problema de clase: yo no puedo ayudarte (y creo que nadie podrá hacerlo) de la forma que tú quieres pues la respuesta no pasa por una fórmula matemática sino que consiste en una graficación para los casquetes (la fórmula del cilindro es Volumen=PI·(0,9)^2·altura, y despejando la altura nos queda altura_de_la_varilla=volumen/0,81PI)

    Si es para un problema real, no te importará que empleemos algunas aproximaciones y entonces podremos darte algunos resultados razonables milímetro arriba o abajo

  20. caro | 9 de abril de 2007 | 17:28

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    entre la formula geometrica para una esfera y el metodo de arquimides cual es mas exacto

  21. djgr | 13 de abril de 2007 | 12:56

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    Fernando: respecto a tu pregunta de porque el volumen de la esfera es la integral (no la indefinida, eso es por mera coincidencia, ya que la variable que se usa en ambas es la misma, el radio R) de su superdicie:

    Recordemos que una integral es una suma. Por lo que, usando este concepto, imaginate una esfera como si se tratara de una cebolla, constituida por muchas “cascaras” una inmediatamente despues de la otra, de forma que los espesores de todas esas capas sumaran R (el radio de la esfera).
    Pues bien, ahora imaginate que esas capas tienen un espesor infinitesimal, es decir, tan pequeño como puedas imaginarte, tan pequeño que su “volumen” no sea mas que la superficie de una esfera: 4PiR^2. Sumando todos esos “volumenes” infinitesimales desde un radio 0, hasta un radio R, tenemos que, el volumen de la esfera es: Integral de 4PiR^2dR, cuyos extremos son 0 (inferior)y R (superior).
    Con lo que obtenemos el volumen de la esfera: (4PiR^3)/3

  22. MACG | 15 de abril de 2007 | 00:08

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    ME PARECE GENIAL LA IDEA DE EXPLICARLO CON EL DIBUJO ASI ME ES MAS FACIL COMPRENDERLO LOS FELICITO.

  23. luis delatorre | 28 de febrero de 2013 | 06:58

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    Porque una esfera se puede dividir en infinitas partes circulares proporcionales al área de su superficie

  24. Trackback | 4 abr, 2013

    Área de una esfera « pimedios – la aventura de las matemáticas

  25. luis | 1 de junio de 2013 | 03:15

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    muy bueno pero ahora quien le paga a arquímedes los derechos de autor, por ese descubrimiento o a sus herederos, que todos usámos en todos los cáculos, jajaja, si la época fuera la actúal se hubiera llenado de plata y para navegar usaríamos troncos de árboles por no pagar, jajaja

  26. tom wood | 26 de agosto de 2013 | 18:15

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    Los chinos calcularon pi con gran aproximacion, bastantes numerous despues de coma y elegancia instuitiva.
    http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80

  27. tom wood | 26 de agosto de 2013 | 18:16

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    Oh,… y gracias por este blog tan consistente,…

  28. Jorge Salazar | 26 de agosto de 2013 | 20:01

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    Mario: Hace varios años tuve el mismo problema. En mi caso era un antiguo carro tanque de ferrocarril utilizado para almacenar combustible diésel. No encontré fórmulas ni nadie que me ayudara. Quería saber, centímetro a centímetro, cuánto fluido había en ese tanque. Logré hacerlo con papel milimétrico, dibujando en tamaño real la sección del tanque (Solo la mitad, pues obviamente la otra parte es igual pero invertida) figuré filetes de un cm. por el ancho de la sección correspondiente y la pequeña parte curvada resultó ser un valor constante que luego distribuí en cada capa. Los casquetes del tanque los calculé en forma aproximada y finalmente ajusté comprobando al adicionar un volumen conocido con la elevación alcanzada. Nunca hubo problemas de diferencias entre el medidor de combustible al ser extraído y el volumen restante en el depósito.

  29. Lolailo | 27 de agosto de 2013 | 03:18

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    Jorge Salazar:
    Tal vez hubiera resultado mas sencillo ir llenando con volumen de liquido conocido y marcando la altura que iba alcanzando en la varilla. Usando la experimentación directa.

  30. Omar-P | 28 de agosto de 2013 | 01:00

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    La razón de volúmenes entre una esfera y una de las seis pirámides incritas en el cubo circuncrito es igual a Pi.

  31. amarillo | 3 de septiembre de 2013 | 17:19

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    <>

    También se estudia gramática, para saber dónde poner comas.

  32. miguel | 6 de agosto de 2014 | 00:25

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    Increíble como logró la formula de la esfera partiendo de la relacion de el cono y el cilindro es un gran genio

  33. diego | 4 de diciembre de 2014 | 06:11

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    Al fin encontre lo que buscaba. Que delicia de explicacion, simplemente exquisita. Un genio total.

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